´Enoncés de TD de Mécanique des Fluides Phys-M335

Universit´ e Paris-Sud
Licences L3 de Physique et Applications et de M´ ecanique
Ann´ ee 2015-2016 - S5
´
Enonc´ es de TD de M´ ecanique des Fluides
Phys-M335
Fr´ ed´ eric Bouquet
Cyprien Morize
Jean-Luc Raimbault
Emmanuelle Rio

TD 1 - Hydrostatique
I – Le barrage
On ´ etudie ici la force s’exerc¸ant sur un barrage qui retient une hauteur H= 100 m d’eau. On supposera que le
barrage a une largeur L= 500 m et que la pression au sommet du barrage est la pression atmosph´ erique p0. On
n´ eglige les variations de pression de l’air due ` a l’altitude. On utilise le syst` eme de coordonn´ ees cart´ esiennes.
Dans ce syst` eme le barrage est parall` ele au plan yOz et l’eau retenue par le barrage est ` ax < 0(fig. a). La base
du barrage se trouve dans le plan z= 0.
p0p0
(a) (b)
x
z
0
y
H H
PP
ρ ρ
1. (a) Rappeler la loi de l’hydrostatique dans un fluide ` a l’´ equilibre de densit´ eρsoumis ` a la pesanteur
⃗g =−g ⃗ez. Ecrire cette loi sous la forme d’une ´ equation diff´ erentielle permettant de calculer la
pression pdans le fluide.
(b) Int´ egrer cette ´ equation pour exprimer la pression pen tout point du fluide ` a l’´ equilibre. On supposera
que p=p0en z=H.
(c) En appliquant le r´ esultat pr´ ec´ edent, tracer l’´ evolution de la pression dans l’eau entre la base et le
sommet du barrage.
2. On cherche maintenant ` a exprimer la force de pression r´ esultante qui s’exerce sur le barrage.
(a) Soit dS un ´ el´ ement de surface du barrage autour du point Pet d⃗ S=dS ⃗exle vecteur associ´ e.
Exprimer alors la force de pression r´ esultante d⃗ Fqui s’exerce sur le barrage au travers de dS.
(b) En d´ eduire l’expression de la force de pression totale ⃗ Fqui s’exerce sur le barrage. Calculer
num´ eriquement la norme de cette force.
(c) En d´ eduire la force −→ Rqu’il faut appliquer sur le barrage pour le maintenir immobile. D´ eterminer
la hauteur OP du point d’application de cette force pour que la configuration soit stable.
3. On d´ esire optimiser la forme du barrage qui a, en r´ ealit´ e, une section trap´ ezoidale sym´ etrique d’angle
α= 20o(fig. b).
(a) Soit Pun point en surface du barrage en contact avec l’eau. Repr´ esenter sur un sch´ ema le vecteur
surface d⃗ Sau point P.
1

(b) Exprimer puis calculer num´ eriquement les composantes de la force de pression sur le barrage ⃗ Ft.
(c) Quel peut ˆ etre l’int´ erˆ et de cette forme de barrage ?
II – L’exp´ erience de Magdebourg
Soit un cube m´ etallique d’arˆ ete aqu’on scinde en 2 morceaux ´ egaux. Apr` es avoir reconstitu´ e le cube, on y fait
le vide. La pression ext´ erieure est p0= 105Pa.
1. Quel est l’effet du vide ? Repr´ esenter les forces de pression.
2. Calculer la force n´ ecessaire pour s´ eparer le cube en 2 moiti´ es suivant un plan vertical (a= 10 cm).
3. Mˆ emes questions avec une sph` ere m´ etallique de mˆ eme surface que le cube.
4. Mˆ emes questions lorsque la sph` ere est immerg´ ee dans l’eau ` a 10 m de profondeur.
III – L’atmosph` ere terrestre
On s’int´ eresse ici aux propri´ et´ es de la basse atmosph` ere terrestre, d’altitude inf´ erieure ` a 10 km (la troposph` ere).
Le gaz atmosph´ erique est suppos´ e parfait et en ´ equilibre hydrostatique. La masse molaire de l’aire est M= 29
g. Pour d´ ecrire l’atmosph` ere on se place dans le r´ ef´ erentiel terrestre suppos´ e galil´ een muni d’un rep` ere cart´ esien
Oxyz o` uOz est l’axe vertical orient´ e vers le haut de l’atmosph` ere. La pression au niveau du sol est p0= 1 atm
et l’altitude correspondante est z= 0.
On suppose dans un premier temps que l’atmosph` ere est isotherme de temp´ erature T=T0.
1. A partir du principe hydrostatique, d´ eterminer le profil vertical de pression p(z). On d´ efinit h=RT0
Mg :
quelle est la dimension de h? Quelle est sa signification ? Calculer hpour T0= 300 K.
On suppose ` a pr´ esent que l’atmosph` ere est adiabatique et que p=Kργavec γ=cp/cvet Kune constante.
2. Etablir une relation entre pet T.
3. De mˆ eme qu’au 1), ´ etablir l’expression de p(z). En d´ eduire l’expression de T(z).
4. Quelle est alors l’expression du gradient de temp´ erature as=dT/dz ? Exprimez-la en fonction de h.
Calculer sa valeur num´ erique sachant que γ= 1,4.
5. En basse atmosph` ere, le gradient de temp´ erature dT/dz est ` a peu pr` es constant ´ egal ` a -7 K/km. Dans ces
conditions des mouvements de convection peuvent-ils se d´ evelopper ?
2

TD 2 - Hydrostatique : Archim` ede et r´ ef´ erentiel non-galil´ een
I – Principe d’Archim` ede
On consid` ere un glac¸on de forme cubique de cˆ ot´ eh= 4 cm et flottant en ´ equilibre dans un verre d’eau rempli
`
a ras bord. On notera ρgla densit´ e du glac¸on, ρecelle de l’eau et ρacelle de l’air. On a ρg/ρe≃0,92.
1. Retrouver le principe d’Archim` ede (dans l’air et dans l’eau) en exprimant la condition d’´ equilibre du
glac¸on.
2. Quelle est la hauteur immerg´ ee adu glac¸on ?
3. Lorsque le glac¸on fond, le verre d´ eborde-t-il ?
II – Submersible
On s’int´ eresse ` a l’immersion d’une boˆ ıte cubique de cˆ ot´ eadans de l’eau. Le cube, rigide et creux, est rempli
d’air ` a la pression atmosph´ erique p0. Chaque face du cube a une ´ epaisseur fixe eet on notera ρsla densit´ e du
mat´ eriau constituant le cube et Msa masse. Sauf mention contraire, la densit´ e de l’eau ρest suppos´ ee constante
et on fait l’hypoth` ese que l’eau est un fluide parfait. L’axe Oz est pris vertical et orient´ e vers le haut.
1. Enoncer le th´ eor` eme d’Archim` ede.
En d´ eposant le cube dans l’eau, une face parall` ele ` a la surface de l’eau, on constate qu’` a l’´ equilibre sa face
sup´ erieure se trouve ` a une distance hau-dessus de la surface de l’eau de cote z= 0.
2. (a) Exprimer la pouss´ ee d’Archim` ede que subit le cube.
(b) A l’´ equilibre, exprimer la hauteur ´ emerg´ ee hen fonction de M,ρet a. A quelle condition le cube
flottera-t-il ?
(c) Sachant que e << a, exprimer la masse Mdu cube en fonction de a,eet ρs. Quelle est alors la
condition sur apour que le cube flotte ? Exprimer num´ eriquement cette condition pour ρs/ρ = 10
et e= 5 cm.
3

3. On suppose que le cube flotte ` a l’´ equilibre avec une hauteur ´ emerg´ ee h= 0. On lui rajoute une masse
mqui n’augmente pas son volume (par exemple en le remplissant d’eau). Que va-t-il alors se passer ? Le
mouvement du cube pourra-t-il s’arrˆ eter ?
4. Au cours du mouvement du cube, on prend maintenant en compte la variation de la densit´ e de l’eau avec
la profondeur, ρ(z) = ρ0(1 + αz)avec ρ0= 103kg/m3.
(a) Quel doit ˆ etre le signe de αpour que le cube s’arrˆ ete ? Quelle est sa dimension ? Sachant que
m+M= (1 + k)ρ0a3(knombre sans dimension) exprimer la cote zeo` u les forces sur le cube
s’´ equilibreront. Faire l’application num´ erique pour |α|= 10−6SI et k= 10−3.
(b) Cet ´ equilibre est-il stable ?
III – D´ eformation de la surface libre d’un liquide en rotation
On cherche ` a d´ eterminer la forme de la surface libre d’un liquide contenu dans un verre de hauteur H= 15
cm en rotation ` a vitesse angulaire −→ Ω = Ω−→ ezconstante. On note R= 5 cm le rayon du verre et h= 10 cm la
hauteur de liquide lorsque Ω=0. On suppose que le fluide est au repos dans le r´ ef´ erentiel tournant : on parle
d’´ ecoulement en rotation solide.
Ω
R
h
p0
H
0
z
rer
ez
1. On rep` ere une particule fluide par ses coordonn´ ees cylindriques (r, θ, z). Quelle est sa trajectoire dans le
r´ ef´ erentiel du laboratoire ?
2. Compte tenu des sym´ etries du probl` eme, justifier que la pression pdans le liquide ne d´ epend pas de θ.
3. ´ Ecrire l’´ equation de l’hydrostatique dans le r´ ef´ erentiel tournant. Quelle est la force volumique d’inertie
d’entraˆ ınement −→ fequi s’applique ici ?
4. D´ eterminer le champ de pression p(r, z)au sein du liquide. On note z0l’altitude de la surface de l’eau
en r= 0.
5. D´ eterminer l’´ equation de la surface libre de l’eau. Tracer la courbe de z−z0en fonction de r: quel est
le nom de cette courbe ?
6. D´ eterminer la hauteur de liquide z0en r= 0 en fonction de h,Ret Ω. En d´ eduire la vitesse angulaire
maximale Ωau-del` a de laquelle il n’y a plus de hauteur d’eau non nulle au centre en r= 0.
7. Calculer la vitesse angulaire Ωau-del` a de laquelle l’eau d´ eborde du verre.
4