IX-Gaz parfaits de fermions

57
IX - GAZ PARFAIT DE FERMIONS
Nous allons maintenant étudier des systèmes pour lesquels les effets de statistique
quantique jouent un rôle important. Le critère de non dégénérescence n’est donc pas
satisfait. En fait, le discriminant de dégénérescence semble un paramètre adapté à l’étude
des propriétés des systèmes physiques. Quand 0
3→
λ
n, toutes les grandeurs tendent
vers leurs équivalents classiques. Pour des valeurs de 3
λ
n petites mais non négligeables,
les quantités physiques peuvent être exprimées en puissances de ce paramètre. Quand
3
λ
n devient de l’ordre de l’unité (ceci est obtenu pour des basses températures et des
hautes densités), le comportement du système diffère de manière significative de celui d’un
système classique : son comportement est purement quantique ; le système est dit
statistiquement dégénéré. Dans ce cas, le comportement du système est aussi lié à la
statistique à laquelle obéissent les particules qui le composent : il diffère suivant que nous
ayons des fermions (particules de spin demi-entier en unités de !) ou des bosons (
particules de spin entier). 
Dans ce qui suit, nous allons étudier les systèmes de fermions dégénérés.
Nous avons vu précédemment que, pour un gaz de
N
fermions, dans un volume
V
,
à la température T:
()()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
=
−+=
∑
∑
−
ε
ε
εε
βε
βε
1exp
exp1
1
z
g
N
zLogg
kT
PV
où :
kT
1
=
β
et
()
βμ
exp=z,
μ
étant le potentiel chimique du système.
La fugacité
z
peut prendre toutes les valeurs entre zéro et l’infini. Sachant que les volumes
que nous considérons sont macroscopiques, les niveaux d’énergie sont très serrés ; nous
pouvons remplacer la sommation sur les niveaux d’énergie par une intégrale sur l’espace
des phases, en comptant un état par volume . Le nombre d’états d’impulsion comprise
entre et est :
3
h
pdpp+
()
3
2
4
h
dppgV
dppg
π
=
où
g
est un facteur de dégénérescence due au spin ( 2
=
g pour un spin ). 2/1=s
Pour un gaz de particules non relativistes, la relation entre l’énergie et l’impulsion est :
m
p
2
2
= ε
Le nombre d’états d’énergie entre
ε
et
ε
ε
d
+
est :
() () ()
εε
π
εε dm
h
Vg
dppgdg 2/1
2/3
32
2
==
En utilisant cette expression, nous avons
() ( )()
∫
∞
−+=
0
2/1
2/3
3exp12
2
εβεε
π
dzLogm
h
g
kT
P
et :

58
() ()
∫
∞
−+
=
01
2/1
2/3
31exp
2
2
βε
εεπ
z
d
m
h
g
V
N
Faisons le changement de variable : x
=
β
ε
On aura alors :
() ()()()
zf
g
dxxzLogxmkT
h
g
kT
P2/5
3
0
2/1
2/3
3exp12
2
λ
π
=−+= ∫
∞
() () ()
zf
g
xz
dxx
mkT
h
g
V
N2/3
3
01
2/1
2/3
31exp
2
2
λ
π
=
+
=∫
∞
−
où :
()
2/1
2mkT
h
π
λ
= est la longueur d’onde thermique moyenne et la fonction de
Fermi, telle que:
()
zfn
() () ()
1
1
0
1
exp 1
n
nxdx
f
znzx
∞−
−
=Γ
+
∫
() nΓ est la fonction Gamma d’Euler.
L’expression finale de kT
P a été obtenue après une intégration par parties. Les équations :
()
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
zf
g
V
N
zf
g
kT
P
2/3
3
2/5
3
λ
λ
sont nos résultats de base.
En éliminant la fugacité entre les équations de
zkT
P et de
N
, nous aurons l’équation
d’état du gaz idéal de Fermi.
L’énergie interne du système est donnée par :
()
zf
gV
kT
LogL
E2/5
3
2
3
λ
β
=
∂
∂
−=
Nous pouvons l’écrire sous la forme :
(
)
()
zf zf
NkTE 2/3
2/5
2
3
=
Cette expression nous conduit à :
EPV 3
2
=
relation que nous avons déjà montrée pour un gaz de particules non relativistes, obéissant à
la statistique de Maxwell-Boltzmann.
La capacité calorifique du gaz peut être obtenue en différentiant
E
par rapport à T, gardant
N
et
V
constants. En utilisant la propriété suivante des fonctions
(
)
zfn :
(
)()
zf
zzf
zn
n1−
=
∂
∂
nous en déduisons que :

59
(
)
()
3/2
1/2
,
3
2
NV
f
z
zz
TTf
∂=−
∂z
Ceci nous conduit à :
(
)
()
(
)
()
zf zf zf zf Nk
CV
2/1
2/3
2/3
2/5 4
9
4
15 −=
L’énergie libre de Helmoltz du gaz est :
(
)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−=−= zf zf
LogzNkTPVNA 2/3
2/5
μ
L’entropie est telle que :
(
)
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−=
−
=Logz
zf zf
Nk
TAE
S2/3
2/5
2
5
Pour déterminer les propriétés thermodynamiques du gaz en fonction de la densité
et de la température T, nous avons besoin de connaître la dépendance de VNn /=
z
en
fonction de et de T ; cette dépendance est formellement contenue dans la relation : n
()
zf
g
V
N2/3
3
λ
=
Une étude détaillée nécessite une tabulation des fonctions
(
)
zfn par le calcul numérique
mais la compréhension physique peut se suffire des formes limites de ces fonctions.
Lorsque la densité du gaz est faible et sa température élevée :
() ()
1
22/3
33
2/3 ≺≺
mkTg
nh
g
n
zf
π
λ
==
Ceci donne . Sachant que pour de faibles valeurs de 1≺≺z
z
, nous pouvons utiliser le
développement suivant des fonctions
(
)
zfn:
()
∑
∞
=
−+−==
1
32 ....
32
lnnn
l
nzz
z
l
z
zf
A l’ordre un, nous avons : ce qui donne :
()
zzfn≈
V
NkT
P= NkTE 2
3
= NkTCV
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=1
3
g
n
LogNkTA
λ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= g
n
LogNkS 3
2
5
λ
Ces relations sont celles d’un gaz parfait classique.
Si
z
est petit devant 1, mais non très petit , nous utiliserons les développements de
(
)
zfn
pour éliminer dans les relations de
z
P
et de
N
. Nous intervertissons d’abord la relation
de pour avoir le développement de
VN /
z
en fonction de g
n3
λ
puis nous substituons ce
développement dans la relation de kT
P ; nous avons alors le développement du
Viriel suivant :
()
∑
∞
=
−
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
1
1
3
1
1
l
l
l
lg
n
a
NkT
PV
λ

60
Les coefficients sont tels que :
l
a
...........
003.0
8
1
39
2
177.0
24
11
3
2
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
=
−
=
=
a
a
a
La chaleur spécifique du gaz est alors donnée par :
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=∑
∞
=
−
−...007.0088.01
2
3
1
235 2
31 2
3
3
1
1
3
1
,g
n
g
n
g
n
a
l
T
E
NkNk
C
l
l
l
l
VN
v
λλλ
Notons que la capacité calorifique du gaz est toujours plus faible que la valeur classique,
vers laquelle elle tend, à haute température.
Si la densité et la température du gaz sont telles que la paramètre g
n3
λ
est de l’ordre
de l’unité, les développements précédents ne peuvent pas être utilisés ; nous devons avoir
recours au calcul numérique. Mais dans le cas où 1
3
g
n
λ
, le gaz est dit dégénéré (au
sens statistique) ; nous pouvons utiliser le développement des fonctions en
puissances de
()
zfn
()
1
−
Logz . Dans la limite ∞→
g
n3
λ
, le gaz est dit complètement dégénéré ;
les fonctions prennent alors une forme simple.
()
zfn
Parce que ce cas est plus simple, nous allons commencer par l’étude du gaz parfait
de fermions dans un état de dégénérescence complète. Lorsque 0→
T
, ce qui entraîne
que ∞→
g
n3
λ
, les nombres moyens d’occupation
des niveaux d’énergie
()
p
ε
sont tels que :
()
(
)
()
⎩
⎨
⎧
>
<
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
= si 0
1
1exp
1
0
0
με
με
με
ε
p
psi
kT
p
n
où 0
μ
est le potentiel chimique du système à cette
température. Donc, à 0=
T
, tous les états
individuels d’énergie inférieure à 0
μ
sont occupés par une particule chacun, alors que les
états individuels d’énergie supérieure à 0
μ
sont vides . L’énergie 0
μ
est appelée énergie
de Fermi ; elle sera notée F
ε
. La valeur correspondante de l’impulsion de Fermi est
telle que : F
p
3
33
33
3
4F
p
h
gV
h
rpddgn
N
π
ε
== ∫∫
La surface de Fermi engendrant cette sphère est très utilisée en physique du solide.
En prenant , l’impulsion de Fermi s’écrit :
2=g
ε
n
1
ε
0
μ

61
(
)
3/1
2
3npF π =
Donc, dans le cas non relativiste, l’énergie de Fermi a pour expression :
(
)
m
n
F2
32
3/2
2
πε =
F
ε
Les valeurs de sont de quelques eV pour les électrons libres des métaux. Par exemple,
pour le Sodium : , , 1 électron de conduction par atome.
3
/97
molegM /23=cmg.0=
ρ
eV
F3≈
ε
On a : .
On en déduit que la température de Fermi, définie par :
k
TF
F
ε
=
vaut : .
KTF°≈ 4 10 5.3
Cette température est très élevée, comparée à la température ambiante
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛=110 8 3- ≺≺
F
T
T.
Les électrons de conduction ont une vitesse de Fermi telle que :
F
v
sm
m
kT
vF
F/10
26
≈= ,
qui est grande, comparée à celle des particules constituant les gaz classiques
()
.
Le principe de Pauli entraîne donc que les électrons de conduction ont de grandes vitesses,
même à température nulle.
sm/500
L’énergie du fondamental du système est telle que:
0
E
22
03
0
4
2
Fpg Vpdp
Emh
ε
π
=∫
elle a pour expression :
5
3
05
2F
p
mh
gV
E
π
=
L’énergie par particule est :
F
N
E
ε
5
3
0=
La pression dans l’état fondamental est :
F
n
V
E
P
ε
5
2
3
20
0==
En utilisant l’expression de F
ε
trouvée précédemment, nous voyons que la pression du
fondamental est proportionnelle à . Nous constatons que les fermions sont en
mouvement , même à la température
0
P
3/5
n0
=
T
. Ce mouvement dans l’état fondamental est dû
au principe de Pauli. Cette pression est énorme. Pour le gaz d’électrons libres dans le
sodium, on a :
()
atmPaOP 49 1010 =≈
Cette pression pourrait éjecter les électrons du métal si ce n’était l’attraction électrostatique
que les ions du réseau (ayant chacun perdu un électron) exercent sur eux.