LVH 16/17 Feuille n°12 : Ecoulements parfaits Spé PSI 1

LVH 16/17 Feuille n°12 : Ecoulements parfaits Spé PSI page
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1 Soit un canal horizontal à section rectangulaire, de côté L = 4,0 m,
parcouru par de l’eau de masse volumique µ. Le champ des vitesses est
supposé uniforme et stationnaire :   
 avec   . La hauteur
d’eau dans le canal est constante :   .
Un tube en verre coudé a sa partie horizontale insérée dans l’eau. On
note Δh=10 cm la hauteur d’eau dans le tube par rapport à la surface
libre du canal. A l’aide de la relation de Bernoulli, établir le lien entre
Δh,  et g, accélération de la pesanteur. En déduire le débit volumique
dans le canal. On prendra g = 10 m.s-2.
2 De l'eau (fluide parfait) circule dans un canal fermé (avec un couvercle non
représenté) dont la section se réduit brusquement. La figure est une coupe dans un
plan horizontal. On admet que le champ des vitesses est le même en A et en B. On
admet aussi que vC = vD.
1°) Le fluide étant incompressible, donner l'équation locale régissant l'écoulement.
2°) On a dessiné ci-contre les lignes de courants. En quel(s) point(s) la norme de la
vitesse est-elle maximale ? minimale ? pourquoi ?
3°) vA = vB = 2,0 m.s-1. Quelles sont les vitesses aux points C et D sachant que la
section de sortie est égale aux 2/3 de celle d'entrée ?
4°) En précisant le nom du théorème et toutes les hypothèses nécessaires données par l'énoncé ou semblant réalistes, déterminer la
pression en A et B (C et D étant à la pression atmosphérique).
5°) La vitesse en A est mesurée à l'aide d'un tube de Pitot, relié à un tube en U dans lequel se trouve un liquide de masse
volumique µ' = 1300 kg.m-3. Etablir la relation entre vA et la dénivelée
h
dans le tube en U.
3 On réalise la vidange d’un récipient à l’aide d’un petit orifice situé en bas. L’axe Oz est vertical ascendant. La section du
récipient suit une loi  
. Soit s la section de l’orifice.
1°) Donner les hypothèses qui vous semblent raisonnables pour mettre en équation le problème puis déterminer la durée 
nécessaire pour faire passer le niveau de la surface libre de z1 à z2 < z1.
2°) Quelle est la condition sur n pour que cette durée soit proportionnelle à z1 – z2 ?
4 DE et DS sont les débits volumiques entrant et sortant. On note h(t) la hauteur d’eau
dans la cuve, v sa vitesse de sortie.
1°) Dans le cas d’une hauteur de fluide constante, déterminer la relation entre v et h.
2°) Exprimer le débit sortant en fonction de h et s.
3°) Etablir une équation différentielle pour h(t) (avec DE) sous la forme
dh F(h)
dt   
4°) On suppose que pour un débit d’entrée constant DE0, la hauteur d’eau est h0,
constante et le débit de sortie Ds0, constant également. A la suite d’une petite
perturbation, le débit d’entrée devient DE(t) = DE0 +
E
Dt
. La hauteur d’eau devient alors h(t) = h0 +
ht
, et le débit de
sortie DS(t) = DS0 +
S
Dt
Avec une approximation, déterminer une équation
différentielle liant les petites variations
E
Dt
et
ht
.
5 Soit une turbine alimentée par un réservoir d’eau dont la surface libre est à une
altitude H au-dessus d’un lac. A la sortie de la turbine se trouve un « diffuseur » qui
renvoie l’eau dans le lac. La section d’entrée du diffuseur est S, sa section de sortie
S’, avec S’ >> S. On note D le débit massique.
1°) La turbine délivre une puissance mécanique P, avec un rendement   .
Exprimer P en fonction de D, g, H et .
2°) Quel est le rôle du diffuseur ?
6 Une soufflerie est schématisée par la figure ci-contre. L’écoulement de l’air est
incompressible, homogène et parfait. La pesanteur est négligée. Le diamètre de sortie est
DB = 0,15 m. L’air y possède une vitesse v0 = 20 m.s-1. La vitesse à l’entrée est considérée
négligeable. Au niveau de l’hélice, le diamètre est D = 0,40 m. L’air est de masse
volumique  = 1,3 kg.m-3.
1°) Différence de pression existant de part et d’autre de l’hélice (en fonction de v0 et )
2°) Calculer la puissance Pm à fournir à l’hélice pour qu’elle assure l’écoulement. A.N.
7 On dispose d’une pipette de section S0, avec un rétrécissement de section S1. L’axe Oz est
vertical ascendant.
1°) Justifier que la pression en haut de la pipette est quasi uniforme.
2°) Etablir l’équation permettant de trouver h1 (elle ne sera pas à résoudre) lorsque le doigt bouche le haut de la pipette.
section S
DE
cuve section s
DS
A
B D
C
K
L
J
Δ

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turbine
SB0
H
BC
SC
lac
P0z
On laisse maintenant s’écouler le liquide considéré comme idéal. Après
une phase de démarrage, très brève, on considère l’écoulement quasi-
stationnaire. On définit z comme étant la cote du niveau du liquide dans la
pipette.
3°) Justifier la relation de Bernoulli.
4°) Etablir l’équation différentielle en z vérifiée par le fluide, puis la
résoudre.
8 Un compresseur délivre de l’eau sous une pression de P1 = 129 bar à
une lance (section S1), qui se termine par une petite buse (section S2) où
la pression de sortie est P2 = 1,0 bar. Le débit volumique est de
Dv = 540 L.h-1. On suppose S2 << S1.
1°) Calculer la vitesse v2 à la sortie de la buse, et calculer S2.
2°) Le compresseur est relié en amont à un robinet sous Pr = 4,0 bar. La
section du robinet est Sr = 2,0 cm2. La section de la lance est S1 = 20 mm2. Calculer la vitesse du fluide vr dans le robinet, et v1
dans la lance.
3°) Calculer la puissance fournie par le moteur électrique pour comprimer le fluide. Calculer son rendement sachant qu’il
consomme une puissance électrique de Pelec = 2,5 kW.
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1. Expliciter vr dans la zone III en fonction de r, e, a et v0.
2. A la sortie du dispositif, la pression p(r = R) est égale à la pression ambiante P. Calculer la pression p(r) dans la zone III
(pour b < r < R).
3. Calculer les constantes A et B caractérisant la zone II en écrivant la conservation du débit. Expliciter A, B et b en fonction
de v0, z0, a et e.
4. Calculer la pression pour r < b au niveau du plan z = 0.
5. Calculer la force de pression exercée par le fluide sur la face z = 0 du disque D (0 < r < R), en fonction de P, R, µ, v0, a, e
et z0. En déduire la force totale subie par le disque en prenant en compte la pression ambiante P sur l’autre face.
6. On donne v0 = 10 m/s, a = 5,0 mm, e = 1,0 mm, z0 = 1,0 cm et R = 15 cm. Calculer numériquement l’intensité de la force
totale subie par le disque D et préciser le sens de cette force. Y a-t-il un paradoxe vu qu’on souffle sur le disque ?
10 On suppose que zC = zB. On note Dv le débit volumique dans la conduite.
1°) Exprimer PB en fonction de P0 , , g , H et vB puis en fonction de Dv, SB, P0 , , g , H.
2°) On note em l’énergie mécanique d’une unité de masse du fluide. Donner les 3 termes qui
composent em. Déterminer le travail fourni par kg de fluide à la turbine. Exprimer la
puissance reçue par la turbine.
P
P
P