Mouvement dans un champ newtonien

I Notions sur les coniques
A) Définition géométrique
1) Parabole
Parabole de directrice D et de foyer F =
Fet D det équidistan M
D
Axe de la parabole
S
(sommet) F
Rayon incident (en optique géométrique)
F est l’image, rigoureusement stigmatique, d’un faisceau de lumière incident
parallèle à l’axe de la parabole.
2) Ellipse
Ellipse de foyers F et F’, de ½ grand axe a =
aMFFMM2',Plan 
Grand axe
F’F
Petit axe
OP
A
M
B
On note : O le milieu de
]'[FF
.
P est le péricentre, point (du grand axe) le plus proche de F.
A est l’apocentre, point le plus éloigné de F.
P appartient à l’ellipse. On a donc :
aOPaOPaOPOFOFOPaPFFP  222)'()(2'
De même, comme A appartient à l’ellipse,
aOA 
Donc
aAP 2
(d’où le nom de ½ grand axe pour a).
On note c la ½ distance entre les foyers
'OFOFc
Et b le ½ petit axe de l’ellipse
OBb
B appartient à l’ellipse. On a donc :
 aOBOFaFBaBFFB 22 222'
222 cba 
Mouvement dans un champ newtonien

On définit l’excentricité
1;0/  ace
(
22
car 1 ca 
)
Dans le cas où
0e
, c’est un cercle (foyers confondus) de rayon a. Si
1e
,
c’est un segment ou une parabole.
Surface :
baS 
Optique géométrique : tout rayon partant de F atteindra F’ après réflexion
sur l’ellipse, et vice-versa.
3) Hyperbole
Hyperbole de foyers F et F’, ½ grand axe a =
aMFFMM2',Plan 
Grand axe
F’F
O
S’S
S appartient à l’hyperbole. On a donc :
aOSaOSaOSOFOSOFaFSSF  222)()'(2'
De même,
aOS '
, et ainsi
aSS 2'
On note c la ½ distance entre les foyers
'OFOFc
On définit le ½ petit axe b comme vérifiant
222 cba 
On définit encore l’excentricité
1/  ace
F’ est l’image rigoureusement stigmatique de F par réflexion sur une
branche de l’hyperbole (image et objet virtuels à cause respectivement de la
branche gauche et droite)
B) Equation polaire
y
x
r
F
M
Centre du repère : un des foyers de la conique.
On admet que la conique a pour équation
)cos(1 0
ep r
(
0
correspond à la
direction du péricentre, p est un paramètre de la conique)
1) Ellipse
0car ,0 Donc .0)cos(1 0 rpe

y
x
0
F
P
A
F’
00 1)cos(minimum
r
, direction du péricentre.
En P :
e
p
caOFOPFPr
1
Donc
a
b
caca
aa
c
caecap 2 ))((
1
)1)(()1)((
2) Hyperbole
Pour simplifier, on suppose
0
0
(sinon on peut changer de repère)
 Si
0p
11
11
0
;
0;1
1
;
2
où cos
1
cos
0cos10
)cos(1
ee
e
ep
r
x
y
S
F
1
1
On obtient donc une seule branche de l’hyperbole.
Pour
acOSFOFSr ,0
Donc
a
b
caac
a
eacp 2 ))((
1
)1)((
 Si
0p

;;
0;1
1
;
2
où cos
1
cos
0cos10
)cos(1
11
11
0
ee
e
ep
r
x
y
F
1
F’O
S’
M
1
On obtient la branche d’hyperbole qui exclut F
Pour
acOSFOFSr '',
a
b
caca
a
eacp 2 ))((
1
)1)((Donc 
C) Equation cartésienne
On prend l’origine au centre de la conique.
1) Ellipse
x
y
OF’F
Equation de l’ellipse :
1
2
2
2
2 b
y
a
x
(Peut être montrée à partir de l’équation polaire)
2) Hyperbole
x
y
OF’F

Equation de l’hyperbole :
1
2
2
2
2 b
y
a
x
(Remarque : on obtient ici les deux branches de l’hyperbole)
3) Parabole
x
y
OF
D
Equation de la parabole :
xpy  2
2
(p : paramètre de la parabole)
II Mouvement dans un champ de force centrale, newtonienne
A) Hypothèses
O fixe dans (R) galiléen.
OM
r
u
F
e)newtoniennest force lacar (
centrale)est force lacar ()(
2r
r
u
rk
urFF
Avec
0k
si la force est attractive,
0k
si elle est répulsive.
B) Equation de la trajectoire
La force est centrale. On a donc un mouvement plan. On choisit un axe
Ox(
, et
l’axe
Oy(
perpendiculaire.
y
x
r
M
O
r
u
u
cte rC
2nde formule de Binet :
rRM u
dud
uuCa   )( 2
2
22
)/(
avec
r
u1
Relation fondamentale de la dynamique appliquée à M dans (R) galiléen :