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Chapitre 4
Nombres complexes et g´eom´etrie du plan
4.1 L’ensemble des complexes.
Dans R, une ´equation de la forme x2= 1 a deux solutions, par contre l’´equation x2=−1 n’a pas de solution. On va
d´efinir i, que l’on appellera un nombre complexe, de mani`ere que i2=−1.
D´efinition : L’ensemble des nombres complexes est not´e Cet il est d´efini par C={a+ib;a, b ∈R}.
Pour le nombre complexe z=a+ib (a, b ∈R), on appelle ala partie r´eelle de zet bsa partie imaginaire.
On note a= Re(z) et b= Im(z) et on a donc
z= Re(z) + iIm(z).
Ainsi, le nombre complexe zest r´eel si et seulement si Im(z) = 0. On dit qu’il est imaginaire pur si Re(z) = 0 et
on note dans ce cas z∈iR.
Les propri´et´es de la multiplication et de l’addition sur Cfont de Cun “corps commutatif” ( Pour en savoir plus ).
4.2 Le plan euclidien : Rappels.
R2peut ˆetre muni d’une structure de plan vectoriel. Pour deux vecteurs ~u = (a, b) et ~v = (a′, b′) du plan vectoriel et
un r´eel λ, on d´efinit
~u +~v = (a+a′, b +b′), λ~u = (λa, λb).
Ces deux op´erations ont des propri´et´es qui ont ´et´e ´etudi´ees dans les classes de lyc´ee et qui seront revues lors de la
th´eorie g´en´erale des espaces vectoriels. On notera ~e1= (1,0) et ~e2= (0,1) de telle sorte que ~u = (a, b) s’´ecrit
~u =a~e1+b~e2.
On dit que (~e1, ~e2) est une base du plan vectoriel.
Les ´el´ements du plan affine sont appel´es points. On choisit dans le point euclidien un point Oque l’on appelle origine.
Si Aet Bsont deux points du plan affine, le vecteur −−→ AB est d´efini par
−−→
AB =−−→ OB −−→ OA.
On dispose sur les vecteurs de la notion de norme :
k~uk=ka~e1+b~e2k=pa2+b2.
Si Aet Bsont deux points, la distance entre ces deux points est donn´ee par
d(A, B) = 
−−→
AB
.
Ainsi, si −→ OA =a~e1+b~e2et −−→ OB =α~e1+β~e2, on a −−→ AB = (α−a)~e1+ (β−b)~e2et
d(A, B) = p(α−a)2+ (β−b)2.
Plus g´en´eralement, on dispose pour deux vecteurs ~u =a~e1+b~e2et ~v =α~e1+β~e2, du produit scalaire
~u ·~v =aα +bβ.
Ainsi
k~uk=√~u ·~u.
Comme on a k~e1k=k~e2k= 1 et ~e1·~e2= 0, on dit que la base (~e1, ~e2) est orthonorm´ee.
21

22 CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES ET G ´ EOM ´ ETRIE DU PLAN
4.3 Droite affine.
Dans le plan affine, pour deux points Aet Bdistincts, on appelle droite (AB) l’ensemble
(AB) = {M;∃λ∈R,−−→ AM =λ−−→ AB}
(on dit que −−→
AM et −−→
AB sont colin´eaires).
On appelle segment [AB] l’ensemble
[AB] = M;∃λ∈[0,1],−−→
AM =λ−−→
AB.
Deux droites (AB) et (CD) sont parall`eles si −−→
AB et −−→
CD sont colin´eaires. Deux droites (AB) et (CD) sont perpen-
diculaires si −−→ AB et −−→ CD sont orthogonaux c’est `a dire
−−→
AB ·−−→ CD = 0.
On notera que −−→ AB =−−→ CD si le quadrilat`ere ABCD est un parall´elogramme i.e. a des cˆot´es deux `a deux parall`eles
et de mˆeme longueur. On dit aussi que les bipoints (A, B) et (C, D) sont ´equipollents.
4.4 Repr´esentation des complexes dans le plan euclidien.
On choisit dans le point euclidien une origine Oet une base orthonorm´ee (~e1, ~e2). On r´ealise alors une bijection du
plan affine sur le plan vectoriel en associant `a tout point Mdu plan affine le vecteur
−−→
OM =a~e1+b~e2.
On appelle alors aet bles coordonn´ees du point M. Le nombre complexe a+ib est appel´e affixe du point Met
´egalement affixe du vecteur −−→
OM .
Les coordonn´ees du point Mci-dessus dans le rep`ere (O, ~e1, ~e2) sont : (4,2). Il a pour affixe 4 + 2i.
4.5 Module.
D´efinition : On appelle module du nombre complexe z=a+ib la quantit´e
|z|=pa2+b2.
Ainsi, la norme d’un vecteur est ´egale au module de son affixe. La distance entre deux points Aet Bd’affixes respectives
zAet zBest par d´efinition ´egale `a la norme de −−→ AB donc au module de l’affixe de −−→ AB =−−→ OB −−→ OA qui est zB−zA.
On en d´eduit donc que
d(A, B) = |zB−zA|.
Exemple : Soit Ad’affixe 2 −iet Bd’affixe 1 + 3i. Alors
d(A, B) = (1 + 3i)−(2 −i)=| − 1 + 4i|=√17
Proposition : Pour z, z′∈C,z′′ ∈C\ {0},
1. Re(z)≤ |z|,Im(z)≤ |z|.
2. |z|= 0 ⇐⇒ z= 0.
3. |zz′|=|z||z′|.
4. 
z
z′′ =|z| |z′′|·
5. |z+z′| ≤ |z|+|z′|(in´egalit´e triangulaire).
D´emonstration
4.6 Conjugu´e.
Pour z∈C, on d´efinit son nombre conjugu´e ¯z z par
¯z= Re(z)−iIm(z).
On note Mle point d’affixe zet M′le point d’affixe ¯z. On remarque alors que l’affixe du milieu de [M, M ′] est celle
du vecteur 1
2(−−→
OM +−−−→ OM ′) c’est `a dire

4.7. L’EXPONENTIELLE COMPLEXE. 23
z+ ¯z
2= Re(z).
Proposition : Pour tous z, z′∈C,
1. ¯ ¯z=z.
2. z+ ¯z= 2Re(z), z−¯z= 2iIm(z).
3. z¯z=|z|2.
4. z+z′= ¯z+ ¯z′.
5. zz′= ¯z¯z′.
6. (¯z)n=znpour n∈N.
7. z
z′=¯z ¯z′·
8. z∈R⇐⇒ z= ¯z.
9. z∈iR⇐⇒ z=−¯z.
4.7 L’exponentielle complexe.
Th´eor`eme (Admis) : Il existe une application de Cdans Cappel´ee exponentielle et not´ee z7→ exp(z) ou z7→ ez
qui v´erifie les propri´et´es suivantes :
1. ∀z, z′∈C, ez+z′=ez·ez′.
2. Si x∈R,exest l’exponentielle r´eelle usuelle.
3. L’application [0,2π[−→ C
θ7−→ eiθ r´ealise une bijection de [0,2π[ sur U={z;|z|= 1}.
4. eiπ =−1, ei2π= 1.
4.8 Fonctions trigonom´etriques.
On pose alors, pour tout θ∈R, cos θ= Re(eiθ ) et sin θ= Im(eiθ). On notera que, pour tout k∈N,
ei(θ+k2π)=eiθeik2π=eiθ(ei2π)k=eiθ
en utilisant la propri´et´e 1. Cela vaut mˆeme pour k∈Zen remarquant que e−zez=e0= 1 c’est `a dire que e−z= 1/ez.
En particulier, pour k∈Z−,
eik2π=1
ei|k|2π= 1.
On obtient par cons´equent que
cos θ= cos(θ+k2π),sin θ= sin(θ+k2π)
pour tout k∈Z. Autrement dit, les fonctions cos et sin sont 2π-p´eriodiques.
D´efinition : La fonction tangente est donn´ee par
tan(x) = sin(x)
cos(x)
elle est d´efinie sur R− {π
2+kπ, k ∈Z}. La fonction cotangente est donn´ee par
cotan(x) = cos(x)
sin(x)
elle est d´efinie sur R− {kπ, k ∈Z}.
4.9 Formules usuelles.
Pour tout θ∈R,
e−iθ = cos θ−isin θ ei(π/2−θ)= sin θ+icos θ
ei(π−θ)=−cos θ+isin θ ei(π/2+θ)=−sin θ+icos θ
ei(π+θ)=−cos θ−isin θ
d’o`u, en identifiant les parties r´eelles et imaginaires, pour tout θ∈R,

24 CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES ET G ´ EOM ´ ETRIE DU PLAN
cos(π−θ) = −cos θ, sin(π−θ) = sin θ
cos(π+θ) = −cos θ, sin(π+θ) = −sin θ ......
Remarque : On retrouve aussi les formules usuelles :
cos θ=eiθ +eiθ
2
sin θ=eiθ −eiθ
2i
D´emonstration
Le tableau ci-dessous donne les principales valeurs des fonctions cos, sin et exp.
θ0π/6π/4π/3π/2π
cos θ1√3/2√2/2 1/2 0 −1
sin θ0 1/2√2/2√3/2 1 0
eiθ 1√3 + i
2
1 + i
√2
1 + i√3
2i−1
A partir de ces valeurs, on peut en calculer d’autres, par exemple :
cos(3π/4) = cos(π−π/4) = −cos(π/4) = −1/√2.
4.10 Cosinus et sinus d’une somme.
De la formule
ei(a+b)=eiaeib = (cos a+isin a)(cos b+isin b)
on d´eduit, pour tous a, b ∈R,
cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
sin(a+b) = cos asin b+ sin acos b.
On peut ainsi d´eduire les formules de trigonom´etrie des propri´et´es de l’exponentielle complexe.
Un dernier exemple : comme |eiθ|2= 1, on a, pour tout θ∈R,
cos2θ+ sin2θ= 1.
4.11 Formule de Moivre.
Un corollaire de la premi`ere propri´et´e de l’exponentielle est
eiθp=eipθ
pour θ∈Ret p∈N, ce qui s’´ecrit
(cos θ+isin θ)p= cos pθ +isin pθ
et s’appelle la formule de Moivre.
4.12 Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe.
Pour tout z∈C\ {0}, le nombre z
|z|est de module 1 donc s’´ecrit eiθ pour un unique θ∈[0,2π[ (bijectivit´e de
l’exponentielle).
D´efinition : L’´ecriture z=|z|eiθ s’appelle la forme trigonom´etrique du nombre complexe z. Le nombre θest
appel´e argument (principal) de zet not´e Arg(z).
Remarque : z=|z|eiθ′⇐⇒ eiθ′=eiArg z⇐⇒ θ′= Arg z+ 2kπ avec k∈Z. On dit alors parfois dans ce cas que
θ′est un argument de z.
Proposition : On utilisera la notation a≡b(2π) pour signifier ∃k∈Z, a =b+k2π.
Soit z∈C\ {0}et z′∈C\ {0}.
– Arg(zz′)≡Arg z+ Arg z′(2π)
– Arg 1
z≡ −Arg z′(2π)
– Arg z
z′≡Arg z−Arg z′(2π)
–∀p∈Z,Arg(zp)≡pArg z(2π)
– Arg(¯z)≡ −Arg z(2π)
D´emonstration