TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite.

Université Pierre & Marie Curie Licence de Mathématiques L3
UE LM345 – Probabilités élémentaires Année 2014–15
TD10. Loi des grands nombres, théorème central limite.
1. Soit (Un)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes toutes de loi uniforme
sur l’intervalle [0,1]. Soit f: [0,1] →Rune fonction continue. Que peut-on dire de
f(U1) + . . . +f(Un)
n
lorsque ntend vers +∞?
Solution de l’exercice 1. La fonction f, continue sur le segment [0,1], y est bornée.
Ainsi, les variables aléatoires (f(Un))n≥1sont indépendantes, de même loi et admettent
un moment d’ordre 1. On peut leur appliquer la loi forte des grands nombres (puisque
la fonction fest bornée, les variables admettent un moment d’ordre 2et on est même
dans le cas dont on a étudié la démonstration en cours) pour trouver que f(U1)+...+f(Un)
n
converge presque sûrement, lorsque ntend vers l’infini, vers
E[f(U1)] = Z1
0
f(t)dt.
Cette méthode est parfois utilisée pour calculer des valeurs approchées d’intégrales et
s’appelle la méthode de Monte-Carlo.
2. On considère une suite de jets indépendants d’un dé équilibré. On désigne par Xk
le résultat du k-ème jet et par Ynle plus grand résultat observé au cours des npremiers
jets.
Yn= max
1≤k≤nXk
a) Que peut-on dire des propriétés de convergence de la suite (Yn)n?
b) On pose : Nn=Card{k≤n:Xk= 6}pour tout n∈N∗. Etablir la convergence
presque sûre de la suite Nn
nn∈N∗.
Solution de l’exercice 2.
a) Il est assez évident que la suite va converger presque sûrement vers 6:Ynvaut 6à
partir de la première observation d’un 6, et la probabilité qu’on ne fasse aucun 6est
nulle. Formalisons ceci
P(∃k∈N:Xk= 6) = 1
Or (ω:∃k∈N:Xk(ω) = 6) ⊂(ω: limn→∞ Yn(ω) = 6), d’où
Plim
n→∞ Yn= 6= 1
et la convergence presque sûre de Ynvers 6.
1

b) Nnla variable aléatoire qui compte le nombre de 6 peut se réécrire Nn=Pn
k=1 Xk=6.
La suite de variables aléatoires (Zk:= (Xk=6))est indépendante identiquement
distribuée. Et (X1=6) suit une loi de Bernoulli de paramètre P(X1= 6) = 1
6, elle
possède donc une espérance. D’après la loi forte des grands nombres, on a
Nn
n=Z1+... +Zn n
p.s.
→1
6
3. A l’approche des élections, un institut de sondage contacte successivement des
individus. Notre modèle est le suivant : les appels sont indépendants et chaque individu
répond qu’il va voter pour le candidat Aavec probabilité pA(et pour le candidat Bavec
probabilité pB= 1 −pA). Le but est d’estimer le paramètre pAdu modèle.
a) Soit NA(n)le nombre de réponses en faveur du candidat Acollectées en nappels.
Que dire de la convergence de la suite NA(n)
n?
b) L’application de l’inégalité de Tchebychev à la variable aléatoire NA(n)
npermet-elle
de retrouver ce résultat ?
c) Déduire de cette même inégalité un intervalle I(n, δ)tel que
P(pA∈I(n, δ)) ≥1−δ
Un tel intervalle est appelé intervalle de confiance pour le paramètre pA.
Solution de l’exercice 3. Introduisons une suite Xkde Bernoullis indépendantes de
paramètre pAtelle que Xkprend la valeur 1 si le k-ème individu appelé se prononce pour
le candidat A, et 0dans le cas contraire.
a) On note que NA(n) = Pn
k=1 Xket donc d’après la loi forte des grands nombres,
NA(n)
n=X1+X2+... +Xn n
p.s
→pA
car la suite (Xk)est iid et que X1admet pour espérance pA.
b) On a
ENA(n)
n=pA
Var NA(n)
n=1 n2nVar(X1) = pA(1 −pA) n
donc l’inégalité de Tchebychev appliquée à la variable aléatoire NA(n)
ndonne, pour
tout ε > 0,
P
NA(n)
n−pA≥ε≤pA(1 −pA) nε2
2

Si on avait P∞
t=0 P
NA(n)
n−pA≥ε<∞par application du lemme de Borel-
Cantelli (cf exercice 5 TD 8), on obtiendrait la convergence presque sûre de NA(n)
n
vers pA. Mais l’inégalité obtenue par l’inégalité obtenue ne nous donne pas une
majoration par le terme général d’une série convergente, donc n’est pas suffisante
pour obtenir la convergence presque sûre...
c) Utiliser l’inégalité de Tchebychev va toutefois nous permettre de construire un inter-
valle de confiance de niveau 1−δpour pA, c’est-à-dire une région qui contienne pA
avec probabilité au moins 1−δ. Pour cela on choisit dans l’inégalité de Tchebychev
ci-dessus εtel que pA(1−pA)
nε =δ. Pour cette valeur de εon a alors
P
NA(n)
n−pA≤ε≥1−δ
En remarquant que ε=1
√nqpA(1−pA)
δ, on peut poser
I(n, δ) = "NA(n)
n−1
√nrpA(1 −pA)
δ;NA(n) n+1
√nrpA(1 −pA)
δ#
4. Soit f: [0,1] →Rune fonction continue. Pour tout n≥0, on définit la fonction
bn: [0,1] →Rpar la formule
∀x∈[0,1], bn(x) =
n
X
k=0 n
kfk nxk(1 −x)n−k.
a. Montrer que la suite de fonctions (bn)n≥0converge simplement vers f, c’est-à-dire
∀x∈[0,1],lim
n→∞ bn(x) = f(x).
b. Montrer que la convergence est uniforme, c’est-à-dire que
lim
n→∞ sup{|bn(x)−f(x)|:x∈[0,1]}= 0.
On a démontré le théorème de Stone-Weierstrass : toute fonction continue sur un segment
y est uniformément approximable par une suite de fonction polynômiales. Plus précisem-
ment on a approximé fpar une famille de polynômes de Bernstein.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Solution de l’exercice 4.
3

a) Soit x∈[0,1]. On observe que bn(x) = E[f(B/n)], où Bsuit la loi binomiale
de paramètres net x. Considérons donc (Xn)n≥1une suite de v.a.i.i.d. de loi de
Bernoulli de paramètre x. On a
bn(x) = EfX1+. . . +Xn
n.
D’après la loi des grands nombres, X1+...+Xn
ntend presque sûrement, quand ntend
vers l’infini, vers E[X1] = x. Puisque fest continue, fX1+...+Xn
ntend donc presque
sûrement vers f(x). Enfin, puisque fest continue sur [0,1], elle est bornée. La conver-
gence presque sûre de fX1+...+Xn
nvers f(x)est donc dominée par le supremum de
fet le théorème de convergence dominée permet d’affirmer que
bn(x) = EfX1+. . . +Xn
n−→
n→∞ f(x).
b) On cherche à majorer la différence |bn(x)−f(x)|indépendamment de x.
|bn(x)−f(x)| ≤ EfX1+... +Xn
n−f(x)
≤EfX1+... +Xn
n−f(x)|X1+...+Xn
n−x|≥α
+EfX1+... +Xn
n−f(x)|X1+...+Xn
n−x|<α
où l’inégalité ci-dessus est vraie pour tout α. On se fixe ε > 0. Par uniforme conti-
nuité de f(fest continue sur un segment), il existe un α > 0tel que |y−x| ≤ α⇒
|f(y)−f(x)| ≤ ε/2. On a donc pour ce choix de α,
|bn(x)−f(x)| ≤ 2||f||∞P
X1+... +Xn
n−x≥α
| {z }
A(x)
+ε/2
Il suffit maintenant de majorer A(x)par un petit nombre indépendamment de x:
pour cela il faut appliquer l’inégalité de Tchebychev. Pour tout x∈[0,1], on a :
A(x)≤1
nα2V ar(X1) = 1 nα2(x∗(1 −x)) ≤1 1∗nα2.
Donc en prenant nassez grand, on peut rendre aussi petit que l’on veut supxA(x)
ce qui finit la preuve.
5. Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Poisson
de paramètre 1. Soit Sn=Pn
k=1 Xk. Rappeler la loi de Snet calculer la limite de la suite
e−nPn
k=0
nk
k!n≥1.
4

Solution de l’exercice 5. Une somme de v.a. de Poisson indépendantes est une v.a. de
Poisson dont le paramètre (qui est aussi l’espérance et la variance) est la somme de ceux
des v.a. qu’on a ajoutées. Ainsi Snsuit une loi de Poisson de paramètre n. En particulier,
si k∈N, alors e−nnk
k!=P(Sn=k). En sommant, on obtient
e−n
n
X
k=0
nk
k!!=P(Sn≤n) = P(Sn/n ≤1).
La loi des grands nombres nous dit que Sn/n →E[X1] = 1 p.s. Ainsi Sn/n est proche de
1, mais ce résultat ne nous dit pas s’il est un peu plus grand ou un peu plus petit. Pour
avoir des informations sur Sn/n −1, (et en particulier son signe), on applique le théorème
de la limite centrale : Sn−n
√n
loi
−→
n→∞ N(0,1).
D’après le corrolaire 4.2.1 du cours, on en déduit que, si Ysuit une loi normale standard,
alors, lorsque n→ ∞,
P(Sn/n ≤1) = P(Sn−n
√n≤0) →P(Y≤0) = 1/2.
L’égalité P(Y≤0) = 1/2découle du fait que Yest symétrique.
Ainsi, on a montré que e−n
n
X
k=0
nk
k!!→1/2.
6.
a) Soit (pn)n≥0une suite de réels dans ]0,1[ telle que limn→+∞npn=λ > 0. Soit
(Xn)n≥0une suite de v.a. telles que pour tout n:Xn∼ B(n, pn)et Xune v.a. de
loi de Poisson paramètre λ. Montrer que (Xn)n≥0converge en loi vers X.
b) Soit (Xn)n≥0une suite de v.a. réelles indépendantes de même loi N(0,1). Etudier
le comportement asymptotique en loi de la suite Yn=1
nPn
k=1 √kXk
Solution de l’exercice 6.
a) Afin de montrer la convergence en loi de (Xn)n≥0vers X. Montrons que φXn(t)−−−−→
n→+∞
φX(t)pour tout t∈R, où φXdesigne la fonction caractéristique d’une variable aléa-
toire X.
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