1. La notion de section

QUELQUES NOTIONS UTILES EN TH´ EORIE DES GROUPES
A. El Kacimi
Ce texte rassemble des r´eponses (que j’ai donn´ees sous forme ´ecrite) `a quelques-unes des
questions que m’ont pos´ees des ´etudiants sur ceci ou cela en th´eorie des groupes. Elles ne sont
pas toutes d´etaill´ees mais chacune d’elles donne au moins une id´ee.
1. La notion de section
1.1. En g´en´eral
Soient Xet Bdeux ensembles (non vides bien sˆur) et π:X−→ Bune application
surjective. Pour tout b∈B:
Xb=π−1(b) = {x∈X:π(x) = b}
est une partie non vide de Xappel´ee fibre de πau-dessus de b. Si b̸=b′, les deux fibres
Xbet Xb′sont disjointes. La famille {Xb}b∈B(index´ee par B) est donc une partition de
X.
Dans chaque fibre Xb, on peut choisir un et un seul ´el´ement σ(b). Ceci est ´evident si
l’ensemble Best fini ; c’est aussi clair si Best d´enombrable. Pour Bnon d´enombrable,
l’axiome du choix nous permet de faire cela. On d´efinit ainsi une application :
(1) σ:b∈B7−→ σ(b)∈Xavec σ(b)∈Xb.
On a donc π◦σ=identit´e de B. Une v´erification imm´ediate montre que σest injective.
On dira que σest une section de π. Cette section σpermet de “remonter” l’ensemble B
dans Xet l’y plonger de telle sorte que la restriction de π`a Σ = σ(B) soit une bijection
sur B.
Du point de vue ensembliste, une surjection π:X−→ Badmet donc toujours une
section σ:B−→ X. Si les ensembles Xet Bont une structure suppl´ementaire et que π
pr´eserve cette structure, il est alors souhaitable que σla pr´eserve aussi ! Expliquons cela
sur des exemples :
– Si Xet Bsont des espaces m´etriques (ou g´en´eralement des espaces topologiques) et
πest continue, il serait bien que σsoit aussi continue.
– Si Xet Bsont des groupes et πest un homomorphisme, il serait bien que σsoit aussi
un homomorphisme.
– Si Xet Bsont des espaces vectoriels et πest lin´eaire, il serait bien que σsoit aussi
lin´eaire.
– Si Xet Bsont des espaces norm´es et πest lin´eaire continue, il serait bien que σsoit
aussi lin´eaire et continue.
On peut multiplier les exemples mais d´ej`a ceux-l`a expliquent suffisamment les choses.
Il n’est malheureusement pas toujours possible d’avoir de telles sections ; nous allons voir
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cela sur quelques exemples : un sur lequel ¸ca marche et deux autres sur lesquels ¸ca ne
marche pas.
1.2. Exemples
– Supposons que Xet Bsoient des espaces vectoriels sur le corps K(Rou C) et π
lin´eaire. Alors πadmet toujours une section lin´eaire σ:B−→ X. En effet, soit {bi}i∈I
une base de B; pour chaque i∈I, soit xiun vecteur de Xtel que π(xi) = bi. Comme
n’importe quel vecteur bde Bs’´ecrit b=λi1bi1+· · · +λinbin(avec λi1,· · · , λin∈K), on
d´efinit σ(b) en posant :
(2) σ(b) = λi1xi1+···+λinxin.
L’application σ:B−→ Xainsi d´efinie est bien une section lin´eaire de π. Si Xet Bsont
en plus norm´es et πest continue, alors une section continue σ:B−→ Xn’existe pas
toujours si la dimension de Best infinie (la construction d’un exemple `a cet effet est un
peu plus laborieuse). Mais si dim(B)<+∞, une telle section existe toujours. Regardons
l’exemple simple qui suit.
– Supposons X=R2,B=R(chacun de ces espaces est muni de l’une de ses normes
usuelles) et πd´efinie par π(x, y) = x−y(πest lin´eaire continue). Alors les fibres Xbde π
sont les droites affines x−y=cavec cune constante (variant dans R). Toute application
lin´eaire :
(3) σµ:x∈R7−→ (x, µx)∈R
o`u µest un r´eel tel que µ̸= 1, est alors une section lin´eaire continue de π.
Les droites affines en noir sont les fibres de l’application lin´eaire π. La droite
vectorielle en rouge est l’image de la section σµ:R−→ R2. Elle coupe
chacune des fibres en un et un seul point : elle “sectionne” les fibres, d’o`u
son appellation.
– Supposons X=Z; soit Hle sous-groupe nZdes multiples de no`u nest un entier
strictement sup´erieur `a 1. Alors Hest un sous-groupe distingu´e de X=Zet le quotient
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B=X/H n’est rien d’autre que le groupe Z/nZdes classes modulo nde Z. La projection
canonique π:Z−→ Z/nZest un morphisme surjectif de groupes. L’application πadmet
des sections au sens ensembliste (cf. dessin qui suit pour n= 5) mais aucune d’elles ne
saurait ˆetre un morphisme de groupes. En effet, si σ:Z/nZ−→ Zest un “homomorphisme
section” de π, l’image de 1 est un entier non nul kde Z; comme
nfois
1 + ···+ 1 = n= 0,
l’entier
nfois
k+· · · +k=nk doit ˆetre nul, ce qui est absurde !
2. Extensions de groupes
On se donne deux groupes quelconques Het Γ. Peut-on en construire d’autres `a partir de
ces deux-l`a ? La r´eponse est oui et nous allons donner un proc´ed´e de construction. Pour
´eviter des confusions ´eventuelles, on note + la loi sur H, 0 sera l’´el´ement neutre de Het
1 celui de Γ.
2.1. D´efinition. On appelle extension de Γpar H(ou de Hpar Γ) toute suite exacte
courte de groupes et de morphismes :
(4) 0 −→ Hj −→ Gπ −→ Γ−→ 1.
Cela signifie que jest injectif, πest surjectif et le noyau de πest ´egal `a l’image de j.
Bien sˆur le groupe Gest plus gros que Hpuisqu’il le contient mais aussi plus gros
que Γ puisqu’il se surjecte dessus. (Dans la litt´erature math´ematique, on parle souvent
d’extension de Γ par Hmˆeme si c’est plutˆot Hqu’on ´etend !)
2.2. Produit direct ou extension triviale
On pose G=H×Γ ; sur cet ensemble on d´efinit la loi de composition interne :
(5) (h, γ)·(h′, γ′) = (h+h′, γγ′).
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Il est facile de voir qu’on obtient ainsi un groupe dans lequel l’´el´ement neutre est (0,1)
et l’inverse de (h, γ) est (−h, γ−1). Tout ´el´ement de la forme (h, 1) commute avec tout
´el´ement de la forme (0, γ). On dira que G=H×Γ est le produit direct des deux groupes
Het Γ.
On d´efinit les morphismes j:H−→ Get π:G−→ Γ par j(h) = (h, 1) et π(h, γ) = γ.
On v´erifie imm´editement que la suite :
0−→ Hj −→ Gπ −→ Γ−→ 1
est exacte. On dira que Gest une extension triviale de Γ par H.
2.3. Produit semi-direct
On rappelle qu’un automorphisme de Hn’est rien d’autre qu’un isomorphisme de
groupes H−→ H. L’ensemble des automorphismes de Hmuni de la composition des
applications est un groupe qu’on note Aut(H).
Une repr´esentation de Γ dans Hest un morphisme de groupes ρ: Γ −→ Aut(H). Il
permet de d´efinir une action du groupe Γ sur H:
(γ, h)∈Γ×H7−→ ρ(γ)(h)∈H.
Ainsi, un ´el´ement quelconque γde Γ est vu, `a l’aide de ρ, comme un automorphisme de
H. Pour simplifier, et quand il n’y a pas de confusion sur la repr´esentation ρ, l’´el´ement
ρ(γ)(h) (transform´e de hpar l’automorphisme ρ(γ)) sera not´e γ·h. On munit H×Γ de
la loi de composition interne :
(6) (h′, γ′)·(h, γ) = (γ′·h+h′, γ′γ).
qui fait de H×Γ un groupe. Son ´el´ement neutre est (0,1) et l’inverse de (h, γ) est
(−(γ−1·h), γ−1). Le groupe Gainsi construit se note HoρΓ et s’appelle produit semi-
direct de Hpar Γ relativement `a ρ. Il est ´evident que si ρest le morphisme trivial,
c’est-`a-dire si ρ(γ) = identit´e de Hpour tout γ∈Γ, HoρΓ est le produit direct H×Γ.
L`a aussi on d´efinit les morphismes j:H−→ Get π:G−→ Γ par j(h) = (h, 1) et
π(h, γ) = γet on v´erifie imm´editement que la suite :
(7) 0 −→ Hj −→ HoρΓπ −→ Γ−→ 1
est exacte. On a donc une extension de Γ par H. Mais c’est une extension qui poss`ede
une propri´et´e en plus : le morphisme πadmet l’application :
σ:γ∈Γ7−→ (0, γ)∈G
comme section. On peut dire en quelque sorte que Het l’image de Γ par la section σsont
deux facteurs qui permettent de fabriquer le groupe G. Ceci est illustr´e par le :
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2.4. Th´eor`eme. Soient Het Γdeux sous-groupes d’un groupe Gtels que :
•Hest distingu´e dans G;
•H∩Γ = {1};
•l’application φ: (h, Γ) ∈H×Γ7−→ hγ ∈Gest bijective.
Soit ρle morphisme de Γdans Aut(G)qui `a γassocie l’automorphisme int´erieur ϕγ.
Alors l’application φ: (h, γ)∈HoρΓ7−→ hγ ∈Gest un isomorphisme de groupes. On
dira que Gest le produit semi-direct interne de ses deux sous-groupes Het Γ.
3. Divers
Une extension 0 −→ Hj −→ Gπ −→ Γ−→ 1 est dite scind´ee si le morphisme πadmet une
section σ: Γ −→ G(bien sˆur σdoit ˆetre un morphisme de groupes) ; autrement on dira
qu’elle est non scind´ee.
3.1. Nous avons vu que si Gest le produit semi-direct d’un groupe Hpar un groupe Γ,
alors l’extension : 0 −→ Hj −→ HoρΓπ −→ Γ−→ 1 est scind´ee. R´eciproquement, soit
0−→ Hj −→ Gπ −→ Γ−→ 1 une extension scind´ee par une section σ: Γ −→ G. Notons  Γ
le sous-groupe de Gimage de Γ par σ(σ: Γ −→  Γ est un isomorphisme). Alors :
–Hest distingu´e dans Gpuisque noyau du morphisme π.
–H∩ Γ = {e}. En effet, soit g∈H∩ Γ qui est de la forme g=σ(γ) ; donc γ=π(g) =
π(σ(γ)) = 1 puisque g∈H= ker(π) ; comme σest un morphisme g=σ(γ) = σ(1) =
e.
– L’application φ: (h, γ)∈H× Γ7−→ hγ∈Gest une bijection. Montrons qu’elle
est injective. ` A cet effet soient (h1,γ1) et (h2,γ2) deux ´el´ements de H× Γ tels que
h1γ1=h2γ2; alors γ1γ−1
2=h−1 1h2, ce qui montre que γ1et γ2sont ´equivalents
modulo H, donc ´egaux puisque  Γ ne contient qu’un et un seul ´el´ement de chaque
classe d’´equivalence. L’´egalit´e γ1=γ2implique automatiquement h1=h2. Montrons
maintenant que φest surjective. Soit g∈Get posons γ=π(g). De fa¸con ´evidente, g
et γ=σ(γ) sont ´equivalents modulo H; il existe donc h∈Htel que gγ−1=h, d’o`u
g=hγ=φ(h, γ).
Pour finir, H´etant distingu´e dans G, Γ agit dessus par automorphismes int´erieurs
(par conjugaison si on pr´ef`ere). D’apr`es le th´eor`eme 2.4. Gest le produit semi-direct
interne de Het  Γ.
3.2. Soient Gun groupe et Aune partie de G. On appelle centralisateur de Al’ensemble
C(A) de tous les ´el´ements de Gqui commutent `a tout ´el´ement de A:
C(A) = {g∈G:ga =ag pour tout a∈A}.
On v´erifie imm´ediatement que, si Aest sym´etrique (a∈A=⇒a−1∈A), C(A) est un
sous-groupe de G. Le centralisateur C(G) de tout le groupe Gest appel´e centre de G; il
y est distingu´e.
Soit 0 −→ Hj −→ Gπ −→ Γ−→ 1 une extension scind´ee par une section σ: Γ −→ G.
Supposons que σest `a valeurs dans le centralisateur C(H). Alors l’extension consid´er´ee est
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