Exercice n°2

FACULTE DES SCIENCE DE TUNIS 2009/2010
DEPARTEMENT DE PHYSIQUE Série n°2
LFPH2
TRAVAUX DIRIGES DE MECANIQUE DES FLUIDES
Exercice n°1 :
On considère un récipient cylindrique de diamètre
D = 2R = 1m et de hauteur H = 2m, partiellement rempli
d’un liquide sur une hauteur h = 1,5 m. Le récipient est
mis en rotation uniforme autour de son axe vertical Oz à la
vitesse angulaire  rad.s-1. Le repère R (O, z, θ, r) est
lié au récipient.
1/ Ecrire l’équation de l’hydrostatique dans le repère R lié
au récipient tournant.
2/
a/ En résolvant l’équation de l’hydrostatique,
montrer que la surface libre du liquide est donnée, dans le
plan vertical, par l’équation suivante :
2
2
02r
g
zz
Où g= 10 m.s-2 est l’accélération de la pesanteur.
b/ Exprimer
)(
1Rrzz 
en fonction de h, R,  et g. En déduire l’expression de z0.
c/ Calculer numériquement z0 et z1.
d/ Représenter l’allure de la courbe z(r).
3/ a/ Quelle vitesse angulaire 0 peut-on atteindre sans que le liquide déborde du
récipient ?
b/ Calculer numériquement z0 et z1 dans ces conditions et conclure.
4/ A quelle vitesse angulaire 1 faut-il faire tourner le récipient pour que le centre O de son
fond soit découvert ? Calculer z1 et conclure.
5/ Lorsque la vitesse angulaire vaut 2 = 20 rad.s-1, calculer la surface découverte Sf du fond.
Exercice n°2
On considère l’écoulement bidimensionnel d’un fluide défini en coordonnées
Lagrangiennes par :
x =x0ekt
y =y0e-kt
Où k, x0 et y0 sont des constantes positives.
1. Déterminer l’équation de la trajectoire d’une particule fluide.
2. Trouver les composantes de la vitesse.
3. a) Le régime de l’écoulement est-il stationnaire ou instationnaire ?
3. b) L’écoulement est il compressible ou incompressible ?
4. déterminer le champ des vecteurs accélérations
a
.
5. Déterminer l’équation des lignes de courant.
H
h
z
O

Exercice n°3
On étudie deux écoulements plans stationnaires d’un fluide parfait, notés (E1) et (E2),
dont les champs de vitesse locale au point M(x, y, z) sont respectivement :
1
V
(
2
3xyvx
,
yxvy2 3
,
0
z
v
) et
2
V
(
yxvx2 3
,
2
3xyvy
,
0
z
v
)
1°) Déterminer l’équation cartésienne et la forme des lignes de courant du fluide pour chacun
des deux écoulements (E1) et (E2).
2°) Déterminer les équations paramétriques x(t) et y(t), pour l’écoulement (E1) de la
particule P du fluide de coordonnées ( x0, y0 ,0 ) à l’instant t = 0 et que l’on suit dans son
mouvement (description lagrangienne).
3°) Exprimer la vitesse instantanée
)(tvp
de la particule P et l’accélération
)(ta
de cette
particule dans l’écoulement (E2), à l’aide des constantes x0 et y0, à partir de la description
lagrangienne.
4°) Retrouver l’accélération a de la particule du fluide de l’écoulement (E2) en utilisant une
description eulérienne : on se place au point d’observation M fixe.
Exercice n°4
L’écoulement plan d’un fluide incompressible autour du point d’arrêt O obéit au
champ des vitesses
V
(vx = x, vy = y) dans le plan (x O y) où et sont deux
constantes réelles positives, indépendantes du temps et (x, y) sont les coordonnées
cartésiennes d’un point M.
1°) Déterminer le potentiel des vitesses
,xy
en M(x, y) à l’aide de la seule constante .
2°) Etablir les équations paramétriques x(t) et y(t) de la particule fluide qui était située en M0
(x0, y0) à l’instant t = 0.
3°) La fonction courant
),( yx
de l’écoulement plan est définie par
V
=
rot
(
z
U
).
a) Etablir les relations entre les dérivées partielles premières de φ et de .
b) Vérifier que le Laplacien de la fonction courant est nul.
c) Déterminer la fonction courant
),( yx
et tracer les lignes de courant après avoir
montré qu’elles se confondent avec les courbes
),( yx
= Cte.