Resume du cours d`Analyse III-IV

R´esume du cours d’Analyse III-IV
jean-eloi.lombard@epfl.ch
14 juin 2009

Table des mati`eres
1 Analyse Vectorielle 3
1.1 Int´egrales Curvilignes ...................... 3
1.1.1 Courbes dans Rn..................... 3
1.1.2 Changement de repr´esentation param´etrique ..... 4
1.1.3 Arc orient´e ........................ 4
1.1.4 Chemins orient´es ..................... 5
1.1.5 Chemin ferm´e dans R2.................. 6
1.2 Int´egrales de surface ....................... 6
1.2.1 Surface de R3....................... 6
1.2.2 Changement de repr´esentation param´etrique ..... 7
1.2.3 Nappes orient´ees ..................... 8
1.2.4 Nappe avec un bord ................... 8
1.3 Int´egrales par partie et th´eor`eme de Green ........... 9
1.3.1 Op´erateurs diff´erentiels ................. 9
1.3.2 Int´egration par parties .................. 10
1.3.3 Th´eor`eme de Green ................... 10
1.4 Th´eor`eme de Stokes ....................... 11
1.4.1 Nappes avec un bord ................... 11
1.4.2 Int´egration par parties, th´eor`eme de Stokes ...... 11
1.5 Th´eor`eme de la divergence .................... 12
1.6 Champs qui d´erivent d’un potentiel ............... 13
1.6.1 Potentiel scalaire ..................... 13
1.6.2 Potentiels vecteur .................... 15
1.6.3 Fonction harmonique ................... 16
2 S´eparation de variables 17
3 Analyse Complexe 19
3.1 Fonctions exponentielles et logarithmiques ........... 21
3.2 Primitives et int´egrales curvilignes ............... 23
3.3 S´erie enti`eres et s´eries de Laurent ................ 24
3.4 Singularit´es isol´ees et r´esidus .................. 28
3.4.1 Singularit´es isol´ees .................... 28
1

3.4.2 Z´eros d’une fonction holomorphe ............ 29
3.4.3 R´esidus .......................... 30
3.4.4 Calcul d’int´egrales .................... 31
4 Transform´ee 34
4.1 Transform´ee de Laplace ..................... 34
4.1.1 Notions ´el´ementaires ................... 34
4.1.2 Inversion ......................... 35
4.1.3 D´eriv´ees et convolution ................. 36
4.1.4 R´esolution d’´equations diff´erentielles .......... 36
4.2 Transform´ee de Fourrier ..................... 37
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Chapitre 1
Analyse Vectorielle
1.1 Int´egrales Curvilignes
1.1.1 Courbes dans Rn
D´efinition 1.1 (Hom´eomorphisme) Soit A⊂Rn,B⊂Rmet α:A→B.
αest un hom´eomorphisme entre Aet Bsi :
1. αest continue
2. αest bijective
3. α−1:B→Aest continue
D´efinition 1.2 (Arc r´egulier, repr´esentation param´etrique r´eguli`ere)
Un sous-ensemble C⊂Rnest un arc r´egulier s’il existe une fonction α:J→C
v´erifiant :
1. Jest un intervalle ouvert de R
2. α:J→Cest un hom´eomorphisme
3. α∈C1(J, Rn) et α0(t)6= 0 pour tout t∈J.
αest une repr´esentation param´etrique r´eguli`ere.
D´efinition 1.3 (Tangente `a C) La droite tangente `a C au point α(t) est
donn´ee par :
α(t) + λα0(t)λ∈R
D´efinition 1.4 (Int´egrale Curviligne) Soit Cun arc r´egulier de Rnet
f:C→Rune fonction continue sur C.L’int´egrale curviligne de fsur C
est : ZC
fds =ZJ f(α(t))kα0(t)kdt
o`u α:J→Cest une repr´esentation param´etrique r´eguli`ere de C.
3

Remarque 1.1 L’int´egrale RCfds existe lorsque RJf(α(t))kα0(t)kdt converge
Remarque 1.2 La longueur de Cest donn´ee par RCfds avec f= 1, soit
RCkα0(t)kdt.
1.1.2 Changement de repr´esentation param´etrique
Th´eor`eme 1.1 Soit Cun arc r´egulier de Rnet α:J→Cune repr´esentation
param´etrique r´eguli`ere de C. Alors une fonction β:K→Cest une repr´esentation
param´etrique r´eguli`ere de Csi et seulement si :
1. Kest un intervalle ouvert
2. il existe un hom´eomorphisme φ:K→Jtel que φ∈C1(K) et φ06= 0
3. β(s) = α(φ(s)).
Corollaire 1.1 Soit α:J→C,β:K→Cdeux repr´esentations pa-
ram´etriques r´eguli`eres de l’arc r´egulier Cet f:C→R. Alors l’int´egrales
sur Cde fne d´epends pas de la repr´esentation param´etrique choisie :
ZC
f(α(t))kα0(t)kdt=ZC f(β(s))kβ0(s)kds
1.1.3 Arc orient´e
D´efinition 1.5 (Champs continu de tangentes unitaires) Soit Cun
arc orient´e de Rn. Un champs continu de tangentes unitaires sur Cest une
fonction T:C→Rnv´erifiant :
1. Test continue
2. kT(P)k= 1 pour tout P∈C
3. P+λT (P) avec λ∈Rest une ´equation de la tangente `a Cen P.
Remarque 1.3 Soit α:J→Cune repr´esentation param´etrique r´eguli`ere
de C, alors un champ continu de tangentes unitaires `a Cen Pest d´efini
par :
T(P) = Tα(α(t)) = α0(t)
kα0(t)k∀t∈J
Remarque 1.4 On en d´eduit qu’il n’y a que deux champs continu de tan-
gentes unitaires pour un arc C“d´ependant du sens dans lequel Cest par-
couru”, d’o`u la d´efinition 1.6.
D´efinition 1.6 (Arc r´egulier orient´e) Un arc r´egulier Cavec un choix
de champs continu de tangentes unitaires Test un arc r´egulier orient´e not´e
(C, T ) ou ~ C.
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