Première S3 IE3 dérivation S1 Exercice 1 : (2 points) Soit f la

Première S3
IE3 dérivation
S1
Exercice 1 : (2 points)
Soit f la fonction définie sur  \ {-1} par f(x) =
1
x+1
1) Calculer f(1) et f(1 + h).
2) Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f’(1).
Exercice 2 : (3 points)
Soit f la fonction définie sur  par f(x) = x² - 5x.
1) Ecrire une équation de la tangente T au point d’abscisse 2 de sa courbe
représentative
.
2) Tracer la courbe
 et la droite T.
Première S3
IE3 dérivation
S2
Exercice 1 : (2 points)
Soit g la fonction définie sur  \ {1} par g(x) =
1
.
x-1
1) Calculer g(2) et g(2 + h).
2) Montrer que g est dérivable en 2 et calculer g’(2).
Exercice 2 : (3 points)
Soit f la fonction définie sur  par f(x) = -x2 + 2x.
1) Ecrire une équation de la tangente T au point d’abscisse 1 de sa courbe
représentative
.
2) Tracer la courbe
 et la droite T.
1
Première S3
IE3 dérivation
CORRECTION
S1
Exercice 1 : (2 points)
Soit f la fonction définie sur  \ {-1} par f(x) =
1
x+1
1) Calculer f(1) et f(1 + h).
2) Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f’(1).
1)
f(1) =
1
1
1
1
= et f(1 + h) =
=
1+1 2
1+h+1 2+h
1
1 2 – (2 + h)
2(2 + h)
f(1 + h) – f(1) 2 + h 2
2) On calcule le rapport : t(h) =
=
=
h
h
h
t(h) = -
h
-1
1
 =
2(2 + h) h 4 + 2h
Or lim t(h) = h0
1
4
1
Donc f est bien dérivable en 1 et f’(1) = - .
4
Exercice 2 : (3 points)
Soit f la fonction définie sur  par f(x) = x² - 5x.
1) Ecrire une équation de la tangente T au point d’abscisse 2 de sa courbe
représentative
.
2) Tracer la courbe
 et la droite T.
1) Une équation de T est de la forme y = f’(2)(x – 2) + f(2)
f(2) = 2² - 52 = 4 – 10 = -6
Pour h réel non nul, f(2 + h) = (2 + h)² - 5(2 + h) = h² + 4h + 4 – 10 – 5h
f(2 + h) = h² - h – 6
f(2 + h) – f(2) h² - h – 6 + 6 h(h – 1)
=
=
=h–1
h
h
h
f'(2) = lim h(h - 1) = -1
h0
Une équation de T est donc : y = -(x – 2) - 6
Soit : y = -x + 2 - 6 ; soit y = -x - 4
2
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IE3 dérivation
CORRECTION
S1
3
Première S3
IE3 dérivation
CORRECTION
S2
Exercice 1 : (2 points)
Soit g la fonction définie sur  \ {1} par g(x) =
1
.
x-1
1) Calculer g(2) et g(2 + h).
2) Montrer que g est dérivable en 2 et calculer g’(2).
1) g(2) =
1
=1
2-1
g(2 + h) =
1
1
=
2+h-1 1+h
2) On calcule le rapport t(h) =
t(h) = -
 1
 1 1 - (1 + h) 1

- 1 =
 
1+h
1 + h  h
h
1
1+h
lim t(h) =
h0
g(2 + h) – g(2)
=
h
1
= -1
1+0
Donc, g est dérivable en 2 et g’(2) = -1.
Exercice 2 : (3 points)
Soit f la fonction définie sur  par f(x) = -x2 + 2x.
1) Ecrire une équation de la tangente T au point d’abscisse 1 de sa courbe
représentative
.
2) Tracer la courbe
 et la droite T.
1) Une équation de T est de la forme : y = f’(1)(x – 1) + f(1)
f(1) = -1² + 21 = -1 + 2 = 1
Calcul de f’(1) :
Pour h réel non nul : f(1 +h) = -(1 + h)² + 2(1 + h) = -h² - 2h - 1 + 2 + 2h = -h² + 1
f(1 + h) – f(1) -h² + 1 – 1
=
= -h
h
h
f’(1) = lim -h = 0
h0
Une équation de T est donc : y = 0(x – 1) + 1
Soit y = 1
4
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CORRECTION
S2
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