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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/24
X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2004
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu par
Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).
Le sujet porte sur l’étude de réacteurs à plasma, qui sont utilisés dans les pro-
cédés de dépôt et de gravure qui servent à la fabrication des composants micro-
électroniques.
•La première partie porte sur l’interaction entre le champ électromagnétique et
le gaz ionisé. Le but est de calculer les longueurs caractéristiques d’influence
du champ dans le plasma. Deux modèles sont présentés : un modèle sans colli-
sion dit « basse pression » et son pendant « haute pression », dont la relation
caractéristique est la loi d’Ohm.
•La deuxième partie est consacrée à l’étude de l’émission ionique. Mélange de
mécanique et d’électromagnétisme, elle est plutôt calculatoire. On veut établir
la relation caractéristique courant-tension en fonction de l’épaisseur de la gaine
d’émission des ions.
•La troisième partie s’attache à construire la modélisation électrique d’un ré-
acteur capacitif à partir de considérations mécaniques, dans le but d’obtenir
l’impédance équivalente du système.
•La quatrième partie s’intéresse à l’optimisation du transfert de puissance entre
un générateur et un réacteur capacitif. Elle débute par de l’électrocinétique
pour établir des modèles de fonctionnement qui serviront à une étude d’asser-
vissement. La fin est ainsi axée sur le dimensionnement de correcteurs.
•L’étude de l’asservissement du système se poursuit dans la cinquième partie,
qui est l’occasion de calculs mécaniques pour définir les tenants de l’asservis-
sement électromécanique et dresser une sorte de bilan du dispositif, en termes
d’asservissement.
Ce problème est plutôt calculatoire et aisé au début, traitant d’électromagnétisme
et d’électrocinétique. Il se corse à l’attaque des parties traitant du programme d’au-
tomatique. Les calculs de mécanique du solide (questions 53 à 58) ne sont pas trop
compliqués.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/24
Indications
I. Interactions champs −gaz ionisé
2 Éliminer deux dépendances spatiales puis appliquer le théorème d’Ampère.
3 Deux équations proviennent des équations de Maxwell et la dernière est l’équation
du mouvement.
4 Existe-t-il des distributions surfaciques de charges et de courants dans le plasma ?
6 Le champ −→ Epeut-il diverger ?
11 Le champ −→ Bpeut-il diverger ? Utiliser j=(1 + j)/√22.
II. Émission ionique
15 L’énergie mécanique d’un ion se conserve (il n’y a pas de collision dans cette
partie).
16 Retrouver l’équation de Poisson en combinant l’équation de Maxwell-Gauss et la
relation −→ E = −−−→ grad φ.
17 Multiplier les deux membres de l’équation obtenue à la question 16 par φ′et
penser à −→ E = −−−→ grad φpour trouver la deuxième condition initiale.
20 La masse d’un ion 12 Cvaut M = 12 u.
21 Écrire l’équation de Poisson.
III. Modélisation d’un réacteur
32 Faire le rapport des impédances inductive et résistive.
IV. Optimisation du transfert de puissance
42 Linéariser la relation et utiliser le graphe pour déterminer la valeur du gain.
45 Faire en sorte que la phase reste entre πet −πet soit continue.
46 Choisir un gain de correcteur K0négatif. La marge de gain est la valeur du gain
pour une phase de −π. La marge de phase est l’écart entre πet la phase pour un
gain unité.
47 Utiliser le théorème de la valeur finale.
49 Choisir K1négatif.
V. Asservissement du système électromécanique
52 Essayer un modèle du premier ordre.
53 Le pas pvde la vis est tel que, pour une rotation de la vis de θ, on obtient une
translation de pvθ.
55 Projeter l’égalité −→ CB = −→ CA + −→ AB sur −→ y.
56 Dériver l’expression obtenue à la question 55.
57 Utiliser la relation établie à la question 55 pour éliminer tan β.
65 Repérer les sauts de phase sur le diagramme de Bode et déterminer lesquels sont
dus au correcteur. Une fonction du type 1 + τ p provoque un saut de phase de
π/2centré sur la pulsation 1/τ.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/24
I. Interaction champs −gaz ionisé
1Le vecteur axial −→ Ben un point Mest perpendiculaire au plan de symétrie (xMy)
de la distribution de courant −→ JS= J0(t)−→ ey. Le champ magnétique en Mest donc
dirigé selon −→ ez.
Citons le principe de Curie : « Lorsque certaines causes produisent certains
effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets
produits. »
2La source à l’origine du champ magnétique est invariante par translation selon
−→
eyet −→ ez, pourvu que soient parcourues des distances faibles devant les dimensions de
la plaque. Le champ magnétique ne dépend donc ni de y, ni de z.
C
x2 x1
ℓ
−→
B
−→
ez
−→
ex
−→
ey
−→
JS
Ceci permet d’appliquer le théorème d’Ampère au contour Cci-dessus, qui n’enlace
pas de courant :
I−→
B·d
−→
ℓ=ℓB(x1) + 0 + 0 −ℓB(x2) = 0
On a alors B(x1) = B(x2)pour x1et x2quelconques mais situés du même côté de la
plaque. Le champ magnétique est donc uniforme de chaque côté de la plaque, à des
distances faibles devant ses dimensions.
Il n’a cependant pas la même valeur de chaque côté ; on a en effet la relation
de passage, du côté 1au côté 2,B1−B2=µ0JS.
3De la même manière que pour la question 2, l’invariance par translation selon −→ ey
et −→ ezpermet d’affirmer que les grandeurs importantes ne dépendent que de xet de
t. Par ailleurs, les ions étant immobiles, on utilisera −→ (x, t) = −n e−→ v(x, t)dans les
égalités à venir. On a alors, en reprenant tout d’abord l’équation de Maxwell-Faraday,
∂E
∂x −→
ez=−∂B
∂t −→
ez(1)
Exprimons à présent −→ rot −→ Ben coordonnées cartésiennes :
−→
rot −→ B = −→ ∇ ∧ −→ B = 
∂/∂x
∂/∂y
∂/∂z
∧
0
0
B(x, t)
=−∂B
∂x −→
ey
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/24
L’équation de Maxwell-Ampère est alors écrite dans l’approximation des régimes
quasi-stationnaires comme le précise l’énoncé :
−∂B
∂x −→
ey=−µ0n e−→ v(2)
Exprimons l’équation du mouvement d’un électron sur lequel s’exercent les forces de
Coulomb et de Lorentz :
m∂−→
v
∂t =−e−→
E−e−→ v∧−→ B (3)
On a ici un champ de vitesse eulérien mais le terme d’accélération convec-
tive est nul. En effet, comme −→ v=v−→ ey,
−→
v·−−→ grad = v∂
∂y
En outre, vne dépend que de xet de t, d’où
(−→ v·−−→ grad )−→ v=−→ 0
Il ne faut pas chercher de cohérence dans ces équations car les direc-
tions de −→ Eet −→ Bont été artificiellement imposées. En effet, −→ vest selon −→ ey,
sa dérivée ∂−→ v /∂t aussi mais un terme en −→ exapparaît dans la troisième équa-
tion, terme qui sera négligé dans la suite du problème...
Les deux équations de Maxwell non utilisées, div −→ B = 0 et div −→ E = 0,
sont quant à elles bien vérifiées.
4Rien n’empêchant les électrons de passer la paroi fictive qui limite le plasma,
ils ne s’y accumulent pas, et il n’y a donc pas de courant surfacique ni de charges
surfaciques à l’interface plasma/vide. On a alors continuité de −→ Eet de −→ Bet en
particulier
−→
B (0, t) = B0(t)−→ ez
5La force d’origine magnétique sur les électrons est désormais négligée. Dérivons
d’abord l’équation (1)obtenue à la question 3 :
∂2E
∂x2=−∂2B ∂x ∂t =−∂2B ∂t ∂x =−∂ ∂t ∂B ∂x 
Combinons avec l’équation (2),∂2E
∂x2=−µ0n e ∂v ∂t
puis l’équation (3),∂2E
∂x2=µ0n e2 mE = n e2 m ε0c2E
En posant ωp=sn e2
m ε0
(pulsation de plasma), on a ∂2E
∂x2=ωp2 c2Eet dès lors
∂2E(x, t)
∂x2=1 λ2E(x, t)avec λ=c ωp
Le sujet utilise le terme « fréquence de plasma » mais on préférera parler de
« pulsation de plasma » pour ωp.
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