07réflexion sur un conducteur parfait new

Plasma. Réflexion sur un conducteur parfait. Guides d’onde (elm 7) 1
On a vu des solutions particulières des équations de Maxwell : OEMPPM dans le vide illimité.
Ici on s’intéresse aux OEMPPM dans un plasma (I), puis aux solutions dans le vide mais « non illimité », i.e. en présence
d’obstacles (des conducteurs parfaits) qui imposent des conditions aux limites. Au programme, deux cas à traiter : celui de
la réflexion normale sur un conducteur parfait (II) et celui du guidage entre deux plans métalliques ou dans un guide infini
à section rectangulaire (III).
I. Propagation d’une OEMPPM dans un plasma
Un plasma est un gaz totalement ionisé constitué de cations de charge e et de masse m
i
et d’électrons de charge « -e » et de
masse m
e
.
Au repos les densités particulaires (nombres par unité de volume) de cations et d’électrons sont les mêmes, n
0
, de sorte que
le plasma est localement neutre : au repos ρ=ρ
e
+ρ
i
= -en
0
+en
0
=0
On étudie la propagation dans ce plasma d’une OEMPPM se propageant dans la direction
z
u
r
décrite par un champ
électrique de la forme :
x0xx
u)kztcos(EuE)t,z(E
r
r
r
−ω==
Cette onde met en mouvement les charges : on note v
r
e
(M,t) la vitesse d’un électron situé au point M à l’instant t et on
suppose que sa moyenne temporelle est nulle en tout point M. On néglige toute autre force que les forces
électromagnétiques.
1. Le plasma reste localement neutre en présence de l’onde
En effet, la densité volumique de charge locale est donnée par l’équation de MG :
0
x
E
Ediv
x
00
=
∂
∂
ε=ε=ρ r : le plasma reste partout localement neutre, même en présence de l’onde.
2. Champ magnétique
Il est donné par l’équation de MF :
y0y
x
x
u)kztsin(kEu
z
E
0
0
E
z/
0
0
Erot
t
Brr
r
r
−ω−=
∂
∂
−=∧
∂∂
−=−=
∂
∂
Soit, en intégrant :
ω
∧
=−ω
ω
=Ek u)kztcos(E
k
B
y0
r
r
r
r
PROPAGATION DANS UN PLASMA
RÉFLEXION SUR UN CONDUCTEUR PARFAIT
ONDES STATIONNAIRES. GUIDES D’ONDE

Plasma. Réflexion sur un conducteur parfait. Guides d’onde (elm 7) 2
(Le vecteur « constante d’intégration » est nul car on ne s’intéresse qu’aux champs de moyenne temporelle nulle en tout
point.)
remarque : La phase est ϕ=ωt-kz. La vitesse de phase est la vitesse de propagation de la phase, c’est-à-dire :
kdt
dz
v
cst
ω
= =
ϕ
ϕ
: ω/k est la vitesse de phase de l’onde, on peut donc écrire le champ magnétique :
y
x
u
v
E
Br
r
ϕ
=
.
Pour une particule de vitesse v, l’ordre de grandeur du rapport entre la force magnétique et la force électrique est :
ϕ
≅
∧
=v
v
Eq
Bvq
f
f
e
m
r
r
r
Pour les particules dont la vitesse est faible devant la vitesse de phase v
ϕ
de l’onde, on peut négliger la force magnétique.
Cette condition est supposée vérifiée dans la suite (on vérifiera la validité de cette hypothèse pour des particules non
relativistes), de sorte que le mouvement des particules a lieu dans la direction du champ électrique,
x
u
r
.
Attention : dans le plasma, la vitesse de phase ω/k n’est pas égale à c. L’étude qui suit, va nous permettre de la calculer.
3. Vecteur densité volumique de courant
La relation fondamentale de la dynamique appliquée à un électron s’écrit : Ee
t
v
m
e
e
r
r
−=
∂
∂
Soit en notation complexe : Eevmj
ee
r
r
−=ω et pour les amplitudes : ωm
e
V
em
=eE
m
De même, la relation fondamentale de la dynamique appliquée à un cation s’écrit en notation complexe :
Eevmj
ii
r
r
=ω , soit, pour les amplitudes : ωm
i
V
im
=eE
m
.
Le rapport des masses m
i
/m
e
est très élevé (égal à 1800 pour un proton, plus grand encore pour d’autres cations). On déduit
que le rapport des amplitudes des vitesses, V
im
/V
em
, est très faible : on peut négliger la contribution des ions au vecteur
densité de courant :
La densité volumique de courant se limite donc à la contribution des électrons :
e0i0e0ie
venvenvenjjj
r
r
r
r
r
r
−≈+−=+=
On déduit la densité de courant complexe : E
mj e
envenj
e
0e0
r
r
r
ω
−−=−= E
mj en
j
e
2
0
r
r
ω
=
On fait apparaître la conductivité complexe γ : elle est définie par j
r
= γ
E
r
:
e
2
0
mj
en
ω
=γ
4. Aspect énergétique
γ étant imaginaire pur, j
r
et
E
r
sont déphasés de π /2 (ils sont en quadrature). La puissance volumique moyenne cédée au
plasma par le champ électromagnétique, < j
r
.
E
r
>, est donc nulle (puisque <cos( ω t-kz).sin( ω t-kz)>=0).
(Ce n’est pas le cas dans le modèle de la conduction classique dans les métaux où on prend en compte une force de
frottements).
5. Relation de dispersion
Utilisons la notation complexe :
)kzt(j
0xyyy
)kzt(j
0xxx
eE
k
E
k
BavecuBBeteEEavecuEE
−ω−ω
ω
=
ω
==== r
r
r
r

Plasma. Réflexion sur un conducteur parfait. Guides d’onde (elm 7) 3
L’équation de (MA) s’écrit, en projection sur
x
u
r
:
x00x0
y
EjµEµ
z
Bωε+γ=
∂
∂
−
Soit, en tenant compte de l’expression de γ trouvée :
x00
e
2
0
0
x
2
Ejµ
mj en
µ
Ejk
ωε+
ω
=
ω
On obtient, en simplifiant, la relation suivante, appelée relation de dispersion :
e
2
00
2
2
2
menµ
c
k−
ω
=.
Remarque : on n’a plus la relation simple, obtenue dans le vide « illimité » k=ω/c.
6. Pulsation de coupure
Pour qu’une OEMPP puisse effectivement se propager, k doit être réel, i.e. k
2
>0 :
e0
0
e
00
c
m
en
m
encµ
222
ε
==ω>ω
La valeur seuil ω
c
est une caractéristique du plasma appelée pulsation de plasma : ainsi pour qu’une OEMPP puisse se
propager dans le plasma, sa pulsation doit être supérieure à la pulsation de plasma :
ω
c
=
e0
0
m
en
2
ε : « pulsation de plasma », caractéristique du plasma.
La relation de dispersion s’écrit, avec ω
c
:
2
2
c
2
2
c
kω−ω =
7. Vitesse de phase
La relation de dispersion nous donne simplement la vitesse de phase de l’onde :
2
c
)/(1
c
k
vωω− =
ω
=
ϕ
(la vitesse de phase est bien définie pour ω>ω
c
).
Elle est supérieure à c, mais il n’y a là aucun paradoxe car cette vitesse ne correspond pas à la vitesse d’un objet physique.
Remarque : pour des particules non relativistes (i.e. de vitesse v telle que v<<c), on a bien « v<<v
ϕ
». Par suite,
l’hypothèse faite à la fin du paragraphe 2. est bien vérifiée (force magnétique négligeable devant force électrique).
8. Vitesse de groupe
Définition :
dk
d
v
g
ω
=
Nous verrons que la vitesse de groupe correspond à la vitesse de propagation de l’énergie électromagnétique.
On l’obtient en différentiant la relation de dispersion : 2kdkc
2
=2ωdω
ϕ
=
ω
=
ω
=v
ckc
dk
d
v
22
g
2
c
g
1cv 
ω
ω
−= : la vitesse de groupe, elle, est bien inférieure à la vitesse de la lumière c.

Plasma. Réflexion sur un conducteur parfait. Guides d’onde (elm 7) 4
II. Réflexion normale d’une OEMPPM sur un conducteur parfait
1. Conducteur parfait
Rappel : un conducteur est caractérisé par la loi d’Ohm : Ej
r
r
γ=
On a étudié l’équilibre électrostatique d’un conducteur (parfait ou non) : on a vu j
r
= 0
r
;
E
r
int
= 0
r
, V=cst;
E
r
ext
= σ / ε
0
n
r
.
Dans ce chapitre, on ne se limite pas à l’équilibre électrostatique, en revanche on ne considère que des conducteurs
parfaits.
a) Définition
Un conducteur parfait est un conducteur de conductivité γ infinie.
b) Conséquences
La puissance volumique cédée au conducteur par le champ électromagnétique est ²EE.j
d
dP γ==
τ
r
r
. Celle-ci devant
rester finie (même avec γ infinie), le champ est nécessairement nul dans le conducteur
0E
int
r
r
=
Remarque : pour un conducteur non parfait, on a
E
r
= 0
r
à l’équilibre électrostatique, mais dans le cas d’un régime
quelconque, le champ électrique à l’intérieur du conducteur n’est pas nécessairement nul (onde évanescente).
L’équation de Maxwell Faraday s’écrit : 0
t
B
Erot
t
Br
r
r
r
=
∂
∂
⇔−=
∂
∂
, soit puisqu’on rejette les champs permanents :
0B
int
r
r
=
D’après l’équation de Maxwell Ampère,
E
r
et
B
r
étant nuls à l’intérieur, la densité volumique de courant j
r
est nulle
également. On déduit que seuls des courants surfaciques peuvent exister, sur la surface séparant le conducteur du
milieu extérieur (le vide dans notre étude) :
j
r
= 0
r
; éventuellement, 0j
S
r
r
≠
D’après l’équation de Maxwell Gauss, Ediv
0
r
ε=ρ . La densité volumique de charge est donc nulle à l’intérieur du
conducteur parfait. On déduit que seule une densité de charges surfacique peut exister (sur la surface séparant le
conducteur du milieu extérieur) :
ρ =0 ; éventuellement, σ≠ 0
c) Champs à la surface d’un conducteur parfait
rappel : relations de passage entre deux milieux (1) et (2) séparés par une distribution surfacique de charges et de courants.
Soit M un point de la distribution surfacique, M
2
un point du milieu 2, M
1
un point du milieu 1.
On pose
MMMM
MMMM
MBBMBB
MEEMEE
→→
→→
==
==
12
12
)(lim;)(lim
)(lim;)(lim
1122
1122
rrrr
r
r
r
r
, alors, on a :
∧=−
ε
σ
=−
→
→
21S012
21
0
12
n)M(jµBB
n
)M(
EE
r
r
rr
r
rr
Appliquons ce résultat au cas où le conducteur parfait est le milieu (1) et le vide le milieu (2). D’après les conséquences de
la définition d’un conducteur parfait, 0B;0E
11
r
r
r
r
== . Notons
n
r
le vecteur unitaire normal à la surface du conducteur,
orienté vers l’extérieur du conducteur. Les relations de passage s’écrivent alors :

Plasma. Réflexion sur un conducteur parfait. Guides d’onde (elm 7) 5
En un point M de la surface d’un conducteur parfait, caractérisé par une charge surfacique σ et un courant surfacique
j
r
S
:
njµBetnE
S0extsurf
0
extsurf
r
r
r
r
r∧=
ε
σ
= (
n
r
orienté de l’intérieur vers l’extérieur du conducteur parfait)
Avec
MM extextsurf MM extextsurf
extext
MBBMEE
→→
== )(lim;)(lim
r
r
r
r
A la surface du conducteur la composante tangentielle
du champ électrique est nulle, la composante normale
du champ magnétique est nulle.
Ou encore :
À la surface d’un conducteur parfait, le champ
électrique, s’il est non nul, est nécessairement normal;
le champ magnétique, s’il est non nul, est
nécessairement tangent.
2. Réflexion normale
Soit (O
i
) une onde incidente plane progressive monochromatique, de fréquence ν, provenant de la région z<0 assimilée au
vide, se propageant selon
z
u
r
, arrivant en z=0 sur un métal assimilé au demi-espace z>0.
Supposons (O
i
) polarisée rectilignement selon
x
u
r
. (On a vu qu’une onde de polarisation quelconque peut toujours se
décomposer en deux ondes polarisées rectilignement dans des directions perpendiculaires).
Nature physique de la réflexion : Le champ électrique de
l’onde incidente impose un régime sinusoïdal forcé aux
électrons libres de la surface du métal (
F
r
=q
E
r
) donc des
courants surfaciques selon
x
u
r
, de fréquence ν , fréquence de
l’onde. Ces courants surfaciques constituent des dipôles
oscillants à la fréquence de l’onde incidente (dipôles formés
de cations et d’électrons), ces dipôles rayonnent dans tout
l’espace un champ électromagnétique de même fréquence
ν (cf chapitre suivant).
L’onde rayonnée dans les deux régions (z<0 et z>0) se
superpose à l’onde incidente : côté z<0, l’onde rayonnée est
appelée onde réfléchie, elle va se superposer à l’onde
incidente; côté z>0, l’onde incidente et l’onde rayonnée
produisent un champ résultant nul dans le métal.
Ecrivons la représentation complexe du champ électrique de l’onde incidente sous la forme :
x0i
u)kzt(jexpEE
r
r
−ω= de vecteur d’onde
zzi
u
c
ukk rr
r
ω
==
Remarque : on a k= ω /c puisque par hypothèse, (O
i
) est une OEMPPM se propageant dans le vide.
k
i
E
i
E
r
B
i
B
r
k
r
z
Conducteur
parfait
x
vide
M
n E
surf ext
j
s
B
surf ext
Conducteur parfait
B
int
=0 E
int
=0