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Chapitre 4
Nombres complexes et géométrie du plan
4.1
L’ensemble des complexes.
Dans R, une équation de la forme x2 = 1 a deux solutions, par contre l’équation x2 = −1 n’a pas de solution. On va
définir i, que l’on appellera un nombre complexe, de manière que i2 = −1.
Définition : L’ensemble des nombres complexes est noté C et il est défini par C = {a + ib; a, b ∈ R}.
Pour le nombre complexe z = a + ib (a, b ∈ R), on appelle a la partie réelle de z et b sa partie imaginaire.
On note a = Re(z) et b = Im(z) et on a donc
z = Re(z) + iIm(z).
Ainsi, le nombre complexe z est réel si et seulement si Im(z) = 0. On dit qu’il est imaginaire pur si Re(z) = 0 et
on note dans ce cas z ∈ iR.
Les propriétés de la multiplication et de l’addition sur C font de C un “corps commutatif” ( Pour en savoir plus ).
4.2
Le plan euclidien : Rappels.
R2 peut être muni d’une structure de plan vectoriel. Pour deux vecteurs ~u = (a, b) et ~v = (a′ , b′ ) du plan vectoriel et
un réel λ, on définit
~u + ~v = (a + a′ , b + b′ ),
λ~u = (λa, λb).
Ces deux opérations ont des propriétés qui ont été étudiées dans les classes de lycée et qui seront revues lors de la
théorie générale des espaces vectoriels. On notera ~e1 = (1, 0) et ~e2 = (0, 1) de telle sorte que ~u = (a, b) s’écrit
~u = a~e1 + b~e2 .
On dit que (~e1 , ~e2 ) est une base du plan vectoriel.
Les éléments du plan affine sont appelés points. On choisit dans le point euclidien un point O que l’on appelle origine.
−
−
→
Si A et B sont deux points du plan affine, le vecteur AB est défini par
−−
→ −−→ −→
AB = OB − OA.
On dispose sur les vecteurs de la notion de norme :
k~uk = ka~e1 + b~e2 k =
p
a2 + b 2 .
Si A et B sont deux points, la distance entre ces deux points est donnée par
−
→
−
d(A, B) = AB .
−→
−−→
−
−
→
Ainsi, si OA = a~e1 + b~e2 et OB = α~e1 + β~e2 , on a AB = (α − a)~e1 + (β − b)~e2 et
p
d(A, B) = (α − a)2 + (β − b)2 .
Plus généralement, on dispose pour deux vecteurs ~u = a~e1 + b~e2 et ~v = α~e1 + β~e2 , du produit scalaire
~u · ~v = aα + bβ.
Ainsi
k~uk =
√
~u · ~u.
Comme on a k~e1 k = k~e2 k = 1 et ~e1 · ~e2 = 0, on dit que la base (~e1 , ~e2 ) est orthonormée.
21
22
4.3
CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLAN
Droite affine.
Dans le plan affine, pour deux points A et B distincts, on appelle droite (AB) l’ensemble
−−→
−−
→
(AB) = {M ; ∃λ ∈ R, AM = λAB}
−−→ −−
→
(on dit que AM et AB sont colinéaires).
On appelle segment [AB] l’ensemble
−−→
−−
→
[AB] = M ; ∃λ ∈ [0, 1], AM = λAB .
−−
→ −−→
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si AB et CD sont colinéaires. Deux droites (AB) et (CD) sont perpen−−
→ −−→
diculaires si AB et CD sont orthogonaux c’est à dire
−−
→ −−→
AB · CD = 0.
−−
→ −−→
On notera que AB = CD si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme i.e. a des côtés deux à deux parallèles
et de même longueur. On dit aussi que les bipoints (A, B) et (C, D) sont équipollents.
4.4
Représentation des complexes dans le plan euclidien.
On choisit dans le point euclidien une origine O et une base orthonormée (~e1 , ~e2 ). On réalise alors une bijection du
plan affine sur le plan vectoriel en associant à tout point M du plan affine le vecteur
−−→
OM = a~e1 + b~e2 .
On appelle alors a et b les coordonnées du point M . Le nombre complexe a + ib est appelé affixe du point M et
−−→
également affixe du vecteur OM .
Les coordonnées du point M ci-dessus dans le repère (O, ~e1 , ~e2 ) sont : (4, 2). Il a pour affixe 4 + 2i.
4.5
Module.
Définition : On appelle module du nombre complexe z = a + ib la quantité
p
|z| = a2 + b2 .
Ainsi, la norme d’un vecteur est égale au module de son affixe. La distance entre deux points A et B d’affixes respectives
−−
→
−
−
→ −−→ −→
zA et zB est par définition égale à la norme de AB donc au module de l’affixe de AB = OB − OA qui est zB − zA .
On en déduit donc que
d(A, B) = |zB − zA |.
Exemple : Soit A d’affixe 2 − i et B d’affixe 1 + 3i. Alors
√
d(A, B) = (1 + 3i) − (2 − i) = | − 1 + 4i| = 17
Proposition : Pour z, z ′ ∈ C, z ′′ ∈ C \ {0},
1. Re(z) ≤ |z|, Im(z) ≤ |z|.
2. |z| = 0 ⇐⇒ z = 0.
3. |zz ′ | = |z||z ′ |.
z |z|
4. ′′ = ′′ ·
z
|z |
5. |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ | (inégalité triangulaire).
Démonstration
4.6
Conjugué.
Pour z ∈ C, on définit son nombre conjugué z̄ z par
z̄ = Re(z) − iIm(z).
On note M le point d’affixe z et M ′ le point d’affixe z̄. On remarque alors que l’affixe du milieu de [M, M ′ ] est celle
−−→ −−−→
du vecteur 21 (OM + OM ′ ) c’est à dire
23
4.7. L’EXPONENTIELLE COMPLEXE.
z + z̄
= Re(z).
2
Proposition : Pour tous z, z ′ ∈ C,
1. z̄¯ = z.
2. z + z̄ = 2Re(z), z − z̄ = 2iIm(z).
3. z z̄ = |z|2 .
4. z + z ′ = z̄ + z̄ ′ .
5. zz ′ = z̄ z̄ ′ .
6. (z̄)n = z n pour n ∈ N.
z
z̄
= ′·
7.
′
z
z̄
8. z ∈ R ⇐⇒ z = z̄.
9. z ∈ iR ⇐⇒ z = −z̄.
4.7
L’exponentielle complexe.
Théorème (Admis) : Il existe une application de C dans C appelée exponentielle et notée z 7→ exp(z) ou z 7→ ez
qui vérifie les propriétés suivantes :
′
′
1. ∀z, z ′ ∈ C, ez+z = ez · ez .
2. Si x ∈ R, ex est l’exponentielle réelle usuelle.
[0, 2π[−→ C
3. L’application
réalise une bijection de [0, 2π[ sur U = {z; |z| = 1}.
θ 7−→ eiθ
4. eiπ = −1, ei2π = 1.
4.8
Fonctions trigonométriques.
On pose alors, pour tout θ ∈ R, cos θ = Re(eiθ ) et sin θ = Im(eiθ ). On notera que, pour tout k ∈ N,
ei(θ+k2π) = eiθ eik2π = eiθ (ei2π )k = eiθ
en utilisant la propriété 1. Cela vaut même pour k ∈ Z en remarquant que e−z ez = e0 = 1 c’est à dire que e−z = 1/ez .
En particulier, pour k ∈ Z− ,
eik2π =
1
= 1.
ei|k|2π
On obtient par conséquent que
cos θ = cos(θ + k2π),
sin θ = sin(θ + k2π)
pour tout k ∈ Z. Autrement dit, les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques.
Définition : La fonction tangente est donnée par
tan(x) =
elle est définie sur R − {
sin(x)
cos(x)
π
+ kπ, k ∈ Z}. La fonction cotangente est donnée par
2
cos(x)
cotan(x) =
sin(x)
elle est définie sur R − {kπ, k ∈ Z}.
4.9
Formules usuelles.
Pour tout θ ∈ R,
e−iθ = cos θ − i sin θ
ei(π−θ) = − cos θ + i sin θ
ei(π+θ) = − cos θ − i sin θ
ei(π/2−θ) = sin θ + i cos θ
ei(π/2+θ) = − sin θ + i cos θ
d’où, en identifiant les parties réelles et imaginaires, pour tout θ ∈ R,
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CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLAN
cos(π − θ) = − cos θ,
cos(π + θ) = − cos θ,
Remarque : On retrouve aussi les formules usuelles :
sin(π − θ) = sin θ
sin(π + θ) = − sin θ ......
eiθ + eiθ
2
iθ
e − eiθ
sin θ =
2i
cos θ =
Démonstration
Le tableau ci-dessous donne les principales valeurs des fonctions cos, sin et exp.
π/3
√π/6
√π/4
3/2 √2/2
√1/2
1/2
2/2
3/2
√
√
3
+
i
1
+
i
1
+
i 3
iθ
√
e
1
2
2
2
A partir de ces valeurs, on peut en calculer d’autres, par exemple :
θ
cos θ
sin θ
0
1
0
π/2 π
0
−1
1
0
i
−1
√
cos(3π/4) = cos(π − π/4) = − cos(π/4) = −1/ 2.
4.10
Cosinus et sinus d’une somme.
De la formule
ei(a+b) = eia eib = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b)
on déduit, pour tous a, b ∈ R,
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b.
On peut ainsi déduire les formules de trigonométrie des propriétés de l’exponentielle complexe.
Un dernier exemple : comme |eiθ |2 = 1, on a, pour tout θ ∈ R,
cos2 θ + sin2 θ = 1.
4.11
Formule de Moivre.
Un corollaire de la première propriété de l’exponentielle est
p
eiθ = eipθ
pour θ ∈ R et p ∈ N, ce qui s’écrit
(cos θ + i sin θ)p = cos pθ + i sin pθ
et s’appelle la formule de Moivre.
4.12
Forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Pour tout z ∈ C \ {0}, le nombre
z
est de module 1 donc s’écrit eiθ pour un unique θ ∈ [0, 2π[ (bijectivité de
|z|
l’exponentielle).
Définition : L’écriture z = |z|eiθ s’appelle la forme trigonométrique du nombre complexe z. Le nombre θ est
appelé argument (principal) de z et noté Arg(z).
′
′
Remarque : z = |z|eiθ ⇐⇒ eiθ = eiArg z ⇐⇒ θ′ = Arg z + 2kπ avec k ∈ Z. On dit alors parfois dans ce cas que
θ′ est un argument de z.
Proposition : On utilisera la notation a ≡ b (2π) pour signifier ∃k ∈ Z, a = b + k2π.
Soit z ∈ C \ {0} et z ′ ∈ C \ {0}.
′
– Arg(zz
) ≡ Arg z + Arg z ′ (2π)
1
– Arg
≡ −Arg z ′ (2π)
z
z
– Arg ′ ≡ Arg z − Arg z ′ (2π)
z
– ∀p ∈ Z, Arg(z p ) ≡ pArg z (2π)
– Arg(z̄) ≡ −Arg z (2π)
Démonstration
25
4.13. RACINES CARRÉES D’UN NOMBRE COMPLEXE.
4.13
Racines carrées d’un nombre complexe.
Proposition : Pour tout nombre complexe ω = a + ib non nul, l’équation z 2 = ω admet deux solutions opposées
qui s’écrivent z = x + iy avec
 2
 x − y2 = a
√
x2 + y 2 = a2 + b2

2xy = b
Démonstration
Proposition : Pour tout nombre complexe ω = |ω|eiθ non nul, l’équation z 2 = ω admet deux solutions opposées
qui s’écrivent
p
p
θ
θ
z1 = |ω|ei 2 et z2 = |ω|ei( 2 +π)
4.14
Racines n-ièmes de l’unité.
Proposition : Considérons n ∈ N∗ . L’équation z n = 1 admet exactement n solutions distinctes appelées racines
n-ièmes de l’unité qui s’écrivent :
zk = e
2ikπ
n
pour k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
Par exemple :
n=2
n=3
n=4
1, eiπ = −1
√
√
4π
−1 + i 3
−1 − i 3
i 2π
i
1, e 3 =
= j, e 3 =
= j̄ = j 2
2
2
3π
π
1, ei 2 = i, eiπ = −1, ei 2 = −i
Remarques :
2π
– Si on pose ξ = ei n , les racines n-ième de l’unité sont les ξ k avec k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
n−1
X
1−1
ξn − 1
=
= 0.
–
ξk =
ξ−1
ξ−1
k=0
Interprétation : L’isobarycentre (ou centre de gravité) des polygônes réguliers de sommets ξ k , k ∈ {0, . . . , n − 1}
est situé en 0.
4.15
Racines n-ièmes d’un nombre complexe.
Proposition : Considérons α ∈ C∗ et n ∈ N∗ . L’équation z n = α admet exactement n solutions distinctes appelées
racines n-ièmes de α. Si α s’écrit sous forme trigonométrique α = ρeiθ avec ρ > 0, alors les racines n-ièmes de α
sont les complexes :
θ
iθ
2ikπ
2π
zk = ρ1/n ei( n +k n ) = ρ1/n e( n ) e( n )
pour k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}.
Démonstration
Remarque : On obtient toutes les racines n-ièmes en multipliant une racine n-ième par les racines n-ièmes de l’unité.
4.16
Equations polynômiales.
Proposition : On considère l’équation az 2 + bz + c = 0 où a ∈ C∗ , b ∈ C et c ∈ C sont donnés.
b
Si ∆ = b2 − 4ac = 0, il y a une seule solution z = − 2a
·
2
Si ∆ = b − 4ac 6= 0, notons δ et −δ ses racines carrées, il y a deux solutions
−b + δ
−b − δ
z=
et z =
·
2a
2a
Démonstration
Théorème (d’Alembert) : On considère une application polynômiale c’est à dire de la forme
C −→ C
z 7−→ P (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0
avec n ∈ N∗ , an ∈ C∗ , an−1 , . . . , a − 0 ∈ C. Pour P du type ci-dessus, il existe au moins un complexe z0 tel que
P (z0 ) = 0.
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4.17
CHAPITRE 4. NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE DU PLAN
Utilisation des nombres complexes en géométrie plane.
Définition : Soit ~u et ~v deux vecteurs
non nuls du plan vectoriel d’affixes zu et zv . On appelle mesure de l’angle
zv
orienté (~u, ~v ) la quantité Arg
.
zu
−−→ −−→
Si M, A, B sont trois points du plan affine d’affixes zM , zA , zB , une mesure de l’angle orienté (M A, M B) est donc
zB − zM
Arg
.
zA − zM
Proposition : Etant donnés deux points distincts A et B et un réel α ∈]0, 2π[\{π}, l’ensemble des points M tels
−−→ −−→
que la mesure de l’angle orienté (M A, M B) est égale à α est un arc de cercle d’extrémités A et B ainsi défini :
−−
→ −→
1. On construit un point U tel que (AB, AU ) est de mesure −α (à 2π près).
2. La perpendiculaire en A à (AU ) coupe en C la médiatrice du segment [A, B].
3. L’arc cherché est centré en C et il est situé dans le demi-plan de contenant pas la demi-droite [A, U ).
Démonstration
4.18
Suites de nombres complexes.
Une suite (zn )n∈N de nombres complexes est l’application
N
n
−→ C
7−→ zn
On dit que la suite de nombres complexes (zn )n∈N est bornée si il existe M ∈ R+ tel que
∀n ∈ N, |zn | ≤ M.
ATTENTION : Pour une suite complexe, les mots suivants n’ont pas de sens : majoré, minoré, croissant, décroissant,
monotone car il n’y a pas d’ordre sur C. En revanche la notion de convergence peut être définie.
Définition : On dit que la suite complexe (zn )n∈N converge vers ℓ ∈ C, et on note lim zn = ℓ ou zn −→ℓ si
n→+∞
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , |zn − ℓ| ≤ ε.
En fait la convergence dans C se ramène à celle de deux suites réelles :
(
lim Re(zn ) = Re(ℓ)
n→+∞
Proposition :
lim zn = ℓ ⇐⇒
lim Im(zn ) = Im(ℓ)
n→+∞
n→+∞
Proposition : Les opérations sur les limites restent encore vraies pour les suites complexes.
Proposition (Bolzano-Weierstrass) : Si (zn )n∈N est une suite complexe bornée, alors il existe ϕ : N −→ N
strictement croissante tel que (zϕ(n) ) converge.
Démonstration
4.19
Quelques transformations du plan.
Nous allons étudier l’interprétation géométrique de l’application
ϕ : C
z
−→ C
7−→ az + b
où a ∈ C∗ et b ∈ C.
La transformation du plan affine associée donne au point M d’affixe z l’image M ′ d’affixe ϕ(z).
– Cas a = 1. −−−→
Le vecteur M M ′ est d’affixe constante égale à b. La transformation est une translation.
– Cas a 6= 1.
Il y a un unique point invariant c’est à dire d’affixe z tel que ϕ(z) = z. C’est le point d’affixe ω =
retranchant membre à membre
ϕ(z) = az + b et ω = aω + b
on trouve
ϕ(z) − ω = a(z − ω).
En notant C le point d’affixe ω, la relation précédente équivaut à
b
. Alors, en
1−a
4.19. QUELQUES TRANSFORMATIONS DU PLAN.
27
  ϕ(z) − ω| = |a|.|z − ω|
ϕ(z) − ω
 Arg
= Arg a
z−ω
ou encore
−−→
( −−−→
CM ′ = |a| CM −−→ −−−→
(CM , CM ′ ) = Arg a
La transformation est une similitude de centre C d’angle Arg a et de rapport |a|, c’est à dire la composée de la
rotation de centre C et d’angle Arg a, et de l’homothétie de centre C et de rapport |a|.
Cas particuliers :
– |a| = 1 (et a 6= 1) : Rotation d’angle Arg a.
– a = −1, rotation d’angle π = symétrie centrale = homothétie de rapport -1.
– a ∈ R∗ \ {1}, homothétie de rapport a.