Groupes, sous-groupes, morphismes de groupes, parties génératrices

Universit´e Paul Sabatier Toulouse
L2 Math´ematiques: groupes et g´eom´etrie Ann´ee 2011-2012
TD 1: Groupes, sous-groupes, morphismes de groupes,
parties g´en´eratrices
Exercice 1 Les ensembles suivants munis de ces op´ erations sont-ils des groupes ? Si oui, sont-ils commutatifs ?
1. (N,+),(Z,+),(Z,×).
2. (K,+),(K,×),(K∗,×)o` uK=Q,R,C.
3. (Mn(K),+),(Mn(K), .)o` uK=Q,R,Cet Mn(K)l’ensemble des matrices ` a coefficients dans Kde
taille n×n.
4. (GLn(K), .),(SLn(K), .),(On(R), .),(SOn(R), .)o` uK=Q,R,Cet :
GLn(K) = {M∈ Mn(K)|det(M)6=0};
SLn(K) = {M∈ Mn(K)|det(M) = 1};
On(R) = {M∈ Mn(R)|AtA=In};
SOn(R) = {M∈On(R)|det(M) = 1}.
5. (S(E),◦), o ` uEest un ensemble et S(E)l’ensemble des bijections de Edans E.
6. (Aut(G),◦), o ` uGest un groupe et Aut(G)l’ensemble des automorphismes de G.
7. (C,∗), o ` u∗est l’op´ eration :
∗:C×C→C
(z,z0)7→ z2z0
Exercice 2 Soit Gun ensemble muni d’une op´ eration
G×G→G
(x,y)7→ x.y
telle qu’il existe un ´ el´ ement neutre ` a gauche et un inverse ` a gauche pour tous les ´ el´ ements de G.
1. Montrer que, pour un ´ el´ ement quelconque de G, un inverse ` a gauche est aussi un inverse ` a droite.
2. Montrer que, si un ´ el´ ement quelconque de Gposs` ede un inverse ` a gauche et un inverse ` a droite, alors ils
sont ´ egaux.
3. Montrer que l’´ el´ ement neutre ` a gauche est aussi un ´ el´ ement neutre ` a droite. En d´ eduire qu’ils sont ´ egaux.
4. En d´ eduire que dans un groupe, il y a unicit´ e de l’´ el´ ement neutre et de l’inverse d’un ´ el´ ement.
Exercice 3 Soit Gun groupe fini, et soit Aune partie de Gtelle que, pour tous ´ el´ ements xet yde A, le produit
x.ysoit dans A. Montrer que Aest un sous-groupe de G. Donner l’exemple d’un groupe Get d’une partie
A⊂Gstable par produit de sorte que Ane soit pas un sous-groupe de G.
Exercice 4 Soit Gun groupe. On suppose que :
∀x∈G,x2=e.
Montrer que Gest commutatif.
Exercice 5 On va montrer que les sous-groupes de (Z,+)sont de la forme nZ,n∈N.
1. Soit n∈N, montrer que nZest un sous-groupe de(Z,+).
2. Soit G6={0}un sous-groupe de (Z,+).
(a) Montrer que G∩N∗6=∅. On note n=min (G∩N∗).
(b) Montrer que nZ⊂G.
1

(c) Soit g∈G. A l’aide de la division euclidienne dans Z, montrer qu’il existe q∈Ztel que g=nq. En
d´ eduire que G=nZ.
3. La r´ eunion de deux groupes est-elle un groupe ?
Exercice 6 On note Gl’ensemble des applications continues
f:C→C
telles que f(0) = 0, f(1) = 1, et f(x+y) = f(x) + f(y)et f(xy) = f(x)f(y)pour tous x,y∈C. Expliciter tous
les ´ el´ ements de G, et montrer que la composition des fonctions d´ efinit une structure de groupe sur G.
Exercice 7 On note C∗l’ensemble des nombres complexes non nuls.
1. Montrer que la multiplication des nombres complexes d´ efinit une structure de groupe sur C∗.
2. V´ erifier que l’ensemble R∗
+des nombres r´
eels strictement positifs est un sous-groupe de C∗.
3. Montrer que l’application
C∗→R∗
+
z7→ |z|=qRe(z)2+Im(z)2
est un morphisme de groupes. On note Ule noyau du morphisme ci-dessus.
4. Construire un isomorphisme de groupes de C∗vers le groupe produit R∗
+×U.
Exercice 8 Soit n>2, on appelle groupe des racines n-i`emes de l’unit´e dans Cl’ensemble :
µn(C) = {z∈C|zn=1}.
1. Montrer que µn(C)est un groupe. Pour n∈ {2, 3, 4, 5, 6}, d´ ecrire tous ses ´ el´ ements et les dessiner dans
C. Que remarque-t-on ?
2. Notons ζ=e2iπ
n. Montrer que µn(C) = hζi. Quel est l’ordre de µn(C)? En d´
eduire que c’est un groupe
cyclique.
3. Consid´ erons l’application :
σ:Z→µn(C)
k7→ ζk
(a) Montrer que σest un morphisme de groupes.
(b) Calculer le noyau et l’image de σ.
4. Montrer que, pour tout 1 6k6n−1, ζkest un g´ en´ erateur de µn(C)si et seulement si pgcd(k,n) = 1.
On appelle ensemble des racines primitives n-i`emes de l’unit´e dans Cl’ensembles des g´ en´ erateurs de µn(C).
5. On note ϕ(n)le nombre de g´ en´ erateurs de µn(C). On appelle ϕl’indicatrice d’Euler.
Pour n∈ {2, 3, 4, 5, 6}, calculer ϕ(n)et donner la liste des g´ en´ erateurs de µn(C).
6. Soit pun nompre premier, et n>1 un entier. Montrer que ϕ(pn) = (p−1)pn−1.
7. Soient met ndeux nombres entiers positifs premiers entre eux. Construire un isomorphisme de groupes
du groupe produit µm(C)×µn(C)vers le groupe µmn(C). En d´ eduire une formule exprimant ϕ(mn)en
fonction de ϕ(m)et de ϕ(n).
8. Calculer ϕ(n)pour tout entier positif n.
Exercice 9 Si Iet Xsont des ensembles, on d´ esigne par XIl’ensemble des applications de Ivers X.
1. Soient Gun groupe. Montrer que, pour tout ensemble I,GIest naturellement munit d’une structure de
groupe, de sorte que, pour toute application f:I→J, l’application
GJ→GI
u7→ u◦f
soit un morphisme de groupes.
2. Soient Gun groupe et Iun ensemble. On note G(I)le sous-ensemble de GIform´ e des applications u:
I→Gtelles que u(i) = epour tout ien dehors d’un sous-ensemble fini de I. Montrer que G(I)est un
sous-groupe de GI.
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3. Soit Pl’ensemble des nombres premiers. Construire un isomorphisme de groupes de Z(P)vers Q∗
+.
Exercice 10 Soient Gun groupe fini et s:G→Gun morphisme involutif (c’est-` a-dire tel que s◦s=id). On
suppose de plus que eest le seul point fixe de s.
1. Montrer que l’application x7→ x−1s(x)est injective. En d´ eduire que ∀x∈G,s(x) = x−1, puis que Gest
commutatif.
2. Montrer que l’ordre de Gest impair.
Exercice 11 1. Soit Gun groupe, pour tout h∈G, on d´ efinit l’application :
ϕh:G→G
g7→ hgh−1
(a) Montrer que, pour tout h∈G,ϕh∈Aut(G). Un ´ el´ ement de Aut(G)de la forme ϕhest appel´ e un
automorphisme int´erieur.
(b) Consid´ erons l’application :
ϕ:G→Aut(G)
h7→ ϕh
Montrer que ϕest un morphisme de groupe. En d´ eduire que Int(G) = {ϕh|h∈G}est un sous-
groupe de Aut(G)appel´ egroupe des automorphismes int´erieurs.
(c) Le noyau de ϕest appel´ e le centre de G et not´ eZ(G). D´ ecrire le centre lorsque Gest commutatif.
(d) Montrer que Z(G)est invariant par tout ´ el´ ement de Aut(G)(on dit que c’est un groupe caract´eristique).
(e) D´ eterminer Z(GLn(K)) o` uK=Q,R,C.
2. On appelle commutateur de xet yl’´ el´ ement :
[x,y] = xyx−1y−1.
On appelle sous-groupe d´eriv´e de G, not´ eD(G), le sous-groupe de Gengendr´ e par tous les commutateurs.
(a) D´ ecrire D(G)lorsque Gest commutatif.
(b) Montrer que D(G)est un sous-groupe caract´ eristique.
Exercice 12 Soit Gun groupe cyclique d’ordre n.
1. Montrer que Gest ab´ elien.
2. Soit gun g´ en´ erateur de G, montrer que l’ordre de gkest n
pgcd(k,n). Retrouver le r´
esultat de la question
4 de l’Exercice 8.
3. Montrer que tout sous-groupe de Gest cyclique.
4. Soit dun diviseur de n. Montrer qu’il existe un unique sous-groupe de Gd’ordre d.
Exercice 13 D´ eterminer End(Z)et Aut(Z).
Exercice 14 Dans cet exercice, on consid` erera le groupe GL2(R)des matrices r´ eelles inversibles, ` a deux lignes
et deux colonnes, ainsi que ses sous-groupes.
1) Posons
H=n1n
0 1∈GL2(R)
n∈Zo
a) Montrer que Hest un sous-groupe de GL2(R).
b) Montrer que Hest un groupe cyclique. Est-il distingu´ e dans GL2(R)?
2) Soient A=0−1
1 1 et B=0 1 −1 0. On note Kle sous-groupe de GL2(R)engendr´
e par Aet B.
a) Montrer que Aet Bsont des ´ el´ ements d’ordre fini dans SL2(R).
b) Montrer que Hest un sous-groupe de K(en particulier, Kest infini).
c) Calculer hAi ∩ hBi.
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Exercice 15 Soit Gun groupe. ´ Etant donn´ ee une partie Ade G, on d´ esigne par Z(A)le centralisateur de A dans
G, c’est-` a-dire le sous-ensemble de Gd´ efini par :
Z(A) = {g∈G| ∀a∈A,ga =ag }.
On notera par ailleurs hAile sous-groupe de Gengendr´ e par A⊂G.
1) Montrer que Z(A)est un sous-groupe de Get que
Z(A) = Z(hAi).
2) Donner une condition n´ ecessaire et suffisante sur Apour que hAisoit un groupe ab´ elien (resp. soit un
sous-groupe distingu´ e de G).
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