Activité d`introduction 5 Le jeu du franc carreau consiste à lancer

Activité d’introduction 5
Le jeu du franc carreau consiste à lancer des jetons ronds de rayon
3 cm dans une boîte carrée de côté 20 cm.
Le lancer est réussi si le jeton ne touche pas une des lignes pointillées
situées à 2 cm des bords de la boîte.
À titre d’exemple, sur la figure ci-dessous, le jeton bleu correspond
à un lancer réussi et le jeton rouge à un lancer non réussi.
On lance le jeton. Quelle est la probabilité que le lancer soit réussi ?
Activité d’introduction 6
Partie A
Dans cette partie, on s’intéresse à la modélisation du tirage au hasard d’un réel appartenant à l’intervalle
[0; 1].
1. Quelle différence majeure y a-t-il entre les expériences aléatoires étudiées jusqu’alors et celle que constitue le choix au hasard d’un nombre dans l’intervalle [0; 1] ?
2. Intuitivement, estimer la probabilité que le nombre choisi, noté R, appartienne à :
a) [0; 0,5] ;
b) [0,5; 0,75] ;
c) [2 × 10−9 ; 5 × 10−9 ].
3. Dans la suite, on appelle nombre de type T tout réel s’écrivant avec un 0 suivi d’au plus 8 décimales
après la virgule. Combien existe-t-il de nombres de type T ?
4. On choisit, au hasard, un nombre parmi les nombres de type T .
Quelle est la probabilité de choisir le nombre 0,1234567 ?
5. Quelle est la probabilité de choisir un nombre appartenant à :
a) [0; 0,5] ?
b) [0,5; 0,75] ?
c) [2 × 10−9 ; 5 × 10−9 ] ?
6. Le modèle choisi dans les questions précédentes donne-t-il une modélisation de la situation conforme à
notre intuition ?
7. Pour améliorer ce modèle, on décide d’augmenter le nombre de décimales utilisées.
n désignant un entier supérieur ou égal à 8, on appelle nombre de type Tn tout réel s’écrivant avec un
0 suivi d’au plus n décimales après la virgule.
a) Combien existe-t-il de nombres de type Tn ? Quelle est la probabilité de choisir le nombre 0,1234567
lorsque l’on choisit un nombre au hasard parmi les nombres de type Tn ?
b) Vers quelle valeur la probabilité de choisir le nombre 0,1234567 tend-elle lorsque n tend vers +∞ ?
8. On simule, à l’aide de la fonction random (ou alea) du tableur, à 10000 reprises, le choix au hasard
d’un nombre appartenant à l’intervalle [0; 1]. On obtient l’histogramme ci-dessous (fig. 1, p. 2).
a) Combien y a-t-il de classes ? Expliquer comment retrouver à l’aide de ce graphique les fréquences
respectives des événements (R ∈ [0; 0,1]) et (R ∈ [0; 0,5]). ».
b) Intuitivement, si l’on recommence ces simulations et que l’on augmente le nombre de tirages ainsi
que le nombre de classes, à quoi l’histogramme va-t-il ressembler ?
9. Dans cette question, a et b désignent deux réels appartenant à [0; 1] tels que a < b.
On note X la variable aléatoire qui, à un tirage, associe le nombre réel obtenu.
a) En considérant exacte la conjecture formulée à la question 8b, proposer une modélisation permettant
de calculer P (a 6 X 6 b).
b) Donner les valeurs de P (X 6 a), P (X > a), P (X < a), P (X = a).
Remarque : On dit que X suit la loi uniforme sur [0; 1].
Partie B
Dans cette partie, deux personnes choisissent, au hasard et indépendamment l’une de l’autre, un réel
appartenant à [0; 1].
1. On nomme n1 et n2 les nombres choisis et on pose N = n1 + n2 . Dans quel intervalle varie N ?
2. Le choix de n1 et n2 se fait suivant des lois uniformes sur [0; 1].
On souhaite savoir si leur somme N suit, elle aussi, une loi uniforme.
On simule, toujours à l’aide du tableur, à 10000 reprises, le choix au hasard de deux nombres appartenant
à l’intervalle [0; 1] ainsi que le calcul de la somme des deux nombres choisis.
On obtient l’ histogramme ci-dessous (fig. 2, p. 2). Au vu de celui-ci, que peut-on conjecturer ?
Figure 1 – Partie A
Figure 2 – Partie B