PSI PHYSIQUE MINES 2 2010.enonce

Mines Physique 2 PSI 2010 — Énoncé 1/8
´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(ISAE),ENSTAPARISTECH,
TELECOMPARISTECH,MINES PARISTECH,
MINESDESAINT–´ ETIENNE,MINESDENANCY,
T´ EL ´ ECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2010
SECONDE´ EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili` ere PSI
(Dur´ ee del’´ epreuve:4heures)
L’usagedelacalculatrice estautoris´ e
Sujetmis ` adisposition desconcours:Cycle international, ENSTIM,TELECOMINT,TPE–EIVP
Lescandidats sontpri´ esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi` erepagedelacopie:
PHYSIQUEII —PSI.
L’´ enonc´ ede cette´ epreuve comporte7 pages.
–Si, aucoursdel’´ epreuve,un candidatrep` ere ce quiluisemble ˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il estinvit´ e` ale
signalersursa copie et` apoursuivresa compositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’il aura´ et´ e
amen´ e` aprendre.
–Ilnefaudrapash´ esiter` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´ erationsnum´ eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ eme lorsquel’´ enonc´ enele demandepasexplicitement. Labar` eme tiendra compte
de cesinitiativesainsiquedesqualit´ esder´ edaction dela copie.
PHYSIQUED’UN BALLON DEFOOTBALL
Onl’aobserv´ elorsder´ ecentescomp´ etitionsinternationales: lemouvementd’un ballon defootball
estparfois sisurprenantqu’il sembletenird’un tourdemagie.Ona cherch´ e` amieux comprendre
lesm´ ecanismesquir´ egissent ladynamiquedu ballon defootball,et,en particulier,` al’occasion de
l’introduction d’un nouveaumod` ele,r´ eput´ eplus«rapide»maisaussiplusimpr´ evisible,on aproc´ ed´ e
`
ades´ etudesexp´ erimentaleset` ades simulationsnum´ eriques.Dansce probl` eme,on exploitequelques
mesuresquiontpourbutd’´ evaluerle coefficientdetraˆ ın´ ee eton d´ eveloppeun mod` eleth´ eoriquequi
permetd’interpr´ etercertainsr´ esultats.Onselimite aucasdanslequel leballon estsimplementen
mouvementdetranslation dansl’air.Lesdonn´ eesnum´ eriquesutileset lesnotationscorrespondantes
sontrassembl´ eesdansletableaucidessous.` Al’exception delaquestion 4 pourlequelon conservera
les4chiffres significatifsdemesurepour remplirletableau,on utilisera2chiffres significatifsdans
lerestedesapplicationsnum´ eriques.Lesvecteurs sontnot´ esavec un chapeaus’ils sontunitairesb ex,
avec unefl` eche−→ vdansle casg´ en´ eral.
Massevolumiquedel’air ρ =1,2 kg.m−3
Viscosit´ e cin´ ematiquedel’airn=1,4·10−5m2.s−1
Moduledel’acc´ el´ eration delapesanteurg=9,8m.s−2
Massedu ballon m=0,50 kg
Diam` etredu ballon D=22 cm
`
Atoutesfinsutileson rappelle certainesrelations.Pourun fluideincompressibledanslequel le champ
devitesse est−−−−→ V(−→ r,t),le champ depression P(−→ r,t)et lamassevolumique
ρ (−→ r,t),l’´ equation de
Navier-Stokes s’´ ecrit
∂
−→
V
∂ t+−→
V·−−→ grad−→
V=−1
ρ
−−→
gradP+n−−−−→ ∆−→
V
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Mines Physique 2 PSI 2010 — Énoncé 2/8
Pourtoutefonction fdeRdansRquatrefoisd´ erivable,led´ eveloppementdeTaylorau quatri` eme
ordredefau voisinagede0s’´ ecrit
f(
θ )=f(0)+f′(0) θ +f′′(0)
θ
2
2+f(3)(0)
θ
3
3!+f(4)(0)
θ
4
4!+o
θ
4
Enfin pourunefonction hdedeux variablesr´ eellesxety,on d´ emontreque
–Sih(x,y)=g(
θ , ϕ )alors
∂ h
∂ x=
∂ g
∂θ
∂θ
∂ x+
∂ g
∂ϕ
∂ϕ
∂ x;
–Sih(x,y)=f(
θ )alors
∂ h
∂ x=f′(
θ )
∂θ
∂ x.
I.—Nombre deReynoldsetcoefficientdetraˆ ın´ ee
Lorqu’un fluide,ici l’air,devitesse−→ U,demoduleU,s’´ ecoule autourd’unesph` eredediam` etreD,
on d´ efinit lenombredeReynoldsRe=UD
n.LorsqueReprend desvaleursinf´
erieures` al’unit´ eon
parled’un ´ ecoulement` a petit nombredeReynolds.Laforce defrottementvisqueux −→ Fquiagit sur
lasph` ere estproportionnelle` alavitessedel’´ ecoulement.Elle estdonn´ ee parlaformuledeStokes:
−→
F=−3
π n ρ D−→ U.
Dansle casdes´ ecoulements` agrand nombredeReynolds,laforce detraˆ ın´ ee −→ Tquiagit surla
sph` ere estproportionnelle aucoefficientdetraˆ ın´ ee C,sansdimension,etaucarr´ edelavitesseselon
larelation
−→
T=−1
2C
ρ
π D2
4U−→
U
1—´ Evaluerlavaleurnum´ eriquedu nombredeReynoldsdansle casd’un ballon defootball se
d´ eplac¸antdansl’airavec unevitessede100 km.h−1.Quepeut-on en d´ eduire ?
L’axeOzquiorientelesgrandeursvectoriellesestdirig´ eselon laverticaledescendante,son vecteur
unitaire estnot´ eb ez.Oncherche` avaliderexp´ erimentalement laloidonnant laforce detraˆ ın´ ee enme-
surant lavitessed’un ballon soumisauseulchamp depesanteur.Ce dernierest lˆ ach´ ed’unehauteur
de27 mdansune enceinte contenantdel’airaurepos,avec unevitesseinitiale−→ vo=vob
eztelleque
vo>0.On proc` ede` ades s´ eriesdemesuresdu moduledelavitesseinstantan´ ee aucoursdu mouve-
mentparv´ elocim´ etrielaser.L’intervalle
τ =30 ms s´ eparantdeux mesures successivesestconstant.
On donnedansletableauci-dessousun extrait desvaleursvidu moduledelavitesse,mesur´ eesaux
datesti=i×
τ .
i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
vim.s−15,220 5,480 5,736 5,988 6,237 6,482 6,726 6,986 7,253 7,522 7,789
2—´ Evaluerlemoduledel’acc´ el´ eration instantan´ ee ai`
aladatetienfonction devi+1,viet
τ .
3—En utilisant leth´ eor` emedelar´ esultante cin´ etique,´ etablirlarelation scalaire entrelesgran-
deursm,ai,get lanormeTidelaforce detraˆ ın´ ee ` aladateti.
4—Reproduire etcompl´ eterleta-
bleauci-contre.` Apartirde cesdonn´ eeset
en utilisant ledocument jointavec lesu-
jet,repr´ esenterlespointsde coordonn´ ee
v2
i;Tiet[log10(Re);C].Commenterles
diagrammesobtenus.
i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v2
im2.s−2
Ti[N]
C
log10(Re)
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Mines Physique 2 PSI 2010 — Énoncé 3/8
Les´ etudesexp´ erimentales´ etablissent l’existence d’un nombredeReynoldscritiqueRec,voisin de
105,au-del` aduquel le coefficientdetraˆ ın´ ee chutebrutalement.Lesm´ ecanismesresponsablesde cette
chutesont li´ es` alanaturedel’´ ecoulementdel’airautourdu ballon.Onseproposedemod´ eliserce
r´ egimed’´ ecoulementdanslesquestions suivantes.
FIN DELA PARTIEI
II.—´ Ecoulementd’un fluidevisqueuxlelongd’uneparoisolide
Dansun premiertemps,afin desimplifierle
probl` eme,on assimilelasurface du ballon
`
auneplaqueplanesemi-infinied’´ equation
(y=0,x>0)repr´ esent´ ee surlafigure1.
L’´ ecoulementdu fluide,au-dessusdela
plaque,estsuppos´ estationnaire,incompres-
sible etbidimensionnel.Le champ devi-
tesse estpris souslaforme−→ V=u(x,y)b ex+
v(x,y)b ey.Lesfonctionsuetvsontrespec-
tivementappel´ eescomposantelongitudinale
etverticaledu champ devitesse.Loin dela
plaque,lavitessesestabilise` alavaleurU,
ainsi :
FIG.1 – ´ Ecoulementd’un fluide au dessusd’une
plaquesemi-infinie.
lim
y→+∞−→
V=Ub ex=−→ V∞
On n´ egligel’action delapesanteur.LenombredeReynoldsestmaintenantd´ efinicommeunefonc-
tion delavariablexparlarelation :Re(x)=Ux/n.Danslasuitedu probl` eme,on consid´ erera
syst´ ematiquementqueRe(x)≫1,ce quisupposequeledomained’´ etude exclut lasingularit´ ex→0.
Onappelle couchelimitelar´ egion danslaquellelavitessedu fluidediff` eresensiblementdesavaleur
loin delaplaque.
Pour´ evaluerl’´ epaisseur
δ (x)de cette couchelimite,on adoptelepointdevueLagrangien.Uneparti-
culedefluide´ emise au voisinagedel’origineOsed´ eplace d’unedistance approximativex(t)≃Utle
long del’axeOxentrel’instant initialet ladatet.Parailleurs,aucoursdelamˆ emedur´ ee,l’influence
delaviscosit´ e estperceptiblesurune´ epaisseur
δ (t)=√nt.
5—D´ eduirede cette´ evaluation laloi δ (x)donnant l’´ epaisseurdela couchelimite` aunedistance
xdel’arˆ etedelaplaque.` Aquelle condition lag´ eom´ etrieplanepermet-elleded´ ecrire correctement la
surface du ballon ?
6—Formerlerapport δ (x)/xet l’exprimerenfonction deRe(x).
On d´ eduit delaquestion pr´ ec´ edenteque
δ (x)≪x.Ilapparaˆ ıt quel’´ ecoulementestcaract´ eris´ epar
deux ´ echellesdelongueur,l’une(´ epaisseurdela couchelimite)´ etant tr` esfaibledevant l’autre(dis-
tance longitudinalelelong delaplaque).Oncherche` aprendre encompte cette caract´ eristiquede
fac¸on ` asimplifierles´ equationsdeladynamiquedu fluide en´ ecoulement.On proc` ededelafac¸on
suivante:pourtoutegrandeurg(x,y)relative` al’´ ecoulementon ´ evaluelesordresdegrandeurdes
d´ eriv´ eespartiellesen´ ecrivantque:
∂ g
∂ x≃g xet
∂ g
∂ y≃g δ
7—En´ ecrivant l’hypoth` esed’´ ecoulement incompressible,montrerquel’un des´ el´ ementsdu
couple(u,v)estn´ egligeabledevant l’autre.
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Mines Physique 2 PSI 2010 — Énoncé 4/8
8—Montrerque−−−−→
∆−→ V≃
∂
2u
∂ y2b
ex+
∂
2v
∂ y2b
ey
eten d´ eduirequela composanteselon b exdel’´ equation deNavier-Stokes sesimplifie en
u
∂ u
∂ x+v
∂ u
∂ y=−1 ρ
∂
P
∂ x+n
∂
2u
∂ y2(1)
FIN DELA PARTIEII
III.—Couchelimite laminaire sansgradientdepression
Onsupposedansun premiertempsquel’´ ecoulementalieuenl’absence degradient longitudinalde
pression,soit
∂ P
∂ x≡0.Oncherche,dansce r´
egime,` aobtenirlasolution del’´ equation (1)v´ erifiant les
conditionsaux limites suivantes:
–le champ devitesses’annule aucontactdelaplaque;
–l’´ ecoulementestuniformeloin dela couchelimite,soit lim
y→∞−→
V(x,y)=Ub exavec U=cste.
Onseproposed’utiliserpourcelalavariabler´ eduite
θ (x,y)=yrU
nxintroduiteparPrandtl dans sa
th´ eoriedes´ ecoulementsvisqueux bidimensionnels.
9—Exprimer θ (x,y)enfonction dex,yetRe(x),puisenfonction deyet δ (x).En d´ eduirela
dimension delavariable
θ .
Onrechercheunesolution du probl` emedanslaquellela composantelongitudinaler´ eduitef=u/Ude
lavitessened´ epend quede
θ .Cettehypoth` eseseradiscut´ ee ` alaquestion 14.Onintroduit doncdeux
nouvellesfonctionsfetgv´ erifiantu(x,y)=Uf(
θ )etv(x,y)=Ug(x, θ )
10 —Traduirelesconditionsaux limitesy→0ety→∞pardes´ equationsportantsurlesfonctions
fetg.
11 —Exprimer
∂ u
∂ x,
∂ v
∂ y,
∂ u
∂ yet
∂
2u
∂ y2enfonction deU,x,
θ ,Re(x)etdesd´ eriv´ eesdefetg.
12 —En´ ecrivant la condition d’´ ecoulement incompressiblemontrerque
g(x,
θ )=
α
pRe(x)
θ f( θ )−Z
θ
0
f(
ξ )d ξ
o` u
α estune constantequel’on d´ eterminera.
13 —En utilisant lesr´ esultatspr´ ec´ edents,v´ erifierqueladynamiquedel’´ ecoulementdansla
couchelimite estr´ egieparl’´ equation deBlasius
f′′(
θ )+ α f′( θ )Z
θ
0
f(
ξ )d ξ =0
quel’on ne chercherapas` ar´ esoudredirectement.
14 —Expliquerpourquoi l’´ equation deBlasiusconfirmel’hypoth` esepr´ eliminaire concernant la
d´ ependance delavitesselongitudinalepar rapportaux variables spatiales.
15 —Onconsid` erelespointsMetM∗de coordonn´ eesrespectives(x,y)et(x∗,y∗).Quellerelation
existe-t-il entreu(M)etu(M∗)si
y
√x=y∗
√x∗
Cettepropri´ et´ e estappel´ ee invariance d’´ echelle,commentercetted´ enomination.
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Mines Physique 2 PSI 2010 — Énoncé 5/8
Lar´ esolution num´ eriquedel’´ equation de
Blasiuspermetd’obtenirlarepr´ esentation
graphiquedelafonction f(
θ ),celle-cifait
l’objetdelafigure2.Onconstatequ’au voi-
sinagedel’origine,la courberepr´ esentative
def(
θ )poss` edeun domainelin´ eairequi
s’interromptbrusquement.Apr` esledo-
mainelin´ eaire,la courbeserapprochetr` es
rapidementdeson asymptote.Unelec-
turegraphiquepermetd’obtenirlavaleur
num´ erique:
a=f′(0)=3
10
.
FIG.2 – Repr´ esentation graphiquedelasolution de
l’´ equation deBlasius.
16 —` Apartirdelasolution num´ erique,d´ eterminerune expression approximativedeu(x,y)en
fonction dex,y,UetRe(x)dansla couchelimite.Montrerquelatransition entrela couchelimite et
ledomainedel’´ ecoulementuniforme estsitu´ ee approximativement` aunedistance Y(x)delaplaque
quel’on exprimera enfonction de
δ (x).
Onsupposequelafonction f(
θ )poss` edeun d´ eveloppementdeTaylor` atoutordre au voisinagede
z´ ero.
17 —D´ emontrerqued2f
d θ
2
θ =0
=d3f
d θ
3
θ =0
=0etqueparcons´ equent,il existeune constante
btellequef(
θ )=a θ +b θ
4+o
θ
4.Exprimerbenfonction dea.
FIN DELA PARTIEIII
IV.—D´ ecollementdelacouchelimite laminaire
L’´ equation deBlasiusa´ et´ e´ etabliesousl’hypoth` eseU=cste,ce quirevient` asupposerque,lelong
delafronti` ere entrelesolide et lefluide,legradientdepression estnul.On´ etudiemaintenantune
situation plusr´ ealistequiprend encompte ce gradientdepression dansune zoneo` uleslignesde
courantdivergentetquiconduit aufait queU=U(x).Pourcelanousallons,dansun premiertemps,
chercherlastructuredu champ devitessehors delacouchelimite,domaineo` ul’´ ecoulementest
suppos´ epotentielet incompressible.Nousen d´ eduironsalorslaloiU(x)ainsiquel’expression du
gradientdepression.Nous´ etudieronsfinalement l’effetproduit parce dernier.
Afin derendre comptedela courburedeslignesde courantau voisinagedelasurface du ballon,on
assimilelocalementcettesurface ` aun di` edred’angle
α = π /(m+1).La constantemestun param` etre
n´ egatifquiestprisdansl’intervalle]−1/3,0]sibien que
α ∈[ π ,3 π /2[.Onrep` ereun pointMdu
fluideparsescoordonn´ eespolaires(r,
ψ )avec ψ ∈[0, α ]eton recherchelepotentieldesvitesses sous
laforme
ϕ (r, ψ )=F(r)cos[(m+1) ψ ].Lag´ eom´ etriedu syst` eme estrepr´ esent´ ee surlafigure3.
FIG.3 – ´ Ecoulement` alasurface du ballon
On donne,danslesyst` emede coordonn´ eeschoisi :
−−→
grad
ϕ =
∂ϕ
∂ rb
er+1
r
∂ϕ
∂ψ
c
e
ψ
∆ ϕ =1
r
∂
∂ rr
∂ϕ
∂ r+1 r2
∂
2
ϕ
∂ψ
2
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