Limites de fonctions

Limites de fonctions
A. Limite infinie quand x tend vers l'infini
1- Définitions
Dire qu'une fonction f a pour limite + en +, signifie que tout intervalle ]A; + [ avec A
réel, contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
On note : lim f x= .
x
Sur la figure, on a f(x) > A dès que
x > x0.
Dire qu'une fonction f a pour limite - en +, signifie que tout intervalle ]-; A[ avec A réel,
contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
On note : lim f x= .
x
Sur la figure, on a f(x) < A dès que
x > x0
Enfin, on a
lim f x= lorsque lim f x = ,
x x
et lim f x= lorsque lim f x = .
x
x
2- Exemples à retenir
lim x= .
x
Soit A un réel positif. Pour tout réel x assez grand, ici supérieur à A, tous les f(x) se trouvent
dans ]A; + [.
2
lim x = .
x
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Soit A un réel positif. Pour que x² > A, il suffit que x > A . Donc pour tout réel x assez grand,
ici supérieur à A , tous les f(x) se trouvent dans ]A; + [.
lim
x
x = .
Soit A un réel positif. Pour que x A , il suffit que x > A². Donc pour tout réel x assez grand,
ici supérieur à A², tous les f(x) se trouvent dans ]A; + [.
lim e x = .
x
Soit A un réel positif. Nous avons montré que la fonction exponentielle est croissante et que
pour tout réel x, ex > x. Pour que ex > A, il suffit que x > A, car, alors, ex > eA > A. Donc pour
tout réel x assez grand, ici supérieur à A, tous les f(x) se trouvent dans ]A; + [.
3- Théorèmes de comparaison à l'infini
•
lim g x= et si pour x assez grand f(x) g(x), alors lim f x= .
Si x
x
•
lim g x= et si pour x assez grand f(x) g(x), alors lim f x= .
Si x
x
Démonstration
Soit A un réel. Pour x assez grand on a à la fois g(x) ]A; +[ et f(x) g(x), on en déduit que
lim f x= .
f(x) ]A; + [, donc que x
4- Limite de x n
Soit n un entier naturel non nul :
n
1. lim x = .
x
n
lim x n= , mais si n est impair, lim x = .
2. Si n est pair, x
x Démonstration
lim x= on a lim x n= .
On sait que pour n > 0 et x > 1, xn x. Comme x
x
n
n
n
lim x = lim x = lim x = .
Si n est pair, (-x) = x , donc x
x
x
n
n
lim x n= lim xn = lim x n =
Si n est impair, (-x)n = - xn, donc x
x
x
B. Limite finie quand x tend vers l'infini
1- Définition
Soit l un réel. Dire qu'une fonction f a pour limite l lorsque x tend vers + signifie que tout
intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
On note : lim f x=l .
x
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On dira que lim f x=l lorsque lim f x =l .
x x
2- Unicité de la limite
Si lim f x=l , alors la limite l est unique.
x
Démonstration
En effet, supposons qu'il existe deux limites distinctes l1 et l2.
On peut alors définir un intervalle ]a1, b1[ contenant l1 et un intervalle ]a2, b2[ contenant l2 et tels
que l'intersection de ]a1, b1[ et ]a2, b2[ soit vide.
D'après la définition de la limite, pour x assez grand, toutes les valeurs de f (x) devraient se
trouver dans ]a1, b1[ et dans ]a2, b2[. C'est impossible puisque l'intersection de ces intervalles est
vide. On en déduit qu'il ne peut pas exister deux limites distinctes l1 et l2 et que l est donc unique.
3- Exemples à retenir
1
=0
x x
Soit ]a ; b[ un intervalle ouvert contenant 0; on a donc a < 0 < b. Pour que f(x) soit dans
1
l'intervalle ]a ; b[, il suffit que a < < b.
x
1
1
Pour x positif,
>0, donc > a.
x
x
1
1
D'autre part, toujours avec x positif, on a < b est équivalent à x > .
x
b
1
Pour x assez grand, ici x > , on a donc f (x) contenu dans l'intervalle ]a ; b[.
b
lim f x = , alors lim 1 = 0 .
Si x
x f x Soit ]a ; b[ un intervalle ouvert contenant 0; on a donc a < 0 < b.
lim f x = , pour x assez grand, f (x) > 1 , ce qui est équivalent à 1 b ;
Comme x
f x
b
1
1
d'autre part comme f (x) > , on a f (x) > 0, donc
> 0 > a. Ainsi, pour x assez grand,
f x
b
1
b .
on a bien a
f x
lim e x =0
lim
x
x
x
en effet lim e = lim e = lim
x
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x
x 1
=0
x
e
4- Théorème des gendarmes
Soient f, g, h trois fonctions et L un réel.
Si lim g x=L et lim h x =L et si pour x assez grand g(x) f(x) h(x), alors
x
x
lim f x= L .
x
Démonstration
Soit I un intervalle contenant L. Pour x assez grand on a à la fois g(x) I, h(x) I et
g(x) f(x) h(x). On en déduit que f(x) I, donc lim f x= L .
x
Exemple
sin3 x . Déterminer sa limite en +.
x2
1
1
1
1
Comme -1 sin(3x) 1, on a 2 f x
2 ; or lim 2 =0 et lim 2 =0 .
x x
x x
x
x
lim
f
x=0
On en déduit que x
.
Soit f définie sur * par f x=
5- Asymptotes horizontales ou obliques
Dans le plan muni d'un repère, on
appelle Cf la courbe représentative
d'une fonction f et la droite
d'équation y = ax + b.
Soient M et N les points d'abscisse x
qui se trouvent respectivement sur Cf
et sur .
On dit que la droite est une
asymptote de la courbe Cf en + si la
distance MN tend vers 0 lorsque x tend
vers +.
On définit de la même façon les
asymptotes en –.
M
N
x
a) Asymptotes horizontales
Si lim f x=l , alors la droite d'équation y = l est une asymptote horizontale en + à la
x
coube représentative de f.
b) Asymptotes obliques
S'il existe deux réels a et b tels que lim f x axb =0 , alors la droite d'équation
x
y = ax+b est une asymptote en + à la courbe représentative de f.
En particulier, si f(x) = ax + b + (x) avec lim x=0 , alors la droite d'équation y = ax+b est
x
une asymptote en + à la courbe représentative de f.
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C. Limites quand x tend vers un réel a
1- Cas où f est définie en a
Si f est une fonction dérivable en un réel a, alors
Par exemple, si f (x) = x² – 2x, alors
lim f x
x 4
lim f x = f a x a
.
= 4² – 8 = 8.
2- Limite finie quand x tend vers une valeur interdite
Si f (x) devient aussi proche d'un réel l qu'on le souhaite lorsque x est suffisamment proche de
la valeur interdite a, on dit que la fonction f a pour limite l lorsque x tend vers a et on note
lim f x =l
.
x a
Résultats à connaître
x
sin x
lim
=1 et lim e 1 =1 .
x
x 0
x
x0
Démonstrations :
sin x sin xsin0
sin x
donc lim
est le nombre dérivé de la fonction sin(x) en 0.
–
=
x
x0
x
x0
sin x
= cos 0=1 .
On en déduit que lim
x
x0
e x 1 e x e 0 donc
e x 1 est le nombre dérivé de la fonction ex en 0. On en déduit
–
=
lim
x
x0
x
x0
x
e 1 0
que lim
=e =1 .
x
x0
3- Limite infinie quand x tend vers une valeur interdite
Si f (x) peut prendre des valeurs aussi grandes qu'on le souhaite lorsque x est suffisamment
proche de la valeur interdite a, on dit que la fonction f a pour limite + lorsque x tend vers a
lim f x =
et on note x a
.
Sur la figure, on a f(x) > A dès que x
est assez proche de a.
Il est parfois nécessaire de distinguer
les cas où x tend vers a par valeurs supérieures ou par valeurs inférieures. On note alors
lim f x = ou lim f x= , on distingue une limite à droite et une limite à gauche.
x a
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+
-
x a
Asymptotes verticales
Si lim f x= ou lim f x= , alors la droite d'équation x=a est une asymptote
x a
x a
verticale à la la courbe représentative de f.
Résultats à connaître
1
1
• lim
= et lim
= .
x a xa
x a xa
1
• lim
=
2
x a x a
+
-
D. Limites et opérations
1- Sommes
L
±
+
- +
+
- -
L1+L2 ±
+
- ???
limite de f
L1
limite de g
L2
limite de f+g
2- Produits
limite de f
L1
limite de g
L2
limite de fg
±
L0
±
±
0
±
L1L2 ± (règle des signes) ± (règle de signes)
???
±
L0
±
0
L
±
0+ ou 0±
±
0
???
???
3- Quotients
limite de f
L1
limite de g
L20
L
±
limite de f/g
L1 / L2
0
(règle des signes) (règle des signes)
Remarque
0
On a 4 formes indéterminées qui sont de la forme - , 0 × , et
.
0
4- Polynômes et fractions rationnelles
En l'infini, la limite d'un polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré et la
limite d'une fraction rationnelle est égale à la limite du quotient des termes de plus haut degré
du numérateur et du dénominateur.
Démonstration pour un polynôme de degré 3
3
Soit P(x)=ax3 + bx2 + cx + d avec a 0. Alors P x =ax 1
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b
c
d
2 3 .
ax ax ax
Comme lim 1
x
3
b
d
c
2 3 =1 , on a lim P x = lim ax .
x
x ax ax ax
Exemples
3
2
3
- lim 5 x 2 x 3= lim 5 x =
x
x
4 x3
4x
4
= lim
= lim
=0
- lim
2
2
x 5x
x x
x x
5- Composée de deux fonctions
a, b et c désignent des réels ou + ou -. f et g sont des fonctions.
Si lim f x =b et lim g X =c , alors lim g ° f x =c .
x a
X b
x a
Cette propriété est admise. Elle consiste à faire un changement de variable X = f(x).
Exemple
Soit f définie sur ]0; +[ par f x= 4
1.
x
1
1
On pose X =4 et on a lim 4 =4 . On en déduit que lim 4 1 = lim X =2 .
x
x
x
x X 4
x
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