Gaz parfaits de bosons

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XII - GAZ PARFAIT DE BOSONS
A- particules matérielles
Dans ce qui suit, nous allons étudier les systèmes de bosons dégénérés (satisfaisant
à la statistique de Bose-Einstein) formés de particules matérielles de masse m , non
relativistes. Nous supposerons que ces particules ont un spin nul.
Nous avons obtenu précédemment les relations suivantes pour un gaz idéal de
bosons de spin nul:
PV
= LogL = - ∑ g i Log (1 − z exp(− βε i ))
kT
i
N = ∑ ni = ∑ g i
i
i
1
z −1 exp(βε i ) − 1
où z = exp(βμ ) est la fugacité du gaz. Nous constatons que la fugacité z est comprise
entre zéro et 1 (autrement certains nombres d’occupation seraient négatifs).
Nous considérons des volumes V macroscopiques. Les niveaux sont très serrés ; on
3
peut remplacer la sommation par une intégration, en prenant un état par volume h de
l’espace des phases permis. Le nombre d’états d’impulsion comprise entre p et p + dp
est :
g ( p )dp =
V 4πp 2 dp
h3
Sachant que les particules sont non relativistes, leur énergie cinétique est :
p2
ε=
2m
Le nombre d’états d’énergie comprise entre
ε
g (ε )dε = g ( p )dp =
et
ε + dε
2πV
h
3
est :
(2m )3 / 2 ε 1 / 2 dε
Quand nous utilisons cette expression, nous attribuons un poids statistique zéro à l’énergie
ε = 0 du niveau fondamental. Ceci n’est pas acceptable car nous devons avoir un poids
statistique 1 pour tout état non dégénéré du système. Il est donc judicieux de traiter ce terme
séparément dans l’intégration et d’écrire :
∞
P
2π
1
= − 3 (2m )3 / 2 ∫ ε 1 / 2 Log (1 − z exp(− βε ))dε − Log (1 − z )
kT
V
h
0
et :
∞
N 2π
1 z
ε 1 / 2 dε
3/ 2
= 3 (2m ) ∫ −1
+
V h
V 1− z
0 z exp(βε ) − 1
Pour z ≺≺ 1 , ce qui correspond à la limite classique, chacun des deux derniers
termes de ces équations est de l’ordre de
z
et est donc négligeable. Quand z augmente
V
et prend une valeur proche de l’unité, le terme
N
1 z
= 0
V 1− z V
devient une fraction significative de
N
; par contre, le terme :
V
75
1
1
Log (1 − z ) = − Log ( N 0 + 1)
V
V
reste négligeable.
Faisons le changement de variable :
βε = x
On aura alors :
∞
P
2π
1
= − 3 (2mkT )3 / 2 ∫ x1 / 2 Log (1 − z exp(− x ))dx = 3 g 5 / 2 ( z )
kT
h
λ
0
∞
N − N 0 2π
1
x1 / 2 dx
3/ 2
= 3 (2mkT ) ∫ −1
= 3 g 3 / 2 (z )
V
h
0 z exp( x ) − 1 λ
où :
λ=
h
est la longueur d’onde thermique moyenne . Introduisons les fonctions
(2πmkT )1 / 2
g n ( z ) définies par
:
∞
1
x n −1dx
g n (z ) =
Γ(n ) 0∫ z −1 exp( x ) − 1
Γ(n ) est la fonction Gamma d’Euler.
P
a été obtenue après une intégration par parties. Les équations :
L’expression finale de
kT
1
⎧ P
=
g 5 / 2 (z )
⎪⎪ kT
λ3
⎨N − N
1
0
⎪
= 3 g 3 / 2 (z )
⎪⎩ V
λ
où
sont nos résultats de base.
L’énergie interne du système est donnée par :
U =−
V
∂LogL 3
= kT 3 g 5 / 2 ( z )
∂β
2 λ
Cette expression nous conduit à :
2
PV = U
3
relation que nous avons déjà démontrée et qui est valable quelle que soit la statistique .
Pour de faibles valeurs de z z << 1 , nous pouvons utiliser le développement limité suivant :
∞
g n (z ) = ∑
zl
l =1 l
n
= z+
Dans le même temps, nous pouvons négliger
les relations de
Les coefficients
P
al
et de
N
z2
2n
N0
+
z3
3n
devant
+ ....
N.
conduit au développement du Viriel :
sont tels que :
( )l −1
∞
PV
= ∑ al nλ3
NkT l =1
Une élimination de
z dans
76
⎧
⎪
a1 = 1
⎪
1
⎪
= −0.177
⎨ a2 = −
4
2
⎪
1⎞
⎛ 2
⎪
⎪a3 = −⎜ 9 3 − 8 ⎟ = −0.003
⎝
⎠
⎩
La chaleur spécifique du gaz est alors donnée par l’expression:
( )l −1 = 32 ⎡⎢⎣1 + 0.088nλ3 + 0.007(nλ3 )2 + ...⎤⎥⎦
Cv 3 ∞ 5 − 3l
= ∑
al nλ3
Nk 2 l =1 2
Notons qu’à température finie élevée, la capacité calorifique du gaz est plus grande que la
valeur classique.
Quand la température est basse, nous devons utiliser les relations exactes de P et
de N − N 0 . La valeur précise de z peut être obtenue à partir de cette expression, qui peut
être réécrite sous la forme:
Ne
(
2πmkT )3 / 2
=V
g
h3
3/ 2
(z )
où N e est le nombre de particules dans les états excités.
La valeur maximale que peut prendre la fugacité
d’occupation :
n0 =
z
est 1 (autrement le nombre
g0
z −1 − 1
serait négatif) . Ceci implique que le potentiel chimique est négatif. Cela signifie que l’énergie
du système diminue lorsqu’on lui rajoute une particule. Bien que les particules soient sans
interaction, l’effet de symétrie de la fonction d’onde est équivalent à celui d’une interaction .
Les fermions semblent se repousser : un fermion dans un état fait que cet état est interdit
aux autres. Les bosons semblent s’attirer puisque l’énergie diminue quand on rajoute des
particules.
D’autre part, la fonction g 3 / 2 ( z ) est une fonction croissante de z ; sa valeur
maximale est :
g 3 / 2 (1) = 1 +
La fonction
ξ
1
23 / 2
+
1
33 / 2
+
1
43 / 2
+ ... = ξ (3 / 2 ) = 2,612
est la fonction Zéta de Riemann.
Par conséquent, pour des valeurs données de T et de
qui peuvent se placer dans les états excités est aussi limité :
Ne ≤ V
(2πmkT )3 / 2 ξ (3 / 2) = N
h3
V , le nombre de particules
e max
Tant que le nombre de particules N du gaz est inférieur à N e max , les particules sont
distribuées sur les états excités et le nombre de particules dans le fondamental est
microscopique donc négligeable devant N . Quand le nombre de particules N est supérieur
à N e max , les états excités vont recevoir N e max ; le reste des particules, soit
N − N e max sera placé dans le fondamental dont l’occupation est alors macroscopique. La
valeur de la fugacité z est dans ce cas :
N0
z=
≈1
N0 +1
Ce phénomène est la condensation de Bose-Einstein. Il a été découvert théoriquement en
1924 ; il a été réalisé expérimentalement en 1995.
L’apparition de cette condensation se fait à la condition que :
77
N ≥ VT 3 / 2
Pour un volume fixé
TC telle que :
V
(2πmk )
3/ 2
h3
et un nombre de particules
ξ (3 / 2)
N , elle se produit pour une température
h2 ⎡ N ⎤
T ≤ TC =
2πmk ⎢⎣Vξ (3 / 2 )⎥⎦
2/3
Application numérique : Calculer la température de condensation de Bose-Einstein
pour l’hélium liquide dont la masse volumique est
ρ = 0.14 g / cm 3 .
Pour T ≤ TC le système peut être vu comme un mélange de deux phases :
i)
⎛T
une phase gazeuse constituée de N e = N ⎜⎜
⎝ TC
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2
particules distribuées sur les
niveaux excités
ii)
⎡ ⎛T
une phase condensée consistant en N 0 = N ⎢1 − ⎜⎜
⎢ ⎝ TC
⎣
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2 ⎤
⎥ particules accumulées
⎥
⎦
dans le niveau fondamental.
La chaleur spécifique à volume constant du gaz peut être déterminée en utilisant la relation :
U=
3
PV . Pour T ≤ TC :
2
Cv 15 ⎛ 5 ⎞ V
= ξ⎜ ⎟
Nk 4 ⎝ 2 ⎠ Nλ3
qui est proportionnel à T
3/ 2
Pour T ≥ TC , nous avons :
. A la valeur T = TC , nous avons :
Cv 15 ξ (5 / 2 )
=
= 1.925
Nk 4 ξ (3 / 2 )
Cv
∂ ⎡ 3 g 5 / 2 (z )⎤
=
⎥
⎢ T
Nk ∂T ⎣ 2 g 3 / 2 ( z ) ⎦ N ,V
En utilisant les relations suivantes :
g 3 / 2 (z ) =
et :
z
Nh 3
V (2πmkT )3 / 2
∂
g n ( z ) = g n −1 ( z )
∂z
nous avons :
∂z
∂T
ce qui conduit à :
Dans la limite
=−
N ,V
3z g 3 / 2 ( z )
2T g1/ 2 ( z )
Cv 15 g 5 / 2 ( z ) 9 g 3 / 2 ( z )
=
−
Nk 4 g 3 / 2 ( z ) 4 g1 / 2 ( z )
z → 1 , la fonction g1 / 2 ( z ) diverge ; on a donc :
78
Cv
15 ξ (5 / 2)
→
= 1.925
4 ξ (3 / 2 )
Nk
La chaleur spécifique à volume constant est donc continue en T = Tc . Sa dérivée est
toutefois discontinue, la discontinuité valant :
CV/Nk
∂Cv
∂T
TC+
−
∂Cv
∂T
TC−
=−
Nk
27 Nk 2
ξ (3 / 2) = −3.665
TC
16πTC
1,5
0,0
0
1
2
T/TC
Capacité calorifique d'un gaz parfait de bosons
Pendant une cinquantaine d’années, on a pensé que la réalisation de la condensation
de Bose Einstein n’était pas possible. Mais en même temps, des progrès dans le
refroidissement d’atomes et dans l’obtention des basses températures sont régulièrement
enregistrés. En 1995, les physiciens ont pu réaliser pour la première fois une condensation
qui est assez proche de celle étudiée par Einstein sur des atomes de Rb . L’importance de
cette réalisation expérimentale a été reconnue rapidement par la communauté scientifique
internationale car le prix Nobel de physique a été attribué à ses réalisateurs en 2001.
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INTEGRALES DE BOSE EINSTEIN
Dans l’étude des systèmes parfaits de bosons, nous rencontrons des intégrales du type :
∞
1
x n −1dx
g n (z ) =
Γ(n ) 0∫ z −1 exp( x ) − 1
( )
avec
0 ≤ z ≤1
et où Γ n est la fonction gamma d’Euler.
Pour z petit devant 1, l’intégrant peut être développé en puissance de z :
∞
∞
∞ l
z
1
l
n −1
(
(
)
)
g n (z ) =
x
z
x
dx
exp
−
=
∑
∑
∫
n
Γ(n ) 0
l =1
l =1 l
On voit que pour
z ≺≺ 1
, pour toute valeur de
n , g n (z )
se comporte comme
z.
La
g n ( z ) est une fonction monotone croissante de z . Quand z prend sa valeur
maximale ( z = 1) , la fonction g n ( z ) devient égale à la fonction Zéta de Riemann ξ (n ) , qui
fonction
est sa valeur maximale :
g n (1) = ξ (n )
( )
(on remarque que pour n ≤ 1, la fonction ξ n diverge).
Les valeurs numériques de quelques fonctions Zéta sont les suivantes :
ξ (2 ) =
π2
ξ (8) =
π8
6
= 1.645
9450
ξ (3) = 1.202
ξ (4 ) =
π4
90
= 1.082
ξ (6 ) =
= 1.004
ξ (5) = 1.037 ξ (7 ) = 1.007
ξ (3 / 2) = 2.612
ξ (5 / 2) = 1.341 ξ (7 / 2) = 1.127
En différentiant, on obtient la relation suivante entre
g n −1 ( z ) = z
g n ( z ) et g n −1 ( z ) :
∂
g n (z )
∂z
π6
945
= 1.017