Introduction à la physique des plasmas

Introduction à la physique des plasmas
Philippe Savoini
1er avril 2009

Table des matières
1 Introduction 4
1.1 description théorique des plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 équations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 les différentes approches théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Théorie des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Théorie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.3 Théorie multi-fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 Théorie magnétohydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 échelles caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 hypothèse de quasi-neutralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 écrantage électrique : la longueur de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.3 écrantage électrique : la fréquence plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.4 Critères d’existence d’un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.5 ordre de grandeur dans l’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Approche particulaire 13
2.1 champs électromagnétiques constants et uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 champ magnétique uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 champ électrique et magnétique uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4 force uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 champs électromagnétiques NON-uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 champ électrique NON stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 champ magnétique NON uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.3 l’effet miroir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.4 Les invariants adiabatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Approche statistique 30
3.1 éléments de théorie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.1 position dans l’espace des phases : description exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 position dans l’espace des phases : description statistique . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.3 l’équation de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 le phénomène de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 notion de libre parcours moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.2 notion d’angle de déviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.3 Section efficace de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.4 section efficace de transfert d’impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 l’état d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.1 équilibre sans force extérieure : la distribution de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.2 équilibre en présence d’une force extérieure : formule de Boltzmann . . . . . . . . 47
3.3.3 équilibre en présence d’une charge ponctuelle : comportement collectif . . . . . . . 48
3.3.4 collisions ionisantes dans un équilibre : la relation de Saha . . . . . . . . . . . . . 50
4 Une Approche fluide : la théorie magnétohydrodynamique 52
4.1 équations fluides : la théorie multi-fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1 application à l’équation de Vlasov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2 équations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.3 notion de pression cinétique : un tenseur d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.4 relations de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 comparaison approche particulaire et approche fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.1 dérive diamagnétique : aspect fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.2 dérive diamagnétique : aspect statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.3 dérive due au gradient de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 équations fluides : le modèle mono-fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.1 hypothèse des variations lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.2 La MHD non idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 équations fluides : la MHD idéale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4.1 Théorème de conservation du flux magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4.2 Le théorème du gel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.3 la pression magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Validité de la magnétohydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Notions élémentaires sur le transport 79
5.1 Transport dans un plasma faiblement ionisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1 Equation de Langevin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.2 Définition des coefficients de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.3 La diffusion ambipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2 Diffusion en présence d’un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.3 Transport dans un plasma complètement ionisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.3.1 Diffusion en l’absence de champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Page 3
Ce cours d’introduction aux plasmas se veut le plus didactique possible et, de ce fait, il
aborde les différents concepts de base qui fondent la physique des plasmas. Ce sont systé-
matiquement les démonstrations les plus simples qui seront présentées. Cependant, certains
calculs peuvent sortir du cadre de cette introduction mais sont néanmoins présent afin de
permettre à l’étudiant intéressé d’approfondir certains concepts importants et de rendre
l’ensemble le plus cohérent possible. Les étudiants ne désirant pas approfondir certaines
partie de ce cours, pourront ne pas tenir compte des paragraphes possèdant une barre
grisâtre dans la marge.
Par exemple, ceci est un paragraphe non indispensable à la compréhension fondamentale de la physique
des plasmas. La lecture des zones ”grisâtres” peut être considérée comme une démarche afin de mieux
comprendre certains détails complexes des plasmas. Enfin, pour les plus courageux !!!!!!
Auteur : Philippe Savoini

1. Introduction
Le terme ”plasma” a été introduit dans un premier temps 1pour désigner un gaz ionisé (observé dans
les tubes à décharges) dont la principale propriété était d’étre globalement neutre. Par la suite, ce terme
a été utilisé en astrophysique pour désigner un état dilué de la matière, analogue à celui d’un gaz, mais
principalement constitué de particules chargées (électrons + ions) en proportions égales. Les plasmas
se confondent donc avec les gaz ionisés et font suite dans l’échelle des températures, aux trois états
”classiques”: solides, liquides et gaz. Ils constituent donc un quatrième état de la matière bien qu’il
n’existe aucune transition de phase entre gaz et plasmas 2.
Bien que l’analyse théorique des plasmas soit relativement simple (forces entre particules connues exacte-
ment, description par la mécanique classique, utilisation d’une approche non relativiste dans la majorité
des cas ...), leur étude ne s’est développée que depuis les années 50. Grâce à des techniques nouvelles,
(hyperfréquences puis lasers) les paramètres fondamentaux des plasmas : densité, température, fréquence
de collisions, ont pu être déterminés avec précision. Le développement de la radioastronomie puis de la
recherche spatiale a permis de découvrir que notre environnement proche et lointain est essentiellement
constitué de plasma. L’environnement terrestre (ionosphère, magnétosphère, vent solaire, couronne so-
laire ...) en sont des exemples frappant. De manière plus générale, la physique des plasmas joue un rôle
considérable dans toute l’astrophysique et la cosmologie, on pense que 99 % de l’Univers (avec un grand
U !) est constitué de matière à l’état de plasma. De la même façon, et de manière beaucoup plus terre
à terre, de nombreuses techniques nouvelles utilisent les propriétés des plasmas : explosions nucléaires,
conversion magnétohydrodynamique et thermoionique de l’énergie, rentrée dans l’atmosphère d’engins
spatiaux, propulsion électrique des satellites (moteur MHD), lasers à gaz, découpage des métaux en sont
quelques exemples parmi d’autres, liste non exhaustive qui s’aggrandit de jour en jour.
Puisque l’état de plasma inclut des charges positives et négatives et que leur mouvement relatif produit
des courants, il est évident que les constituants de ce plasma seront influencés par les champs élec-
triques et magnétiques présents, et que dans le même temps, ils modifiront de manière auto-cohérente
ces mêmes champs. Il est donc essentiel, lorsque l’on s’intéresse à l’étude des plasmas, de traiter les
champs électro-magnétiques comme une part intégrale du système. Les plasmas sont donc le résultat de
deux tendances contradictoires et complémentaires, une tendance au désordre due à l’agitation thermique
et une tendance à l’organisation due à l’aspect collectif (ou d’auto-organisation, nous y reviendrons ...)
que manifeste l’interaction Coulombienne. Ces deux tendances permettent aux plasmas de rester sous
forme ionisée, tout en restant globalement neutre. Cet électromagnétisme dans le désordre est devenu
avec le temps une branche quasi-autonome de la physique qui en plus des aspects qui lui sont propres fait
appel aux connaissances et aux techniques acquises dans d’autres disciplines : mécanique, statistique,
électromagnétisme, hydrodynamique, physique atomique. Très varié dans ces applications, la physique
des plasmas constitue également une extension considérable du champ d’application de ces disciplines.
1.1 description théorique des plasmas
La physique des plasmas consiste donc à résoudre des problèmes auto-cohérents d’interaction des champs
électromagnétiques et des particules chargées. Toute la richesse phénoménologique est due à la nature
intrinsèquement non linéaire de ce couplage champ/matière.
1. Ce sont les physiciens américains Irving Langmuir et Levi Tonks en 1929 qui ont forgé ce mot à partir du grec signifiant
”quelque chose que l’on façonne, que l’on forme”.
2. En effet, d’un point de vue physique, la distinction entre solide, liquide et gaz se caractérise par une énergie de liaison
allant de très forte à quasi-inexistante. L’état dans lequel se trouve une substance dépend principalement de la vitesse
aléatoire (température) des atomes ou des molécules la constituant. L’équilibre entre l’énergie de liaison et son énergie
cinétique aléatoire conditionne alors l’état dans laquel se trouve cette substance. Au fur et à mesure que la température
s’accroît, l’énergie cinétique dépasse l’énergie de liaison ce qui aboutit à un changement de phase, changement de phase
qui se déroule à température constante pour une pression donnée et se caractérise par une quantité d’énergie spécifique à
la substance observée que l’on appelle ”chaleur latente”. A l’inverse, le passage de l’état gazeux à l’état de plasma se fait
graduellement avec l’augmentation de la température et ne comporte aucune phase de transition au sens thermodynamique
du terme.
4