Activité d`introduction Partie A Dans cette partie

Activité d’introduction
Partie A
Dans cette partie, on s’intéresse à la modélisation du choix au hasard d’un réel dans l’intervalle [0; 1].
1. Quelle différence majeure y a-t-il entre les expériences aléatoires étudiées jusqu’alors et celle que constitue le choix au hasard d’un nombre dans l’intervalle [0; 1] ?
2. Intuitivement, estimer la probabilité que le nombre choisi appartienne à :
a) [0; 0,5] ;
b) [0,5; 0,75] ;
c) [2 × 10−9 ; 5 × 10−9 ].
3. Dans la suite, on appelle nombre de type T tout réel appartenant à [0; 1] s’écrivant avec un 0 suivi d’au
plus 8 décimales après la virgule. Combien existe-t-il de nombres de type T ?
4. On choisit, au hasard, un nombre parmi les nombres de type T .
Quelle est la probabilité de choisir le nombre 0,1234567 ?
5. Quelle est la probabilité de choisir un nombre appartenant à :
a) [0; 0,5] ?
b) [0,5; 0,75] ?
c) [2 × 10−9 ; 5 × 10−9 ] ?
6. Le modèle choisi dans les questions précédentes donne-t-il une modélisation de la situation conforme à
notre intuition ?
7. Pour améliorer ce modèle, on décide d’augmenter le nombre de décimales utilisées.
n désignant un entier supérieur ou égal à 8, on note n le nombre de décimales utilisées.
a) Combien y a-t-il de tels nombres ? Quelle est la probabilité de choisir le nombre 0,1234567 ?
b) Vers quelle valeur la probabilité de choisir le nombre 0,1234567 tend-elle lorsque n tend vers +∞ ?
8. On simule, à l’aide de la fonction random (ou alea) du tableur, à 10000 reprises, le choix au hasard
d’un nombre appartenant à l’intervalle [0; 1]. On obtient l’histogramme ci-dessous (fig. 1, p. 2).
a) La fréquence de l’événement « Le nombre choisi appartient à l’intervalle [0; 0,1]. » est égale à 0,1.
Expliquer comment retrouver cette information sur le graphique.
b) Compléter le tableau ci-dessous à l’aide de l’histogramme.
Classes
[0; 0,1[
[0,1; 0,2[ [0,2; 0,3[ [0,3; 0,4[ [0,4; 0,5[ [0,5; 0,6[ [0,6; 0,7[ [0,7; 0,8[ [0,8; 0,9[
[0,9; 1]
Fréquences
c) Calculer la fréquence de l’événement « Le nombre choisi appartient à l’intervalle [0; 0,5]. ».
d) Intuitivement, si l’on recommence ces simulations et que l’on augmente le nombre de tirages ainsi
que le nombre de classes, à quoi l’histogramme va-t-il ressembler ?
9. Dans cette question, a et b désignent deux réels appartenant à [0; 1] tels que a < b.
On note X la variable aléatoire qui, à un tirage, associe le nombre réel obtenu.
a) En considérant exacte la conjecture formulée à la question 8d, proposer une modélisation permettant
de calculer P (a 6 X 6 b).
b) Donner les valeurs respectives de P (X 6 a), P (X > a), P (X < a), P (X = a).
Remarque : On dit que X suit la loi uniforme sur [0; 1].
Partie B
Dans cette partie, deux personnes choisissent, au hasard et indépendamment l’une de l’autre, un réel
appartenant à [0; 1].
1. On nomme n1 et n2 les nombres choisis et on pose N = n1 + n2 . Dans quel intervalle varie N ?
2. Le choix de n1 et n2 se fait suivant des lois uniformes sur [0; 1] ; on souhaite savoir si leur somme N
suit, elle aussi, une loi uniforme.
On simule, à l’aide du tableur, à 10000 reprises, le choix au hasard de deux nombres appartenant à
l’intervalle [0; 1] ainsi que le calcul de la somme des deux nombres choisis. On obtient l’ histogramme
ci-dessous (fig. 2, p. 2).
a) À quelle fréquence l’aire d’un carreau du quadrillage correspond-elle ?
b) En déduire les fréquences de chacun des événements (N ∈ [0,9; 1]), (0,8 6 N 6 1,2) et (N > 1,5).
c) Au vu de l’histogramme obtenu, peut-on conjecturer que N suit une loi uniforme sur [0; 2] ?
3. Soit L une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle [0; 2].
Calculer les probabilités P (L ∈ [0,9; 1]), P (0,8 6 L 6 1,2) et P (L > 1,5).
Ces résultats viennent-ils confirmer la conjecture émise à la question 2c ?
1.04
0.96
0.88
0.80
0.72
0.64
0.56
0.48
0.40
0.32
0.24
0.16
0.08
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Figure 1 – Partie A
0
0,2
0,4
0,6 0,8
1,2 1,4
1
Figure 2 – Partie B
1,6
1,8
2