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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2004
Corrigé
Ce corrigé est proposé par Olivier Frantz (Professeur agrégé) ; il a été relu par
Benoît Lobry (Professeur en CPGE) et Jean-Julien Fleck (ENS Ulm).
Le sujet porte sur l’étude de réacteurs à plasma, qui sont utilisés dans les procédés de dépôt et de gravure qui servent à la fabrication des composants microélectroniques.
• La première partie porte sur l’interaction entre le champ électromagnétique et
le gaz ionisé. Le but est de calculer les longueurs caractéristiques d’influence
du champ dans le plasma. Deux modèles sont présentés : un modèle sans collision dit « basse pression » et son pendant « haute pression », dont la relation
caractéristique est la loi d’Ohm.
• La deuxième partie est consacrée à l’étude de l’émission ionique. Mélange de
mécanique et d’électromagnétisme, elle est plutôt calculatoire. On veut établir
la relation caractéristique courant-tension en fonction de l’épaisseur de la gaine
d’émission des ions.
• La troisième partie s’attache à construire la modélisation électrique d’un réacteur capacitif à partir de considérations mécaniques, dans le but d’obtenir
l’impédance équivalente du système.
• La quatrième partie s’intéresse à l’optimisation du transfert de puissance entre
un générateur et un réacteur capacitif. Elle débute par de l’électrocinétique
pour établir des modèles de fonctionnement qui serviront à une étude d’asservissement. La fin est ainsi axée sur le dimensionnement de correcteurs.
• L’étude de l’asservissement du système se poursuit dans la cinquième partie,
qui est l’occasion de calculs mécaniques pour définir les tenants de l’asservissement électromécanique et dresser une sorte de bilan du dispositif, en termes
d’asservissement.
Ce problème est plutôt calculatoire et aisé au début, traitant d’électromagnétisme
et d’électrocinétique. Il se corse à l’attaque des parties traitant du programme d’automatique. Les calculs de mécanique du solide (questions 53 à 58) ne sont pas trop
compliqués.
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Indications
I.
Interactions champs − gaz ionisé
2 Éliminer deux dépendances spatiales puis appliquer le théorème d’Ampère.
3 Deux équations proviennent des équations de Maxwell et la dernière est l’équation
du mouvement.
4 Existe-t-il des distributions surfaciques de charges et de courants dans le plasma ?
→
−
6 Le champ E peut-il diverger ?
√ 2
→
−
11 Le champ B peut-il diverger ? Utiliser j = (1 + j)/ 2 .
II.
Émission ionique
15 L’énergie mécanique d’un ion se conserve (il n’y a pas de collision dans cette
partie).
16 Retrouver l’équation de Poisson en combinant l’équation de Maxwell-Gauss et la
−−→
→
−
relation E = − grad φ.
17 Multiplier les deux membres de l’équation obtenue à la question 16 par φ′ et
−−→
→
−
penser à E = − grad φ pour trouver la deuxième condition initiale.
20 La masse d’un ion
12
C vaut M = 12 u.
21 Écrire l’équation de Poisson.
III.
Modélisation d’un réacteur
32 Faire le rapport des impédances inductive et résistive.
IV.
Optimisation du transfert de puissance
42 Linéariser la relation et utiliser le graphe pour déterminer la valeur du gain.
45 Faire en sorte que la phase reste entre π et −π et soit continue.
46 Choisir un gain de correcteur K0 négatif. La marge de gain est la valeur du gain
pour une phase de −π. La marge de phase est l’écart entre π et la phase pour un
gain unité.
47 Utiliser le théorème de la valeur finale.
49 Choisir K1 négatif.
V.
Asservissement du système électromécanique
52 Essayer un modèle du premier ordre.
53 Le pas pv de la vis est tel que, pour une rotation de la vis de θ, on obtient une
translation de pv θ.
−→ −→ −→
→
55 Projeter l’égalité CB = CA + AB sur −
y.
56 Dériver l’expression obtenue à la question 55.
57 Utiliser la relation établie à la question 55 pour éliminer tan β.
65 Repérer les sauts de phase sur le diagramme de Bode et déterminer lesquels sont
dus au correcteur. Une fonction du type 1 + τ p provoque un saut de phase de
π/2 centré sur la pulsation 1/τ .
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I.
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Interaction champs − gaz ionisé
→
−
1 Le vecteur axial B en un point M est perpendiculaire au plan de symétrie (xMy)
−
→
→
de la distribution de courant JS = J0 (t) −
ey . Le champ magnétique en M est donc
→
−
dirigé selon ez .
Citons le principe de Curie : « Lorsque certaines causes produisent certains
effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets
produits. »
2 La source à l’origine du champ magnétique est invariante par translation selon
→
−
→
ey et −
ez , pourvu que soient parcourues des distances faibles devant les dimensions de
la plaque. Le champ magnétique ne dépend donc ni de y, ni de z.
C
−
→
B
ℓ
−
→
JS
−
→
ez
−
→
ey
−
→
ex
x1
x2
Ceci permet d’appliquer le théorème d’Ampère au contour C ci-dessus, qui n’enlace
pas de courant :
I
→
→ −
−
B · d ℓ = ℓ B(x1 ) + 0 + 0 − ℓ B(x2 ) = 0
On a alors B(x1 ) = B(x2 ) pour x1 et x2 quelconques mais situés du même côté de la
plaque. Le champ magnétique est donc uniforme de chaque côté de la plaque, à des
distances faibles devant ses dimensions.
Il n’a cependant pas la même valeur de chaque côté ; on a en effet la relation
de passage, du côté 1 au côté 2, B1 − B2 = µ0 JS .
→
3 De la même manière que pour la question 2, l’invariance par translation selon −
ey
→
−
et ez permet d’affirmer que les grandeurs importantes ne dépendent que de x et de
→
→
t. Par ailleurs, les ions étant immobiles, on utilisera −
 (x, t) = −n e−
v (x, t) dans les
égalités à venir. On a alors, en reprenant tout d’abord l’équation de Maxwell-Faraday,
∂E −
∂B −
→
→
ez = −
ez
∂x
∂t
→
−→ −
Exprimons à présent rot B en coordonnées cartésiennes :

 

∂/∂x
0
→ −
→ −
→
∂B −
−→ −
→
rot B = ∇ ∧ B = ∂/∂y  ∧  0  = −
ey
∂x
∂/∂z
B(x, t)
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L’équation de Maxwell-Ampère est alors écrite dans l’approximation des régimes
quasi-stationnaires comme le précise l’énoncé :
−
∂B −
→
→
ey = −µ0 n e−
v
∂x
(2)
Exprimons l’équation du mouvement d’un électron sur lequel s’exercent les forces de
Coulomb et de Lorentz :
→
→
−
→
−
∂−
v
→
= −e E − e−
v ∧B
m
(3)
∂t
On a ici un champ de vitesse eulérien mais le terme d’accélération convec→
→
tive est nul. En effet, comme −
v = v−
ey ,
−
−
→
∂
→
−
v · grad = v
∂y
En outre, v ne dépend que de x et de t, d’où
−−→ → −
→
→
(−
v · grad )−
v = 0
Il ne faut pas chercher de cohérence dans ces équations car les direc→
−
→
−
→
→
tions de E et B ont été artificiellement imposées. En effet, −
v est selon −
ey ,
→
−
→
−
sa dérivée ∂ v /∂t aussi mais un terme en ex apparaît dans la troisième équation, terme qui sera négligé dans la suite du problème...
→
−
→
−
Les deux équations de Maxwell non utilisées, div B = 0 et div E = 0,
sont quant à elles bien vérifiées.
4 Rien n’empêchant les électrons de passer la paroi fictive qui limite le plasma,
ils ne s’y accumulent pas, et il n’y a donc pas de courant surfacique ni de charges
→
−
→
−
surfaciques à l’interface plasma/vide. On a alors continuité de E et de B et en
particulier
→
−
→
B (0, t) = B0 (t) −
ez
5 La force d’origine magnétique sur les électrons est désormais négligée. Dérivons
d’abord l’équation (1) obtenue à la question 3 :
∂2E
∂2B
∂2B
∂ ∂B
=
−
=
−
=
−
∂x2
∂x ∂t
∂t ∂x
∂t ∂x
∂2E
∂v
= −µ0 n e
∂x2
∂t
2
2
∂ E
µ0 n e
n e2
=
E=
E
2
∂x
m
m ε 0 c2
Combinons avec l’équation (2),
puis l’équation (3),
s
En posant ω p =
n e2
∂2E
ωp2
(pulsation de plasma), on a
=
E et dès lors
m ε0
∂x2
c2
∂ 2 E(x, t)
1
= 2 E(x, t)
∂x2
λ
avec
λ=
c
ωp
Le sujet utilise le terme « fréquence de plasma » mais on préférera parler de
« pulsation de plasma » pour ω p .
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