7 – Introduction aux lois de probabilités continues – Densité de

7 – Introduction aux lois de probabilités continues – Densité de probabilité
Activités d’introduction :  On donne ci-dessous quelques exemples pour lesquelles les connaissances acquises sur les lois de
probabilité discrètes (ayant un nombre fini d’issues numériques) sont insuffisantes.
• Un tireur envoie un projectile sur une cible et on appelle X la variable aléatoire prenant pour valeurs la
distance en m entre le centre de la cible et le point d’impact.
La loi de probabilité de X n’est pas discrète, car X peut prendre à priori toute valeur de ................................
• On fait tourner devant un index une roue munie d’une marque et on appelle X la variable aléatoire prenant
pour valeur la mesure en radians de l’angle géométrique entre l’index et la marque.
X peut prendre à priori toute valeur de ................................
• On appelle X la variable aléatoire prenant pour valeur la durée de fonctionnement sans panne d’un téléviseur.
X peut prendre à priori toute valeur dans ................................
 Exemple d’univers possédant une infinité d’issues possibles
1 – On appelle E l’ensemble des nombres entiers de l’intervalle [0 ; 100[.
On s’intéresse à l’expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard un nombre dans E.
a) Soit e une issue quelconque de E. On a :
(
)
=
p e
..........
b) Soit a et b deux nombres entiers appartenant à E. On pose A = « Obtenir un réel de [a ; b[ ».
On a :
(
)
card A
= .................... et donc :
(
)
A
p = .......................
2 – On s’intéresse ensuite à l’expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard un nombre réel quelconque
dans l’intervalle [0 ; 100[.
Pourquoi ne peut-on pas appliquer la méthode utilisée dans la question 1.
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La feuille annexe 1 montre la simulation de tirages de nombres réels dans l’intervalle [0 ; 100[.
On a construit dans chaque cas des histogrammes dont les classes ont une amplitude égale à 1.
On constate que la fonction f, définie sur [0 ; 100[ par :
(
)
=
f x
.................... « épouse » la forme de
l’histogramme lorsque le nombre de tirages devient suffisamment grand.
On supposera donc que l’histogramme est constitué de rectangles dont la hauteur égale à .....................
On pose l’événement A : « Obtenir un nombre réel de l’intervalle [24 ; 52[ ».
a) Quelle est la probabilité de A ?
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b) Vérifier que
(
)
A
p est égale à la somme des aires des rectangles des classes [24 ; 25[, [25 ; 26[, [26 ; 27[,
... , [51 ; 52[.
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_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
c) Comment pourraient-on écrire
(
)
A
p en utilisant la fonction f définie ci-dessus ?
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_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________

Conclusion : Lorsque l’univers est un intervalle E (ayant donc une infinité d’éléments), on ne peut plus
s’intéresser à chacune des issues.
Si on appelle X la variable aléatoire prenant pour valeur chacune des issues possibles, on ne peut que
s’intéresser aux événements du type : (X < a) ou (X ≤
≤≤
≤ a) ou (X > a) ou (X ≥
≥≥
≥ a) ou (a ≤
≤≤
≤ X < b) où a et b sont
deux réels de E.
 Loi de probabilité à densité continue sur un intervalle
On a réalisé une étude portant sur la taille en cm de 50000 individus adultes.
Les résultats obtenus sont dans l’intervalle [145 ; 209].
Afin de réaliser une présentation des résultats, on a dessiné un histogramme donnant la distribution des tailles
en abscisses et la fréquence observée en ordonnée. Chaque classe a une amplitude de 1 cm.
On peut lire par exemple que 2% des individus ont une taille appartenant à [161 ; 162[.
On choisit au hasard un individu de l’échantillon et on appelle X la variable aléatoire prenant pour valeur la
taille de l’individu.
1 – Que vaut
[
]
(
)
X 145 ; 209
∈p ?
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2 – En utilisant l’histogramme, donner une valeur approchée de
[
[
(
)
X 171;177
∈p.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
3 – Supposons que l’on ait trouvé une fonction f, définie et continue sur [145 ; 210] épousant la forme de
l’histogramme.
Comment peut-on définir
[
[
(
)
X 171;177
∈p ?
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
Taille en cm
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
145 149 153 157 161 165 169 173 177 181 185 189 193 197 201 205 209
Fréquence
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
145
150
155
160
1
6
5
1
70
1
75
1
80
1
85
1
90
1
95
200
205
210
T
aille (en cm)
Fréquence

4 – On considère la fonction f, définie sur l’intervalle [145 ; 209] par :
(
)
(
)
0,025cos 0,0982 17,377 0,025
= − +f x x
Compléter le tableau de valeurs ci-dessous en donnant des valeurs arrondies à
3
10
−
près.
x 145 153 161 169 177 185 193 201 209
(
)
f x
Vérifier que la courbe représentative de la fonction f « épouse » bien la forme de l’histogramme.
5 – a) En utilisant le résultat de la question 3 , calculer
[
[
(
)
X 171;177
∈p.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
b) Le résultat est-il cohérent avec celui de question 2 ?
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_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
6 – La fonction f, définie ci-dessus ne peut pourtant pas être associée à la loi de probabilité de X.
Calculer :
( )
209
145
d
∫
f t t
, puis expliquer pourquoi.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
Notation : Si c et d sont deux réels tels que c ≤ d, alors
(
)
;
c d
désigne un quelconque des quatre intervalles de
bornes c et d ([c ; d] ou [c ; d[ ou ]c ; d] ou ]c ; d[).
Par abus de notation,
(
)
;
c d
désignera aussi l’événement « Obtenir un résultat dans
(
)
;
c d
».
Définition 7.7.1 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I = [a ; b] de
»
.
On dit que p est la loi de probabilité sur I de densité f lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
Pour tous réels c et d appartenant à [a ; b] :
(
)
;
p c d
= .......................................
(
)
I
=
p .............................. = 1

Remarque : Il n’est donc pas possible d’associer n’importe quelle fonction f à une variable aléatoire X prenant
toutes les valeurs d’un intervalle E = [a ; b].
La fonction f, en plus d’être continue et positive sur [a ; b] doit vérifier :
( )
d
∫b
a
f t t
= 1.
Une telle fonction f s’appelle une densité de probabilité sur l’intervalle [a ; b].
Définition 7.7.2 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I =
[
[
;
+ ∞
a de
»
.
On dit que p est la loi de probabilité sur I de densité f lorsque les trois conditions suivantes sont vérifiées :
Pour tous réels c et d appartenant à [a ; b] :
(
)
;
p c d
= .......................................
(
)
I
=
p .............................................. = 1
Pour tout réel c de
[
[
;
+ ∞
a :
[
]
( ; [
+ ∞
p c = ........................................
Remarque : On peut dire aussi qu’une variable aléatoire X suit une loi de probabilité de densité f.
Propriété 7.7.3 : Soit p une loi de probabilité sur un intervalle I de densité f.
• Pour tout réel c de I, on a :
{
}
(
)
p c
= ..................
• On a les mêmes formules que pour les lois de probabilité discrètes pour
(
)
A B
∪p ,
(
)
A
p et
(
)
B
A
p .
Exemples : p est la loi de probabilité de densité la fonction f, définie sur [1 ; e] par : ( )
k
f x
x
=
.
• Déterminer la valeur de k.
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_________________________________________________________________________________________
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• On appelle A l’événement « Obtenir un résultat dans l’intervalle
[
]
1; 2
».
Calculer
(
)
A
p
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
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p est la loi de probabilité de densité la fonction f, définie sur [c ; +∞[ par :
2
2
( )f x
x
=.
• Calculer la valeur de c.
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• On appelle A l’évènement « Obtenir un résultat dans l’intervalle
]
[
3 ;10
»
Calculer
(
)
A
p .
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_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
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• On appelle B l’évènement « Obtenir un résultat dans
[
[
10 ;
+ ∞
».
Calculer
(
)
B
p .
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
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