Activité d`introduction 5 Le jeu du franc carreau consiste à lancer

Activité d’introduction 5
Le jeu du franc carreau consiste à lancer des jetons ronds de rayon
3cm dans une boîte carrée de côté 20 cm.
Le lancer est réussi si le jeton ne touche pas une des lignes pointillées
situées à 2cm des bords de la boîte.
À titre d’exemple, sur la figure ci-dessous, le jeton bleu correspond
à un lancer réussi et le jeton rouge à un lancer non réussi.
On lance le jeton. Quelle est la probabilité que le lancer soit réussi ?
Activité d’introduction 6
Partie A
Dans cette partie, on s’intéresse à la modélisation du tirage au hasard d’un réel appartenant à l’intervalle
[0; 1].
1. Quelle différence majeure y a-t-il entre les expériences aléatoires étudiées jusqu’alors et celle que consti-
tue le choix au hasard d’un nombre dans l’intervalle [0; 1] ?
2. Intuitivement, estimer la probabilité que le nombre choisi, noté R, appartienne à :
a) [0; 0,5] ; b) [0,5; 0,75] ; c) [2 ×10−9; 5 ×10−9].
3. Dans la suite, on appelle nombre de type Ttout réel s’écrivant avec un 0suivi d’au plus 8décimales
après la virgule. Combien existe-t-il de nombres de type T?
4. On choisit, au hasard, un nombre parmi les nombres de type T.
Quelle est la probabilité de choisir le nombre 0,1234567 ?
5. Quelle est la probabilité de choisir un nombre appartenant à :
a) [0; 0,5] ? b) [0,5; 0,75] ? c) [2 ×10−9; 5 ×10−9]?
6. Le modèle choisi dans les questions précédentes donne-t-il une modélisation de la situation conforme à
notre intuition ?
7. Pour améliorer ce modèle, on décide d’augmenter le nombre de décimales utilisées.
ndésignant un entier supérieur ou égal à 8, on appelle nombre de type Tntout réel s’écrivant avec un
0suivi d’au plus ndécimales après la virgule.
a) Combien existe-t-il de nombres de type Tn? Quelle est la probabilité de choisir le nombre 0,1234567
lorsque l’on choisit un nombre au hasard parmi les nombres de type Tn?
b) Vers quelle valeur la probabilité de choisir le nombre 0,1234567 tend-elle lorsque ntend vers +∞?
8. On simule, à l’aide de la fonction random (ou alea) du tableur, à 10000 reprises, le choix au hasard
d’un nombre appartenant à l’intervalle [0; 1]. On obtient l’histogramme ci-dessous (fig. 1, p. 2).
a) Combien y a-t-il de classes ? Expliquer comment retrouver à l’aide de ce graphique les fréquences
respectives des événements (R∈[0; 0,1]) et (R∈[0; 0,5]). ».
b) Intuitivement, si l’on recommence ces simulations et que l’on augmente le nombre de tirages ainsi
que le nombre de classes, à quoi l’histogramme va-t-il ressembler ?
9. Dans cette question, aet bdésignent deux réels appartenant à [0; 1] tels que a < b.
On note Xla variable aléatoire qui, à un tirage, associe le nombre réel obtenu.
a) En considérant exacte la conjecture formulée à la question 8b, proposer une modélisation permettant
de calculer P(a6X6b).
b) Donner les valeurs de P(X6a),P(X>a),P(X < a),P(X=a).
Remarque : On dit que Xsuit la loi uniforme sur [0; 1].

Partie B
Dans cette partie, deux personnes choisissent, au hasard et indépendamment l’une de l’autre, un réel
appartenant à [0; 1].
1. On nomme n1et n2les nombres choisis et on pose N=n1+n2. Dans quel intervalle varie N?
2. Le choix de n1et n2se fait suivant des lois uniformes sur [0; 1].
On souhaite savoir si leur somme Nsuit, elle aussi, une loi uniforme.
On simule, toujours à l’aide du tableur, à 10000 reprises, le choix au hasard de deux nombres appartenant
à l’intervalle [0; 1] ainsi que le calcul de la somme des deux nombres choisis.
On obtient l’ histogramme ci-dessous (fig. 2, p. 2). Au vu de celui-ci, que peut-on conjecturer ?
Figure 1 – Partie A
Figure 2 – Partie B