fct carré et inverse 08-09x

FONCTION CARRÉ ET FONCTION INVERSE
I.
FONCTION CARRÉ
1) Généralités
•
Soit f la fonction carré définie ……
•
La représentation graphique cf de la fonction carré est
une parabole de sommet l’origine du repère.
•
Pour tout réel x on a f (– x) = f (x) car ……
On dit que la fonction carré est paire.
(- x) ² = x ²
cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées:
•
y
9
Cf
variations : La fonction carré est ……
On retrouve la règle de rangement des carrés :
4
–
x
x
•
+
1
2
-x
extrémum : f admet un ……
0
1
x
x
Exercice 1 Compléter le plus précisément possible, à l’aide de la courbe ou du tableau de variation, dans chacun des
cas suivants : si x ∈ [ 2 ; 2,5 ] alors x ² ∈ ……
; si x ∈ [ – 3 ; – 1,5 [ alors x ² ∈ ……
si x ∈ [ – 2 ; 1,5 [ alors x ² ∈ ……
; si x ∈ [ – 1 ; 4 [ alors x ² ∈ ……
Justifier les deux premières réponses à l’aide du sens de variation de la fonction carré.
On admet que les fonctions x ⟼ a x 2 , où a est un réel non nul, sont elles aussi représentées par une parabole de sommet O.
y
y
Elles sont tournées vers le haut lorsque a > 0
et vers le bas lorsque a < 0
0
0
x
x
2) Équations et inéquations du second degré
Définition 1 On appelle polynôme du second degré une expression
qui peut s’écrire sous l’une de ces trois formes :
forme réduite : a x ² + b x + c
forme factorisée : a ( x – x1 ) ( x – x2 )
Un élève de seconde doit savoir passer :
• de la forme factorisée à la forme réduite
• de la forme canonique à la forme réduite
• de la forme canonique à la forme factorisée
forme canonique : a ( x – α ) ² + β
Exercice 2 Soit f (x) = – 2 ( x – 5 ) ( x + 3 ) , g (x) = – 3 ( x – 2 ) ² + 3 et h (x) = 2 x ² – 4 x + 1.
1) Déterminer la forme réduite de f (x) et de g (x) et la forme factorisée de g (x).
2) Vérifier que 2 ( x – 1 ) ² + 1 est la forme canonique de h (x).
3) Résoudre les équations f (x) = 0, g (x) = 0 et h (x) = 0.
4) Étudier le signe de f (x) , de g (x) et de h (x).
5) Résoudre les équations f (x) = 30 ; g (x) = 3 ; g (x) = – 9 ; h (x) = 1 et h (x) = – 1.
1/3
(1re expression de f(x) )
Exercice 3 Soit f (x) = (2 x + 1) (2 x + 5) + 3
(2e expression de f(x) )
1) Déterminer la forme réduite de f (x).
2) Vérifier que 4 ( x + 1,5) 2 – 1 est la forme canonique de f (x).
En déduire la forme factorisée de f (x).
(4e expression de f(x) )
(3e expression de f(x) )
3) En choisissant l’expression appropriée de f (x) parmi les 4 expressions précédentes, résoudre les équations suivantes :
1 f (x) = 0
2 f (x) = 3
3 f (x) = 8
4 f (x) = – 1
5 f (x) = 15.
Équations et inéquations x ² = k ; x ² £ k et x ² ≥ k , où x est l’inconnue et k un réel donné.
Pour résoudre graphiquement l’équation x ² = k (inconnue x) on lit ……
Pour résoudre graphiquement l’inéquation x ² £ k on lit ……
k>0
k=0
y
Cf
k
k<0
y
Cf
y
Cf
1
1
1
0
0
Ensemble des
solutions de
l’équation
x²=k
Ensemble des
solutions de
l’inéquation
x²£k
Ensemble des
solutions de
l’inéquation
x²≥k
1
0
x
1
x
k
S = ……
x ² = 0 équivaut à ……
S = ……
x ² £ k équivaut à ……
x
S = ……
S = ……
x ² = k équivaut à ……
1
S = ……
S = ……
x ² £ 0 équivaut à ……
S = ……
S = ……
S = ……
x ² ≥ k équivaut à ……
Résolution algébrique : Lorsque k > 0 on peut écrire k = ( …… ) ² .
•
L’équation x ² = k est successivement équivalente à : x ² – …… ² = 0 ; ……
•
L’inéquation x ² £ k est successivement équivalente à : x ² – k ² £ 0 ; ……
Exercice 4 Résoudre dans  les (in)équations suivantes en utilisant les résultats du tableau ci-dessus.
1 2x2–5=1
2 ( 3 x – 1) 2 = 5
3 4 – 5 ( x – 2) 2 = 7 4 2 ( x – 3) 2 – 3 = 0
5 16 – 5 ( 2 x + 1) 2 = 0
2 x 2 – 5 ≥ 1 ( 3 x – 1) 2 < 5
4 – 5 ( x – 2) 2 < 7 2 ( x – 3) 2 – 3 > 0
16 – 5 ( 2 x + 1) 2 > 0
2/3
II. FONCTION INVERSE
•
Soit g la fonction inverse définie ……
•
La représentation graphique cg de la fonction inverse est
une hyperbole de centre l’origine du repère.
y
Cg
Les axes de coordonnées sont les asymptotes de l’hyperbole.
1
Au voisinage de –  et de +  (« très loin » sur la gauche et
sur la droite du graphique) l’hyperbole est pratiquement
confondue avec l’axe abscisses sans jamais le couper car
0
1
x
……
Au voisinage de 0 l’hyperbole est pratiquement confondue avec
l’axe abscisses sans jamais le couper car ……
•
Pour tout réel x on a g (– x) = – g (x) car ……
On dit que la fonction carré est impaire.
cg est symétrique par rapport à l’origine du repère.
•
variations : La fonction inverse est ……
∗
On ne peut pas dire qu’elle est décroissante sur  car ……
x
–
+
On retrouve la règle de rangement des inverses :
1
x
On admet que les fonctions x ⟼ a x 2 , où a est un réel non nul, sont elles aussi représentées par une hyperbole de centre O.
y
y
et
Lorsque a > 0 elles ont pour allure
0
lorsque a < 0
x
0
x
Exercice 5 Compléter le plus précisément possible, à l’aide de la courbe ou du tableau de variation, le tableau ci-dessous :
x∈
[3;5]
[–4;–3[
]–5;2]
]–;1]
[ 1,5 ; +  [
] – ; 0,2 [
[–2;+[
] –  ; 2,5 ]
1
∈
x
x∈
1
∈
x
Justifier les deux premières réponses à l’aide du sens de variation de la fonction inverse.
Justifier algébriquement les deux dernières réponses.
3/3
FONCTION CARRÉ ET FONCTION INVERSE
I.
FONCTION CARRÉ
1) Généralités
y
9
Cf
•
Soit f la fonction carré définie sur  par f (x) = x
•
La représentation graphique cf de la fonction carré est
une parabole de sommet l’origine du repère.
•
Pour tout réel x on a f (– x) = f (x) car ( – x 2 ) = x 2
On dit que la fonction carré est paire.
2
-x²=x²
cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées:
•
variations : La fonction carré est décroissante sur ] –  ; 0] et
croissante sur [ 0 ; +  [
4
On retrouve la règle de rangement des carrés :
Des nombres négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs
carrés.
Des nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs
carrés.
x
x
•
2
–
+
+
+
1
0
-x
extrémum : f admet un minimum en 0 valant 0.
(un carré est toujours positif
0
1
x
x
Exercice 1 Compléter le plus précisément possible, à l’aide de la courbe ou du tableau de variation, dans chacun des
cas suivants : si x ∈ [ 2 ; 2,5 ] alors x ² ∈ [ 4 ; 6,25 ]
si x ∈ [ – 2 ; 1,5 [ alors x ² ∈ [ 0 ; 4 ]
; si x ∈ [ – 3 ; – 1,5 [ alors x ² ∈ ] 2,25 ; 9 ]
; si x ∈ [ – 1 ; 4 [ alors x ² ∈ [ 0 ; 16 [
Justifier les deux premières réponses à l’aide du sens de variation de la fonction carré.
On admet que les fonctions x ⟼ a x 2 , où a est un réel non nul, sont elles aussi représentées par une parabole de sommet O.
y
y
et vers le bas lorsque a < 0
Elles sont tournées vers le haut lorsque a > 0
0
0
x
x
2) Équations et inéquations du second degré
Définition 1 On appelle polynôme du second degré une expression
qui peut s’écrire sous l’une de ces trois formes :
forme réduite : a x ² + b x + c
forme factorisée : a ( x – x1 ) ( x – x2 )
Un élève de seconde doit savoir passer :
• de la forme factorisée à la forme réduite
• de la forme canonique à la forme réduite
• de la forme canonique à la forme factorisée
forme canonique : a ( x – α ) ² + β
Exercice 2 Soit f (x) = – 2 ( x – 5 ) ( x + 3 ) , g (x) = – 3 ( x – 2 ) ² + 3 et h (x) = 2 x ² – 4 x + 1.
1) Déterminer la forme réduite de f (x) et de g (x) et la forme factorisée de g (x).
2) Vérifier que 2 ( x – 1 ) ² + 1 est la forme canonique de h (x).
3) Résoudre les équations f (x) = 0, g (x) = 0 et h (x) = 0.
4) Étudier le signe de f (x) , de g (x) et de h (x).
5) Résoudre les équations f (x) = 30 ; g (x) = 3 ; g (x) = – 9 ; h (x) = 1 et h (x) = – 1.
1/3
(1re expression de f(x) )
Exercice 3 Soit f (x) = (2 x + 1) (2 x + 5) + 3
(2e expression de f(x) )
1) Déterminer la forme réduite de f (x).
2) Vérifier que 4 ( x + 1,5) 2 – 1 est la forme canonique de f (x).
En déduire la forme factorisée de f (x).
(4e expression de f(x) )
(3e expression de f(x) )
3) En choisissant l’expression appropriée de f (x) parmi les 4 expressions précédentes, résoudre les équations suivantes :
1 f (x) = 0
2 f (x) = 3
3 f (x) = 8
4 f (x) = – 1
5 f (x) = 15.
Équations et inéquations x ² = k ; x ² £ k et x ² ≥ k , où x est l’inconnue et k un réel donné.
Pour résoudre graphiquement l’équation x ² = k (inconnue x) on lit l’abscisse des points d’intersection de la parabole cf
d’équation y = x ² avec la droite d’équation y =k .
Pour résoudre graphiquement l’inéquation x ² £ k on lit l’abscisse des points de la parabole cf d’équation y = x ² dont
l’ordonnée est inférieure ou égale à k .
k>0
k=0
y
Cf
k
k<0
y
Cf
y
Cf
1
1
1
0
0
Ensemble des
solutions de
l’équation
x²=k
Ensemble des
solutions de
l’inéquation
x²£k
Ensemble des
solutions de
l’inéquation
x²≥k
1
0
x
[–
k; k
x
S= ∅
S= {0}
x ² £ 0 équivaut à x = 0
k
soit à – k £ x et x £
x
x ² = 0 équivaut à x = 0
]
x ² £ k équivaut à – k £ x £
1
k
S= ∅
S= {0}
S= {– k; k}
x ² = k équivaut à x = – k ou x = k
S=
1
k
x ² < 0 est impossible
S=
S= ]–;– k]∪[ k;+[
S= 
x ² ≥ 0 est toujours vrai
x ² ≥ k équivaut à x £ – k ou x ≥
k
x ² > 0 équivaut à x ² ≠ 0
Résolution algébrique : Lorsque k > 0 on peut écrire k = ( k ) ² .
•
L’équation x ² = k est successivement équivalente à : x ² – k ² = 0 ; ( x – k ) ( x + k ) = 0 ;
•
L’inéquation x ² £ k est successivement équivalente à : x ² – k ² £ 0 ; ( x – k ) ( x + k ) £ 0
x – k = 0 ou x + k = 0 ; x = k ou x = – k
x
–
– k
x – k
–
–
x+ k
–
0
+
(x– k)(x+ k)
+
0
–
k
0
+
+
+
0
+
Exercice 4 Résoudre dans  les (in)équations suivantes en utilisant les résultats du tableau ci-dessus.
1 2x2–5=1
2 ( 3 x – 1) 2 = 5
3 4 – 5 ( x – 2) 2 = 7 4 2 ( x – 3) 2 – 3 = 0
5 16 – 5 ( 2 x + 1) 2 = 0
2 x 2 – 5 ≥ 1 ( 3 x – 1) 2 < 5
4 – 5 ( x – 2) 2 < 7 2 ( x – 3) 2 – 3 > 0
16 – 5 ( 2 x + 1) 2 > 0
2/3
II. FONCTION INVERSE
•
•
y
Soit g la fonction inverse définie  * par g (x) = 1
x
La représentation graphique cg de la fonction inverse est
une hyperbole de centre l’origine du repère.
Cg
Les axes de coordonnées sont les asymptotes de l’hyperbole.
1
Au voisinage de –  et de +  (« très loin » sur la gauche et
sur la droite du graphique) l’hyperbole est pratiquement
confondue avec l’axe abscisses sans jamais le couper car
0
1
x
0 n’a pas d’inverse donc pas d’image par g.
Au voisinage de 0 l’hyperbole est pratiquement confondue avec
l’axe abscisses sans jamais le couper car 1 ne ‘s’annule
x
jamais.
•
1 =–1
–x
x
Pour tout réel x on a g (– x) = – g (x) car
On dit que la fonction carré est impaire.
cg est symétrique par rapport à l’origine du repère.
•
variations : La fonction inverse est décroissante sur les intervalles ] –  ; 0 [ et ] 0 ;  [.
∗
∗
On ne peut pas dire qu’elle est décroissante sur  car  = ] –  ; 0 [ ∪ ] 0 ;  [ n’est pas un intervalle
De plus on a – 2 < 2 mais 1 > 1 est faux (l’ordre n’est pas inversé)
–2 2
x
–
1
x
–
0
+
0
On retrouve la règle de rangement des inverses :
Des nombres non nuls et de même signe sont rangés dans
l’ordre contraire de leurs inverses.
+
0+
–
On admet que les fonctions x ⟼ a x 2 , où a est un réel non nul, sont elles aussi représentées par une hyperbole de centre O.
y
y
et
Lorsque a > 0 elles ont pour allure
0
lorsque a < 0
x
0
x
Exercice 5 Compléter le plus précisément possible, à l’aide de la courbe ou du tableau de variation, le tableau ci-dessous :
x∈
[3;5]
[–4;–3[
]–5;2]
]–;1]
1
∈
x
[ 0,2 ; 1/3 ]
] – 1/3 ; – 0,25 ]
] –  ; – 0,2 [ ∪ [ 0,5 ; +  [
]–;–0[∪[1;+[
x∈
] 0 ; 2/3 ]
[–5;0[
] –  ; – 0,5 [ ∪ [ 0 ; +  [
] –  ; – 0 [ ∪ [ 0,4 ; +  [
1
∈
x
[ 1,5 ; +  [
] – ; 0,2 [
[–2;+[
] –  ; 2,5 ]
Justifier les deux premières réponses à l’aide du sens de variation de la fonction inverse.
Justifier algébriquement les deux dernières réponses.
3/3