Examen_Méca Flu_14_15

Licence de Physique
L3 Mécanique
L3 Physique et Applications
2014-15
Mécanique des fluides
Examen
Mardi 6 Janvier 2015
Durée: 3h. Sans documents. Calculettes autorisées.
Barème indicatif: I= 7, II= 7 et III= 6 points/20. Tous les résultats doivent être justifiés
par un raisonnement. Vérifiez les dimensions de tous vos résultats. Tout résultat
numérique devra être donné avec une unité.
N.B.: Lorsqu’il est demandé d’exprimer f en fonction de a et b il faut comprendre exprimer
f en fonction notamment de a et b. Autrement dit, selon les cas, d’autres grandeurs pourront
intervenir dans l’expression de f .
On donne: p0 = 105 Pa (pression atmosphérique), ρ = 103 kg/m3 (masse volumique de l’eau),
ρa ' ρ/800 (masse volumique de l’air), g = 9, 8 m/s2 (accélération de la pesanteur) et R = 8, 3
J/K (constante des gaz parfaits).
En coordonnées
cylindriques
on rappelle le gradient d’une fonction scalaire U :
→
−
∇U =
∂U 1 ∂U ∂U
,
,
.
∂r r ∂ϕ ∂z
I- Oscillations dans l’atmosphère
On s’intéresse aux perturbations générées par les écoulements ou le relief dans la basse atmosphère
terrestre (altitude inférieure à 10 km). Pour simplifier, on supposera que l’atmosphère est un gaz
parfait hydrostatique, isotherme de température T et de masse molaire M = 29 g. On néglige les
effets de la viscosité dans l’air. Pour décrire l’atmosphère on se place dans le référentiel terrestre
supposé galiléen muni d’un repère cartésien Oxyz où Oz est l’axe vertical orienté vers le haut de
l’atmosphère. Au niveau du sol (z = 0) la pression et la masse volumique sont notées pa et ρa
respectivement (à T = 300 K).
1) a) Rappeler la loi de l’hydrostatique des fluides. Montrer que la pression p ne dépend que de
z.
b) Soient deux altitudes z1 et z2 de pressions p1 et p2 : sachant que z2 > z1 , la pression p1
est-elle inférieure ou supérieure à p2 ? (on raisonnera simplement à partir de dp)
Dans l’atmosphère pression et masse volumique sont reliées par la relation p = ρ c2s où cs est la
vitesse du son qui est constante dans le cas isotherme. La masse volumique ρ dépend donc
de z.
2) En utilisant la loi des gaz parfaits, exprimer cs en fonction de R, T et M . Calculer alors cs
pour T = 300 K.
3) A partir de la loi hydrostatique, déterminer le profil vertical de pression p(z) en fonction de
pa et H = c2s /g. En déduire le profil de masse volumique ρ(z) en fonction de ρa et H. Quelle est
la signification de H ? Calculer H.
On s’intéresse à présent au comportement d’une particule de fluide de volume dτ = dx dy dz (voir
figure). A l’équilibre, l’altitude du centre de masse de la particule est z0 et sa masse dm = ρ0 dτ .
On notera ρ0 et p0 les pression et masse volumique de l’atmosphère en z = z0 .
4) Quelles sont les forces agissant sur la particule fluide dm ? Représentez les vecteurs correspondants sur un schéma.
Sans perturber l’équilibre de l’atmosphère ni la particule fluide (sa masse et son volume sont
donc conservés), on déplace la particule verticalement de z0 vers z0 + (voir figure) puis on la
lâche.
5) a) En raisonnant sur les forces expliquer qualitativement ce qui va se passer.
b) Exprimer la résultante des forces en fonction de ρ(z0 + ) − ρ0 . Dans la suite on supposera
que → 0 et que [ρ(z0 + ) − ρ0 ] → (dρ/dz)z0 = − ρ0 /H.
c) En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la particule fluide, écrire l’équation
différentielle donnant l’évolution de en fonction de t.
d) Définir alors la pulsation ω des oscillations de la particule. Calculer la fréquence associée ν.
II- Vidange d’un réservoir
On considère un réservoir cylindrique de diamètre D rempli d’un liquide jusqu’à une hauteur
maintenue constante h = 10 m. Ce réservoir comporte à sa base une ouverture de diamètre
d = 10 cm très petit devant D. On s’intéresse au régime permanent où le liquide s’écoule par
cette ouverture. On considérera que le liquide est un fluide incompressible et parfait dont la
masse volumique ρ est celle de l’eau. On supposera que la pression de l’air est constante, égale
à p0 .
Vidange d’un réservoir, libre (a) et guidée (b). Les traits fins représentent des morceaux de lignes de
courant en sortie du réservoir.
1) Enoncer le théorème de Bernoulli.
2) On s’intéresse tout d’abord au cas de la vidange libre où le liquide débouche directement dans l’air
(figure a) sous forme d’un jet.
a) Que peut-on dire des pressions pA et pB en A et B ?
b) Exprimer la vitesse du liquide vA au point A. Même question pour le point B.
c) En supposant que le jet de sortie est à symétrie cylindrique, on note r son rayon en B. Exprimer
alors 2r/d en fonction de L/h et tracer sa courbe.
3) On considère maintenant le cas où la vidange est guidée par l’intermédiaire d’un tube cylindrique de
diamètre d et de longueur L. A la sortie de ce tube le liquide débouche à l’air libre (figure b).
a) Exprimer p0A la nouvelle pression en A.
0
0
b) Exprimer alors vA
la vitesse en A ainsi que vB
la vitesse en B. Comparez-les à vA et vB obtenues
au 2): qu’en concluez-vous ? Quel est l’intérêt du tube de longueur L pour la vidange du réservoir ?
c) Pour L = 3 m et sachant que la viscosité du liquide est η = 1 Pa.s (cas d’une huile lourde), calculer
le nombre de Reynolds de l’écoulement au point B: commenter ce résultat.
d) Exprimer la longueur maximale possible du tube LM . Calculer LM .
4) Le tube cylindrique est remplacé par un tube convergent de section circulaire.
Le diamètre du tube
√
au point A est toujours d et celui au point B est maintenant α × d (α = 1/ 2).
a) Exprimer alors p00A la pression au point A.
b) En déduire la nouvelle longueur maximale LcM en fonction de LM , h et α. Calculer LcM . Quelle
conclusion peut-on en tirer ?
III- Ecoulement de Poiseuille
On considère l’écoulement permanent d’un fluide incompressible et visqueux dans un segment de conduite
cylindrique horizontale d’axe Oz, de rayon R et de grande longueur L. La conduite est maintenue fixe
et on néglige les effets de la pesanteur. On notera η le coefficient de viscosité dynamique du fluide. On
utilisera un système de coordonnées cylindriques (r, ϕ, z). L’écoulement est supposé laminaire et en vertu
−
−
de ses propriétés de symétries la vitesse en tout point M est donnée par: →
v (M ) = v(r) →
ez .
−
D→
v
1) a) Rappeler l’expression générale de la dérivée particulaire (ou lagrangienne)
. Que vaut cette
Dt
dérivée dans le cas de cet écoulement ?
→
−
−
b) En déduire que l’écoulement est régi par l’équation de Stokes ∇p = η ∆→
v . Que traduit alors cette
équation ?
c) Que vaut la vitesse de l’écoulement en r = R ?
2) On va maintenantdéterminer
v(r) grâce à l’équation de Stokes. Dans le cas de cet écoulement on a:
1
d
dv
−
−
→
−
∆→
v = ∆v →
ez =
r
ez .
r dr
dr
a) En projetant l’équation de Stokes, montrer que la pression p dans l’écoulement ne dépend que de
z. Lorsque z augmente, p augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
dp
Dans la suite on notera G la valeur absolue de
.
dz
b) A partir de la projection de l’équation de Stokes
suivant
Oz, montrer que G est une constante.
r2
En intégrant cette équation montrer que v(r) = v0 1 − 2 et donner l’expression de v0 .
R
c) Tracer la courbe de v(r). Comment définit-on la vitesse moyenne vm de l’écoulement ? Etablir la
relation entre vm et v0 puis exprimer v0 en fonction du débit volumique QV .
d) Etablir alors la relation entre G et QV et en déduire la loi de Poiseuille.
3) On s’intéresse maintenant aux forces qui s’exercent sur le fluide contenu à l’intérieur du volume D
(voir figure).
a) Rappeler l’expression de la force de viscosité sur une surface S en fonction du gradient de vitesse.
−
→
On note Fc la force visqueuse exercée par la conduite sur le fluide contenu dans le volume D (voir figure)
−
→
et Fp la force de pression résultante s’appliquant sur le fluide dans D.
−
→
−
→
b) Représenter Fc sur un schéma. Déduire de la question précédente l’expression de Fc en fonction
de G, R et L.
−
→
−
→
c) Exprimer Fp en fonction de G, R et L et comparez-la à Fc : quelle conclusion peut-on en tirer ?
Ce résultat dépend-il du rayon de D ?