Mouvement dans un champ newtonien

Mouvement dans un champ newtonien
I Notions sur les coniques
A) Définition géométrique
1) Parabole
Parabole de directrice D et de foyer F = M équidistan t de D et F
D
Rayon incident (en optique géométrique)
S
(sommet)
F
Axe de la parabole
F est l’image, rigoureusement stigmatique, d’un faisceau de lumière incident
parallèle à l’axe de la parabole.
2) Ellipse
Ellipse de foyers F et F’, de ½ grand axe a = M  Plan , FM  F ' M  2a
B
Petit axe
M
A
P
F’
O
F
Grand axe
On note : O le milieu de [FF ' ] .
P est le péricentre, point (du grand axe) le plus proche de F.
A est l’apocentre, point le plus éloigné de F.
P appartient à l’ellipse. On a donc :
FP  F ' P  2a  (OP  OF )  ( F ' O  OP )  2a  2OP  2a  OP  a
De même, comme A appartient à l’ellipse, OA  a
Donc AP  2a (d’où le nom de ½ grand axe pour a).
On note c la ½ distance entre les foyers c  OF  OF '
Et b le ½ petit axe de l’ellipse b  OB
B appartient à l’ellipse. On a donc :
2
2
2
FB  F ' B  2a  2FB  2a  OF 2  OB 2  a  a  b  c
On définit l’excentricité e  c / a  0;1 (  1 car a 2  c 2 )
Dans le cas où e  0 , c’est un cercle (foyers confondus) de rayon a. Si e  1,
c’est un segment ou une parabole.
Surface : S    a  b
Optique géométrique : tout rayon partant de F atteindra F’ après réflexion
sur l’ellipse, et vice-versa.
3) Hyperbole
Hyperbole de foyers F et F’, ½ grand axe a = M  Plan , FM  F ' M  2a
F’
S’
O
S
F
Grand axe
S appartient à l’hyperbole. On a donc :
F ' S  FS  2a  ( F ' O  OS )  (OF  OS )  2a  2OS  2a  OS  a
De même, OS '  a , et ainsi SS ' 2a
On note c la ½ distance entre les foyers c  OF  OF '
2
2
2
On définit le ½ petit axe b comme vérifiant a  b  c
On définit encore l’excentricité e  c / a  1
F’ est l’image rigoureusement stigmatique de F par réflexion sur une
branche de l’hyperbole (image et objet virtuels à cause respectivement de la
branche gauche et droite)
B) Equation polaire
y
M
r

F
x
Centre du repère : un des foyers de la conique.
p
(  0 correspond à la
1  e cos(   0 )
direction du péricentre, p est un paramètre de la conique)
On admet que la conique a pour équation r 
1) Ellipse
1  e cos(   0 )  0. Donc p  0, car r  0
y
P
0
F
x
F’
A
r minimum  cos(   0 )  1     0 , direction du péricentre.
En P :
r  FP  OP  OF  a  c
p

1 e
c
1
b2
Donc p  (a  c)(1  e)  (a  c)(1  )  (a  c)( a  c) 
a
a
a
2) Hyperbole
Pour simplifier, on suppose  0  0 (sinon on peut changer de repère)
 Si p  0
p
r
 0  1  e cos   0
1  e cos(   0 )
1
   1

 cos     cos 1 où 1   ;      1;0
e
2   e

    1 ;1 
y
1
F
 1
S
x

On obtient donc une seule branche de l’hyperbole.
Pour   0, r  FS  FO  OS  c  a
1
b2
Donc p  (c  a)(1  e)  (c  a)( a  c) 
a
a
 Si p  0
r
p
 0  1  e cos   0
1  e cos(   0 )
1
   1

 cos     cos 1 où 1   ;      1;0
e
2   e

     ;1   1 ;  
y
M

F’
1
F
S’ O
 1
On obtient la branche d’hyperbole qui exclut F
Pour    , r  FS '  FO  OS '  c  a
Donc p  (c  a)(1  e) 
1
 b2
(a  c)( a  c) 
a
a
C) Equation cartésienne
On prend l’origine au centre de la conique.
1) Ellipse
y
F’
O
F
x
x2 y2

1
a2 b2
(Peut être montrée à partir de l’équation polaire)
Equation de l’ellipse :
2) Hyperbole
y
F’
O
F
x
x
x2 y2
Equation de l’hyperbole : 2  2  1
a
b
(Remarque : on obtient ici les deux branches de l’hyperbole)
3) Parabole
D
y
O
F
x
Equation de la parabole : y 2  2 p  x
(p : paramètre de la parabole)
II Mouvement dans un champ de force centrale, newtonienne
A) Hypothèses
O fixe dans (R) galiléen.

F
O

ur
M


F  F (r )  u r (car la force est centrale)
k 
 u r (car la force est newtonienn e)
r2
Avec k  0 si la force est attractive, k  0 si elle est répulsive.

B) Equation de la trajectoire
La force est centrale. On a donc un mouvement plan. On choisit un axe (Ox , et
l’axe (Oy perpendiculaire.
y

u
M

ur
r

O
x
C  r  cte
2nde formule de Binet :

d 2u 
1
a M /( R )  C 2 u 2 (u 
)  u r avec u 
2
r
d
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à M dans (R) galiléen :


F  m  a M /( R )

d 2u 
  k  u 2  u r   mC 2 u 2 (u 
)  ur
d 2
d 2u
2
 k  mC (u 
)
d 2
d 2u
k

u 
2
d
mC 2
k
Donc u  SP  SGH 
 A cos(   )
mC 2
k
k
k
u ( ) 

e cos(   0 ) avec A  
e, e  0
2
2
mC
mC
mC 2
k
u ( ) 
(1  e cos(   0 ))
mC 2
1
k
Donc ( ) 
(1  e cos(   0 ))
r
mC 2
mC 2
p
avec p 
r ( ) 
k
1  e cos(   0 )
mC 2
, d’excentricité
k
e  0 , et de grand axe    0   . p, e, 0 dépendent des conditions initiales.
On pose  '     0 pour simplifier, et on utilisera  pour  ' .
Donc M décrit une conique de foyer O, de paramètre p 
C) Signe de k et nature de la trajectoire
Si k  0 : force attractive. p 
mC 2
0
k
1) Ellipse : e  1
M

O
A
Axe polaire
P
Pour  '   0  0 : péricentre
2) Hyperbole : e  1

u

ur
M

r
O
3) Parabole : e  1
Axe polaire
P
D
O
P

Axe de la parabole
M
mC 2
0
k
On a donc une hyperbole, d’excentricité e  1
Si k  0 : force répulsive. p 
M

r
O
P
F
Axe polaire
D) Energie
1) Energie cinétique
EC 
1
m  v2
2
1ère formule de Binet :
2

 du  
v2  C 2 u 2  


 d  

1 1  e cos 
u 
r
p
du  e sin 

d
p
 1  e 2 cos 2   2e cos  e 2 sin 2  

Donc v 2  C 2 

p2
p 2 

 1  e 2  2e cos   k  p / m
 
 C 2 
(1  e 2  2e cos  )
2
2
p
p


Donc E c 
k
(1  e 2  2e cos  )
2p
Exemple : ellipse

vP
A

vA
O
P
k (1  e) 2
k (1  e) 2
2
v 
; vA 
m p
m p
2
P
2) Energie potentielle
EP 
k k

(1  e cos  )
r
p
3) Energie mécanique
Système conservatif :
E m  EC  E P
k
k
(1  e 2  2e cos  )  (1  e cos  )
2p
p
k 2

(e  1)
2p

mC 2 2

(e  1)
2 p2
(C’est donc une intégrale première du mouvement : indépendante de t)
Le signe de E m ne dépend que de e 2  1 (donc e  1 ), donc de la nature de
la trajectoire.
Si e  1, Em  0 (hyperbole, état de diffusion)
Ep éff
Ep éff
Em
Em
r
r2
r  r2
r2
r  r2
Si e  1, Em  0 (parabole, état de diffusion)
1
k
Em  m  v 2 
2
r
E P r
 0 Donc EC r
 0 (car v  0)


Si e  1 , Em  0 (ellipse, mouvement lié)
r
Ep éff
r1
r2
r
Em
r1  r  r2
p
1 e
p
r2  distance apocentriq ue 
1 e
r1  distance péricentri que 
Autre expression de l’énergie mécanique :
k 2
Em 
(e  1)
2p
 Si k  0 et e  1 : on a une ellipse
b
c2  a2  b2
p  2 et e 2  1 
 2
a
a2
a
2
b  k
k
Donc E m  2   2  
0
2b / a  a  2a
Si k  0 et e  1 : on a une hyperbole
b
c2  a2 b2
p  2 et e 2  1 
 2
a
a2
a
k
Donc E m 
0
2a
 Si k  0 (et ainsi e  1) : on a aussi une hyperbole
b
c2  a2 b2
p  2 et e 2  1 
 2
a
a2
a
k
Donc E m 
 0 (car k  0)
2a

Donc, dans chaque cas, E m  
k
(le signe dépend de la nature de la
2a
trajectoire). Ainsi, E m permet de trouver a et vice-versa. De même, avec la
mC 2  b 2
 b2

relation p 
, on peut connaître
grâce à C et vice versa.
a
k
a
E) Cas particulier : mouvement circulaire
Le mouvement circulaire est un cas particulier du mouvement elliptique. On a
alors k  0 .

ur
 
v u
M
R

O
On a : a  R, b  R, c  0, e  0

OM  R  u r


v
 R  u

M /( R )
On a C  R   cte . Donc le mouvement est circulaire uniforme.
On pose    (vitesse angulaire, constante ici)
2
pR
mC 2 mR 4 2
 k 

  
3 
k
k
 mR 
1/ 2
 k 
. Donc v  R   

 mR 
1/ 2
k
k
1
k
 k 
ou : EC 
. Donc mv 2 
soit v  
(1  e 2  2e cos  ) 

2
2R
2p
2p
 mR 
EP 
1/ 2
k k

r
R
k
R2
Remarque : EC   Em ; E P  2Em
C’est un cas particulier du théorème du Viriel :
Pour un mouvement lié,  2 EC  EP
Donc E m  EC  E P  
Ainsi, si E m diminue (frottement par exemple), EC   Em augmente, donc v
augmente (ce qui peut paraître paradoxal), mais en supposant le mouvement toujours
k
circulaire. Exemple : satellite autour de la Terre. Mais E C 
donc R diminue.
2R
III Mouvement des planètes et satellites
A) Lois de Kepler
Les observations (très précises) de TychoBrahé ont donnée les lois de Kepler, qui
ont permis la loi de la gravitation universelle de Newton (notamment le calcul de G)
Théorie épicyclique utilisée à ce moment (mais fausse) :
Les planètes ont un mouvement de type circulaire, (tournent autour d’autres
planètes…)
1ère loi de Kepler : Les planètes décrivent des ellipses dont le soleil occupe l’un des
foyers.
2ème loi de Kepler : le rayon-vecteur SP (Soleil Planète) balaye des aires égales
pendant des intervalles de temps égaux.
a3
3ème loi de Kepler : 2 est une constante, identique pour toutes les planètes du
T
système solaire (où a est le ½ grand axe de l’ellipse de la trajectoire, T la période de
révolution de la planète)
B) Démonstration
Hypothèses :
 Le soleil et les planètes ont une distribution de masse à symétrie
sphérique (assimilés à des masses ponctuelles situées au centre de
l’astre, de masses la masse totale de l’astre).
 Il existe un référentiel galiléen dans lequel le soleil est fixe (référentiel
héliocentrique : centre du soleil, 3 étoiles éloignées comme direction des
axes)
 On suppose la mécanique classique valide ( v  c )
S (M S )

ur

FS  P
P( M P )

GM S M P 
FS P  
u r . On a donc une force centrale newtonienne, k  GM S M P .
r2
Donc :
 Les objets décrivent des coniques de foyer S dans le système solaire 
ellipses car elles restent dans le système. (1ère loi)
dS C
 , C  r 2  cte (2ème loi)
 La force est centrale, donc
dt 2

P
S

x
S
S : aire de l’ellipse
T : période de révolution
M PC 2 b2
dS C S
b2k
2
  ; p

Donc C 
dt
2 T
k
a
aM P
On a, pour une ellipse, S    a  b
On a donc :
GM S
C2 S2
kb2
 2a2
a3
k
 2 




2
2
2
4
4M P a
T
T
T
4 M P
4 2
Identique pour toutes les planètes (ne dépend que de M S ) (3ème loi)
Remarque :
k

(pour un mouvement uniforme)
mR3
GM S
2

T
R3
4 2 GM S ème
Soit 2 
(3 loi de Kepler pour un mouvement circulaire)
T
R3
Donc
Application : calcul de M S
Terre : a  1u.a.  149,610 6 km ; T  365,25 jours
Alors, M S  1,99.10 30 kg (pour la terre, M T  3,0.10 24 kg )
T jupiter  11,8ans . Donc a Jupiter
 TJupiter 

 aTerre  
 TTerre 
2/3
 5,2u.a.
C) Satellites terrestres
(Sauf cas de la lune)
Hypothèses :
 On suppose que la Terre correspond à une masse ponctuelle en son centre O.
 Le référentiel géocentrique (mêmes étoiles que pour héliocentrique) est
supposé galiléen
On considère un satellite M.


u
r
N

M(m)
FT  M
O
S

GM T m 
FT  M  
ur (Force centrale newtonienne)
r2
Le mouvement dans le référentiel géocentrique est donc une conique, une ellipse
pour les trajectoires liées.
M
N

O
S
Orbites circulaires :

vC
R
O
( R  RT )
M

v C : vitesse du satellite sur l’orbite circulaire de rayon R
GM T m 1
GM T
 m  v 2 Donc vC 
2R
2
R
vC est maximale pour une orbite basse, R  RT .
EC 
vC max 
T
GM T
 7,92km.s 1 (cas des satellites en orbite basse)
RT
2R
R3
 2
; Tmin  1h 25 min
vC
GM T
Pour un satellite géostationnaire : T  TTerre  23h56 min 4s
Donc Rgéostationnaire  42,2.105 km ; Rgéostationnaire  RT  358000km
Vitesse minimale de satellisation : On envoie un satellite depuis la surface terrestre

avec une vitesse v0 pour l’amener sur une trajectoire circulaire de rayon R. (On suppose
qu’il n’y a que la force gravitationnelle).
GM T m
E m   EC  
(sur la trajectoi re circulaire )
2R
GM T m
1
 EC  E P  m  v02 
(au lancement)
2
RT
2
1
GM T m GM T m
1
 )
Donc m  v02 
. Donc v02  GM T (

RT R
2
RT
2R
v0 est minimum si R  RT . Alors v02 
GM T
, soit v0  vC  7,92km.s 1
RT
Vitesse de libération : Correspond à la vitesse minimale pour que le projectile
quitte l’attraction terrestre. On a donc un mouvement de diffusion, Em  0
1
GM T m
Em  m  v 2 
2
RT
 v2 
2 Em 2GM T 2GM T


m
RT
RT
Donc vlib 
2GM T
 2  vC  11,2km.s 1
RT
Dans ce cas limite où v  vlib , Em  0 . La trajectoire est parabolique, et v  0 .
Si v  vlib , Em 
GM T m 1
1
m  v2 
 m  v2
2

2
Application : Trou noir
Définition classique : un corps est un trou noir lorsque vlib  c (« même la lumière
GM
2GM
 c , soit R  2
c
R
24
Application numérique : Si M  M T  6.10 kg, Alors R  9mm
(Pour le soleil : M soleil  2.10 30 kg, R  3km ( RS  700000km) )
ne peut s’en échapper »). Ainsi,
2