D`après sujet de Baccalauréat 1) On désigne par g la fonction

D'après sujet de Baccalauréat
1) On désigne par g la fonction définie sur
[0; ]
par : g(x) =
x cos x – sin x
Etudier g et dresser son tableau de variation
En déduire le signe de g(x) sur
[0; ]
2) Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur
[0; ]
par :
{
fx=sin x
xpour x ≠0
f0=1
`
On rappelle que
lim
x0
sin x
x=1
. Etudier les variations de f
3) Etude de f en 0
a) Démontrer que pour tout réel x ≥ 0 , 0 ≤ x – sin x ≤
x3
6
.
Pour cela, on introduira la fonction
définie sur [0;+∞[ par
x
= sin x – x +
x3
6
, on calculera
les dérivées
'
,
' '
et
'''
et on en déduira le signe de
b) Prouver que f est dérivable au point 0 et calculer f ' (0)
c) Construire la courbe représentative (C) de la fonction f dans un repère orthonormé ( O;
i
,
j
). ( on prendra 3 cm
pour unité)
Corrigé
1) La fonction g est le produit et la somme de fonctions dérivables sur ℝ donc g est dérivable sur ℝ et on a :
g'(x) = cos x – x sin x – cos x = – x sin x
Or pour tout x ∈
[0; ]
, sin x ≥ 0 donc le signe de g' est celui de – x d'où g'(x) ≤ 0 et g décroissante sur
[0; ].
Tableau de variations à faire
g(0) = 0 or g est décroissante sur
[0; ]
donc pour tout x ∈
[0; ]
, g(x) ≤ g(0) c a d g(x) ≤ 0
2) Pour tout x ∈
]0; ]
, f est le quotient de deux fonctions dérivables avec le dénominateur ≠ 0 donc f est dérivable sur
]0; ]
et on a : f '(x) =
x cos x – sin x
x2
=
gx
x2
. Le signe de f ' est donc celui de g d'où d'après la première question,
f ' est négative et f est décroissante sur
]0;]
.
3) a) La fonction
est la somme de fonctions dérivables sur ℝ+ donc
est dérivable sur ℝ+ et on a :
'x=cosx – 1x2
2
'
est la somme de fonctions dérivables sur ℝ+ donc
'
est dérivable sur ℝ+ et on a :
' 'x=– sinxx
De même,
'''
est dérivable sur ℝ+ et on a :
'''x=– cox1
Pour tout x ∈ ℝ+ , –1≤ cos x ≤ 1 d'où 0 ≤ – cos x + 1 ≤ 2 d'où
'''x
≥
0
et
''
croissante avec
' '0=0
d'où
' '
est positive sur ℝ+ et
'
est croissante sur ℝ+ avec
'0=0
d'où
'
est positive sur ℝ+ et
est croissante
sur ℝ+ avec
0=0
d'où :
Pour tout x ∈ ℝ+ ,
x≥ 0
Pour tout x ∈ ℝ+ sin x – x +
x3
6
≥ 0
Pour tout x ∈ ℝ+ x – sin x ≤
x3
6

On a vu que pour tout x ∈ ℝ+ ,
' 'x≥0
c'est à dire x – sin x ≥ 0
Conclusion: pour tout réel x ≥ 0 , 0 ≤ x – sin x ≤
x3
6
b) Retour à la définition du nombre dérivé : Etudions :
lim
x0
fx– f 0
x – 0
fx– f 0
x – 0 =
sinx
x– 1
x
=
sinx – x
x2
.
D'après la question précédente, pour tout x ∈ ℝ+ , –
x3
6
≤ sin x – x ≤ 0 d'où
–x
6≤sinx – x
x2≤0
. Le théorème des
gendarmes donne alors la limite souhaitée:
lim
x0
fx– f 0
x – 0
= 0 d'où comme cette limite existe, f est dérivable en 0 et on a
f ' (0) = 0
3)