IX-Gaz parfaits de fermions

57
IX - GAZ PARFAIT DE FERMIONS
Nous allons maintenant étudier des systèmes pour lesquels les effets de statistique
quantique jouent un rôle important. Le critère de non dégénérescence n’est donc pas
satisfait. En fait, le discriminant de dégénérescence semble un paramètre adapté à l’étude
nλ3 → 0 , toutes les grandeurs tendent
3
vers leurs équivalents classiques. Pour des valeurs de nλ petites mais non négligeables,
des propriétés des systèmes physiques. Quand
les quantités physiques peuvent être exprimées en puissances de ce paramètre. Quand
nλ3
devient de l’ordre de l’unité (ceci est obtenu pour des basses températures et des
hautes densités), le comportement du système diffère de manière significative de celui d’un
système classique : son comportement est purement quantique ; le système est dit
statistiquement dégénéré. Dans ce cas, le comportement du système est aussi lié à la
statistique à laquelle obéissent les particules qui le composent : il diffère suivant que nous
ayons des fermions (particules de spin demi-entier en unités de
!) ou des bosons (
particules de spin entier).
Dans ce qui suit, nous allons étudier les systèmes de fermions dégénérés.
Nous avons vu précédemment que, pour un gaz de
à la température T :
N
fermions, dans un volume
V,
⎧ PV
⎪ kT = ∑ g ε Log (1 + z exp(− βε ))
⎪
ε
⎨
gε
⎪N = ∑
−1
⎪⎩
ε z exp(βε ) + 1
où :
β=
1
kT
et
z = exp(βμ ) , μ étant le potentiel chimique du système.
La fugacité z peut prendre toutes les valeurs entre zéro et l’infini. Sachant que les volumes
que nous considérons sont macroscopiques, les niveaux d’énergie sont très serrés ; nous
pouvons remplacer la sommation sur les niveaux d’énergie par une intégrale sur l’espace
des phases, en comptant un état par volume
entre p et p + dp est :
h3 .
Le nombre d’états d’impulsion comprise
gV 4πp 2 dp
g ( p )dp =
h3
où g est un facteur de dégénérescence due au spin ( g = 2 pour un spin s = 1 / 2 ).
Pour un gaz de particules non relativistes, la relation entre l’énergie et l’impulsion est :
ε=
Le nombre d’états d’énergie entre
ε
et
ε + dε
g (ε )dε = g ( p )dp =
p2
2m
est :
g 2πV
h
3
(2m )3 / 2 ε 1 / 2 dε
En utilisant cette expression, nous avons
∞
P
g 2π
= 3 (2m )3 / 2 ∫ ε 1 / 2 Log (1 + z exp(− βε ))dε
kT
h
0
et :
58
∞
N g 2π
ε dε
= 3 (2m )3 / 2 ∫ −1
V
h
0 z exp (βε ) + 1
Faisons le changement de variable :
1/ 2
βε = x
On aura alors :
∞
P
g 2π
g
= 3 (2mkT )3 / 2 ∫ x1 / 2 Log (1 + z exp(− x ))dx = 3 f 5 / 2 (z )
kT
h
λ
0
∞
N g 2π
x1 / 2 dx
g
3/ 2
= 3 (2mkT ) ∫ −1
= 3 f 3 / 2 (z )
V
h
λ
0 z exp ( x ) + 1
où :
λ=
h
(2πmkT )1 / 2
est la longueur d’onde thermique moyenne
et f n (z ) la fonction de
Fermi, telle que:
f n (z ) =
∞
1
x n −1dx
Γ ( n ) 0∫ z −1 exp ( x ) + 1
Γ(n ) est la fonction Gamma d’Euler.
P
a été obtenue après une intégration par parties. Les équations :
L’expression finale de
kT
g
⎧P
f (z )
=
⎪⎪ kT λ3 5 / 2
⎨N
g
⎪ =
f (z )
⎪⎩ V λ3 3 / 2
sont nos résultats de base.
En éliminant la fugacité
z entre les équations de
P
et de N , nous aurons l’équation
kT
d’état du gaz idéal de Fermi.
L’énergie interne du système est donnée par :
E=−
∂LogL 3
gV
= kT 3 f 5 / 2 (z )
∂β
2
λ
Nous pouvons l’écrire sous la forme :
E=
f (z )
3
NkT 5 / 2
2
f 3 / 2 (z )
Cette expression nous conduit à :
PV =
2
E
3
relation que nous avons déjà montrée pour un gaz de particules non relativistes, obéissant à
la statistique de Maxwell-Boltzmann.
La capacité calorifique du gaz peut être obtenue en différentiant E par rapport à T , gardant
N et V constants. En utilisant la propriété suivante des fonctions f n (z ) :
z
nous en déduisons que :
∂f n (z )
= f n −1 ( z )
∂z
∂z
∂T
Ceci nous conduit à :
=−
N ,V
59
3 z f 3/ 2 (z )
2 T f 1/ 2 ( z )
CV 15 f 5 / 2 (z ) 9 f 3 / 2 (z )
=
−
Nk
4 f 3 / 2 ( z ) 4 f1 / 2 ( z )
L’énergie libre de Helmoltz du gaz est :
⎛
f (z ) ⎞
A = Nμ − PV = NkT ⎜⎜ Logz − 5 / 2 ⎟⎟
f 3 / 2 (z ) ⎠
⎝
L’entropie est telle que :
S=
⎞
⎛ 5 f (z )
E−A
= Nk ⎜⎜ 5 / 2 − Logz ⎟⎟
T
⎠
⎝ 2 f 3 / 2 (z )
Pour déterminer les propriétés thermodynamiques du gaz en fonction de la densité
n = N / V et de la température T , nous avons besoin de connaître la dépendance de z en
fonction de n et de T ; cette dépendance est formellement contenue dans la relation :
N
g
= 3 f 3 / 2 (z )
V λ
Une étude détaillée nécessite une tabulation des fonctions f n (z ) par le calcul numérique
mais la compréhension physique peut se suffire des formes limites de ces fonctions.
Lorsque la densité du gaz est faible et sa température élevée :
f 3 / 2 (z ) =
nλ3
nh 3
=
≺≺ 1
g
g (2πmkT )3 / 2
Ceci donne z ≺≺ 1 . Sachant que pour de faibles valeurs de
développement suivant des fonctions f n z :
( )
f n (z ) =
A l’ordre un, nous avons :
f n (z ) ≈ z
∞
∑
zl
n
l =1 l
=z−
z2
2n
+
z3
3n
z,
nous pouvons utiliser le
− ....
ce qui donne :
NkT
3
E = NkT CV = NkT
V
2
3
⎛
⎛5
⎛ nλ ⎞ ⎞
⎛ nλ3 ⎞ ⎞
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟⎟
−1
S = Nk − Log ⎜
A = NkT Log
⎜ g ⎟ ⎟
⎜ g ⎟⎟
⎜
⎜2
⎝
⎠ ⎠
⎝
⎠⎠
⎝
⎝
P=
Ces relations sont celles d’un gaz parfait classique.
Si z est petit devant 1, mais non très petit , nous utiliserons les développements de f n (z )
pour éliminer z dans les relations de P et de N . Nous intervertissons d’abord la relation
de N / V pour avoir le développement de
développement dans la relation de
z
en fonction de
nλ3
puis nous substituons ce
g
P
; nous avons alors le développement du
kT
Viriel suivant :
3
∞
PV
l −1 ⎛⎜ nλ ⎞⎟
= ∑ (− 1) a l
⎜ g ⎟
NkT l =1
⎝
⎠
l −1
60
Les coefficients a l sont tels que :
a1 = 1
−1
= 0.177
a2 =
4 2
1⎞
⎛ 2
− ⎟ = 0.003
a3 = ⎜
⎝9 3 8⎠
...........
La chaleur spécifique du gaz est alors donnée par :
⎛ 3⎞
Cv
1 ⎛ ∂E ⎞
3 ∞ 5 − 3l
=
= ∑
(− 1)l −1 al ⎜⎜ nλ ⎟⎟
⎜ ⎟
Nk Nk ⎝ ∂T ⎠ N ,V 2 l =1 2
⎝ g ⎠
l −1
2
⎡
⎤
⎛ nλ 3 ⎞
⎛ nλ3 ⎞
3⎢
⎜
⎟
⎜
⎟
= 1 − 0.088
+ 0.007
− ...⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎢
⎥
2
⎝ g ⎠
⎝ g ⎠
⎣
⎦
Notons que la capacité calorifique du gaz est toujours plus faible que la valeur classique,
vers laquelle elle tend, à haute température.
nλ3
Si la densité et la température du gaz sont telles que la paramètre
est de l’ordre
g
de l’unité, les développements précédents ne peuvent pas être utilisés ; nous devons avoir
recours au calcul numérique. Mais dans le cas où
nλ3
g
1 , le gaz est dit dégénéré (au
sens statistique) ; nous pouvons utiliser le développement des fonctions
puissances de (Logz )
−1
f n (z ) en
nλ3
. Dans la limite
→ ∞ , le gaz est dit complètement dégénéré ;
g
les fonctions f n (z ) prennent alors une forme simple.
Parce que ce cas est plus simple, nous allons commencer par l’étude du gaz parfait
de fermions dans un état de dégénérescence complète. Lorsque T → 0 , ce qui entraîne
nλ3
que
→ ∞ , les nombres moyens d’occupation
g
des niveaux d’énergie ε ( p ) sont tels que :
⎧1 si ε ( p ) < μ 0
1
nε =
=⎨
0 si ε ( p ) > μ 0
⎛ ε ( p) − μ ⎞
exp⎜
⎟ +1 ⎩
⎝ kT ⎠
où
μ0
nε
1
μ0
est le potentiel chimique du système à cette
ε
température. Donc, à T = 0 , tous les états
individuels d’énergie inférieure à μ 0 sont occupés par une particule chacun, alors que les
états individuels d’énergie supérieure à
de Fermi ; elle sera notée
telle que :
εF .
μ0
sont vides . L’énergie
μ0
est appelée énergie
La valeur correspondante de l’impulsion de Fermi p F est
∫∫ gnε d
N=
h
3
3
pd 3 r
=
4πgV
3h
3
p F3
La surface de Fermi engendrant cette sphère est très utilisée en physique du solide.
En prenant g = 2 , l’impulsion de Fermi s’écrit :
(
61
)
2 1/ 3
p F = 3π n
Donc, dans le cas non relativiste, l’énergie de Fermi a pour expression :
(
ε F = 3π 2 n
Les valeurs de
εF
pour le Sodium :
sont de quelques
)2 / 3 2m
2
eV pour les électrons libres des métaux. Par exemple,
M = 23g / mole , ρ = 0.97 g / cm 3 , 1 électron de conduction par atome.
On a : ε F ≈ 3eV .
On en déduit que la température de Fermi, définie par :
TF =
vaut : TF ≈ 3.5 10 ° K .
Cette température est
εF
k
4
très
élevée,
comparée
à
la
température
ambiante
⎛ T
⎞
⎜⎜
= 8 10 - 3 ≺≺ 1⎟⎟ .
⎝ TF
⎠
Les électrons de conduction ont une vitesse de Fermi v F telle que :
2kTF
≈ 10 6 m / s ,
m
vF =
qui est grande, comparée à celle des particules constituant les gaz classiques (500m / s ) .
Le principe de Pauli entraîne donc que les électrons de conduction ont de grandes vitesses,
même à température nulle.
L’énergie
E0 du fondamental du système est telle que:
E0 =
εF
∫
0
p 2 g 4π Vp 2 dp
2m
h3
elle a pour expression :
E0 =
2πgV
5mh
3
p F5
L’énergie par particule est :
E0 3
= εF
N 5
La pression dans l’état fondamental est :
P0 =
En utilisant l’expression de
εF
2 E0 2
= nε F
3V
5
trouvée précédemment, nous voyons que la pression P0 du
5/3
fondamental est proportionnelle à n
. Nous constatons que les fermions sont en
mouvement , même à la température T = 0 . Ce mouvement dans l’état fondamental est dû
au principe de Pauli. Cette pression est énorme. Pour le gaz d’électrons libres dans le
sodium, on a :
P (O ) ≈ 10 9 Pa = 10 4 atm
Cette pression pourrait éjecter les électrons du métal si ce n’était l’attraction électrostatique
que les ions du réseau (ayant chacun perdu un électron) exercent sur eux.
62
Pour étudier les grandeurs telles que l’entropie et la capacité calorifique, nous
devons considérer des températures basses, mais finies. Commençons par une étude
qualitative.
L’écart par rapport à la situation de température nulle ne sera sensible que pour des
énergies
ε
proches de
εF
( soit
(ε − μ ) proche de 1).
kT
Nous en concluons que l’échauffement des particules ne prend place que dans un intervalle
de largeur O(kT ) et localisé autour de ε = ε F . La fraction de particules excitées
⎛ kT ⎞
⎟⎟ , la majeure partie du système restant non influencée par
⎝ F⎠
thermiquement est donc O⎜⎜
ε
l’élévation de température. Le nombre de particules excitées thermiquement est :
N
kT
εF
Chaque
particule
excitée
thermiquement
transporte une énergie kT ; l’énergie thermique
du système de N particules est donc
nε
1
⎛ Nk 2T 2 ⎞
⎟ et la capacité calorifique est
O⎜
⎜ ε
⎟
F
⎝
⎠
⎛
kT ⎞
⎟ . On constate que la capacité
O ⎜⎜ Nk
ε F ⎟⎠
⎝
εF
calorifique des systèmes de fermions à basse
température diffère complètement de la valeur classique
ε
3
Nk ; elle est nettement plus
2
faible en valeur, et elle est proportionnelle à la température ; ceci est une propriété
caractéristique des systèmes de fermions à basse température.
Le tableau suivant donne les valeurs de nε pour des énergies proches du niveau de Fermi.
Valeurs de
nε
j = −4
j = −3
0.982
0.950
nε
pour
ε = ε F + jkT
j = −2
0.880
j=2
0.119
j=3
j=4
0.047
0.018
Pour une étude analytique du gaz de Fermi aux basses températures, nous
utiliserons le développement des fonctions f n ( z ) en fonction de (Log ( z ))
−1
, sachant que
z est grand et donc Log ( z ) aussi ; (Log ( z ))−1 est petit ; nous avons, en particulier ,
jusqu’au second ordre:
f 5 / 2 (z ) =
8
15π 1 / 2
f 3 / 2 (z ) =
(Log (z ))
⎤
5π 2
(Log (z ))− 2 + ...⎥
⎢1 +
8
⎢⎣
⎥⎦
⎡
⎤
π
3/ 2
+
(
Log
(
z
)
)
1
(Log (z ))− 2 + ...⎥
⎢
1/ 2
4
3π
5/ 2⎡
⎢⎣
2
8
⎥⎦
63
f1 / 2 ( z ) =
⎤
⎣⎢
24
⎦⎥
(Log (z ))1 / 2 ⎢1 − π (Log (z ))− 2 + ...⎥
1/ 2
2
π
⎡
2
Nous avons ainsi:
3/ 2
⎤
N 4πg ⎛ 2m ⎞
π2
3/ 2 ⎡
(Log (z ))− 2 + .....⎥
=
⎜ 2 ⎟ (kTLog ( z )) ⎢1 +
V
3 ⎝h ⎠
8
⎢⎣
⎥⎦
Cette équation en μ sera résolue par approximations successives. Dans l’approximation
d’ordre zéro, elle donne :
⎛ 3N
kTLog ( z ) = μ ≈ ⎜⎜
⎝ 4πgV
Ce résultat est celui obtenu à la température
avons :
⎞
⎟⎟
⎠
2/3
T = 0.
h2
= εF
2m
Dans l’approximation suivante, nous
⎡ π 2 ⎛ kT
⎜⎜
kTLog (z ) = μ ≈ ε F ⎢1 −
⎢⎣ 12 ⎝ ε F
⎞
⎟⎟
⎠
2⎤
⎥
⎥⎦
La relation qui donne l’énergie par particule est :
⎡ π2
⎤
E 3
(Log (z ))− 2 + ...⎥
= kTLog ( z )⎢1 +
N 5
2
⎣⎢
⎦⎥
En utilisant l’expression précédente du potentiel chimique
E 3 ⎡ 5π 2 ⎛ kT
⎜
= ε F ⎢1 +
12 ⎜⎝ ε F
N 5 ⎢
⎣
μ , nous obtenons :
2
⎤
⎞
⎟⎟ + ...⎥
⎥⎦
⎠
La pression du gaz est :
⎡ 5π 2 ⎛ kT
2E 2
⎜
P=
= nε F ⎢1 +
3V 5
12 ⎜⎝ ε F
⎢
⎣
2
⎤
⎞
⎟⎟ + ...⎥
⎥
⎠
⎦
Les termes principaux de l’énergie par particule et de la pression P sont identiques à ceux
obtenus pour T = 0 : on est à très basse température. Le terme suivant mesure l’écart par
rapport à la situation de température nulle. Connaissant l’expression de l’énergie E du
système, nous pouvons déterminer la capacité calorifique à basse température du gaz :
CV π 2 kT
=
+ ...
Nk
2 εF
On a ainsi :
CV π 2 T
=
+ ...
2 TF
Nk
Nous retrouvons le résultat qualitatif que
CV
est proportionnel à la température. Cette
relation est bonne pour T ≺≺ TF . Nous avons ainsi une température de comparaison qui
nous permet de savoir quand un système de fermions est statistiquement dégénéré : c’est
lorsque sa température est inférieure à la température de Fermi .
L’énergie libre de Helmoltz prend la forme suivante :
A
PV 3 ⎡ 5π 2 ⎛ kT
⎜
=μ−
= ε F ⎢1 −
N
N
5 ⎢
12 ⎜⎝ ε F
⎣
2
⎤
⎞
⎟⎟ + ...⎥
⎥
⎠
⎦
64
L’entropie est donnée par la relation :
S
E + PV μ π 2 kT
=
−
=
+ ...
Nk
NkT
kT
2 εF
Nous constatons que l’entropie tend vers zéro quand la température tend vers zéro, en
accord avec le troisième principe de la thermodynamique.
INTEGRALES DE FERMI-DIRAC
Dans l’étude des systèmes de fermions, nous rencontrons des intégrales du type :
∞
où Γ
Pour
1
x n −1dx
f n (z ) =
Γ(n ) 0∫ z −1 exp( x ) + 1
0≤ z≤∞
avec
(n ) est la fonction Gamma d’Euler.
z
petit, cette fonction peut être développée en puissances de
∞
zl
l =1
ln
f n ( z ) = ∑ (− 1)l −1
On voit que, pour z ≺≺ 1 ,
Les fonctions
f n−1 ( z )
et
=z−
z2
2n
+
z3
3n
z
:
+ ...
n , se comporte comme z .
f n (z )
f n ( z ) sont reliées par la relation de récurrence :
, pour tout
f n −1 ( z ) = z
∂
f n (z )
∂z
Pour étudier le comportement des intégrales de Fermi-Dirac pour de grandes valeurs de
est judicieux d’introduire la variable : ξ = log z
On a alors :
z , il
∞
1
x n −1dx
f n (ξ ) =
Γ(n ) ∫0 exp( x − ξ ) + 1
Pour de grandes valeurs de
ξ , l’intégrale est contrôlée par le facteur (exp(x − ξ ) + 1)−1 .La
séparation entre les valeurs limites 0 (pour x → ∞ ) et 1 (pour x → 0 ) se fait au voisinage
de x = ξ . La largeur de cette région est nettement plus petite que le domaine d’intégration.
Dans la plus basse approximation, nous avons :
f n (ξ ) =
A des ordres d’approximation plus élevés, f n
f n (ξ ) =
ξn
Γ(n + 1)
(ξ ) s’écrit sous la forme :
⎡
⎤
π2 1
7π 4 1
n
(
n
)
n
(
n
)(
n
)(
n
)
+
−
+
−
1
−
2
−
3
+
...
1
1
⎢
⎥
Γ(n + 1) ⎢⎣
6 ξ2
360 ξ 4
⎥⎦
ξn
On peut aussi montrer que :
ξ
∞
7π 4 ⎛⎜ d 3ϕ ⎞⎟
31π 6 ⎛⎜ d 5ϕ ⎞⎟
ϕ ( x )dx
π 2 ⎛ dϕ ⎞
∫ exp(x − ξ ) + 1 = ∫ ϕ (x )dx + 6 ⎜⎝ dx ⎟⎠ + 360 ⎜ dx 3 ⎟ + 15120 ⎜ dx 5 ⎟ + ...
x =ξ
⎝
⎠ x =ξ
⎝
⎠ x =ξ
0
0
où ϕ ( x ) est une bonne fonction, au sens mathématique . On remarque que les coefficients
du développement sont tous proches de 2.