fct carré et inverse 08-09x

FONCTION CARRÉ ET FONCTION INVERSE
I. FONCTION CARRÉ
1) Généralités
• Soit f la fonction carré définie ……
• La représentation graphique c
f
de la fonction carré est
une parabole de sommet l’origine du repère.
• Pour tout réel x on a f (– x) = f (x) car ……
On dit que la fonction carré est paire.
c
f
est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées:
• variations : La fonction carré est ……
On retrouve la règle de rangement des carrés :
x –  + 
x
2
• extrémum : f admet un ……
Exercice 1 Compléter le plus précisément possible, à l’aide de la courbe ou du tableau de variation, dans chacun des
cas suivants :  si x ∈ [ 2 ; 2,5 ] alors x ² ∈ …… ;  si x ∈ [ – 3 ; – 1,5 [ alors x ² ∈ ……
 si x ∈ [ – 2 ; 1,5 [ alors x ² ∈ …… ;  si x ∈ [ – 1 ; 4 [ alors x ² ∈ ……
Justifier les deux premières réponses à l’aide du sens de variation de la fonction carré.
On admet que les fonctions x ⟼ a x
2
, où a est un réel non nul, sont elles aussi représentées par une parabole de sommet O.
Elles sont tournées vers le haut lorsque a > 0 et vers le bas lorsque a < 0
2) Équations et inéquations du second degré
Définition 1 On appelle polynôme du second degré une expression
qui peut s’écrire sous l’une de ces trois formes :
 forme réduite : a x ² + b x + c
 forme factorisée : a ( x – x
1
) ( x – x
2
)
 forme canonique : a ( x – α
αα
α ) ² + β
ββ
β
Un élève de seconde doit savoir passer :
• de la forme factorisée à la forme réduite
• de la forme canonique à la forme réduite
• de la forme canonique à la forme factorisée
Exercice 2 Soit f (x) = – 2 ( x – 5 ) ( x + 3 ) , g (x) = – 3 ( x – 2 ) ² + 3 et h (x) = 2 x ² – 4 x + 1.
1) Déterminer la forme réduite de f (x) et de g (x) et la forme factorisée de g (x).
2) Vérifier que 2 ( x – 1 ) ² + 1 est la forme canonique de h (x).
3) Résoudre les équations f (x) = 0, g (x) = 0 et h (x) = 0.
4) Étudier le signe de f (x) , de g (x) et de h (x).
5) Résoudre les équations f (x) = 30 ; g (x) = 3 ; g (x) = – 9 ; h (x) = 1 et h (x) = – 1.
1/3
C
f
(- x) ² = x ²
- x x
4
9
0 1
1
x
y
0x
y
0x
y

Exercice 3 Soit f (x) = (2 x + 1) (2 x + 5) + 3 (1
re
expression de f(x) )
1) Déterminer la forme réduite de f (x). (2
e
expression de f(x) )
2) Vérifier que 4 ( x + 1,5)
2
– 1 est la forme canonique de f (x). (3
e
expression de f(x) )
En déduire la forme factorisée de f (x). (4
e
expression de f(x) )
3) En choisissant l’expression appropriée de f (x) parmi les 4 expressions précédentes, résoudre les équations suivantes :
1 f (x) = 0 2 f (x) = 3 3 f (x) = 8 4 f (x) = – 1 5 f (x) = 15.
Équations et inéquations x ² = k ; x ² £ k et x ² ≥ k , où x est l’inconnue et k un réel donné.
Pour résoudre graphiquement l’équation x ² = k (inconnue x) on lit ……
Pour résoudre graphiquement l’inéquation x ² £ k on lit ……
k > 0 k = 0 k < 0
Ensemble des
solutions de
l’équation
x ² = k
S = ……
x ² = k équivaut à ……
S = ……
x ² = 0 équivaut à ……
S = ……
Ensemble des
solutions de
l’inéquation
x ² £ k
S = ……
x ² £ k équivaut à ……
S = ……
x ² £ 0 équivaut à ……
S = ……
Ensemble des
solutions de
l’inéquation
x ² ≥ k
S = ……
x ² ≥ k équivaut à ……
S = ……
S = ……
Résolution algébrique : Lorsque k > 0 on peut écrire k = ( …… ) ² .
• L’équation x ² = k est successivement équivalente à : x ² – …… ² = 0 ; ……
• L’inéquation x ² £ k est successivement équivalente à : x ² – k ² £ 0 ; ……
Exercice 4 Résoudre dans 
les (in)équations suivantes en utilisant les résultats du tableau ci-dessus.
1 2 x
2
– 5 = 1 2 ( 3 x – 1)
2
= 5 3 4 – 5 ( x – 2)
2
= 7 4 2 ( x – 3)
2
– 3 = 0 5 16 – 5 ( 2 x + 1)
2
= 0
 2 x
2
– 5 ≥ 1  ( 3 x – 1)
2
< 5  4 – 5 ( x – 2)
2
< 7  2 ( x – 3)
2
– 3 > 0  16 – 5 ( 2 x + 1)
2
> 0
2/3
C
CC
C
f
0 1
1
x
y
k
C
CC
C
f
0 1
1
x
y
C
CC
C
f
0 1
1
x
y
k

II. FONCTION INVERSE
•
Soit g la fonction inverse définie ……
• La représentation graphique c
g
de la fonction inverse est
une hyperbole de centre l’origine du repère.
Les axes de coordonnées sont les asymptotes de l’hyperbole.
Au voisinage de –  et de +  (« très loin » sur la gauche et
sur la droite du graphique) l’hyperbole est pratiquement
confondue avec l’axe abscisses sans jamais le couper car
……
Au voisinage de 0 l’hyperbole est pratiquement confondue avec
l’axe abscisses sans jamais le couper car ……
• Pour tout réel x on a g (– x) = – g (x) car ……
On dit que la fonction carré est impaire.
c
g
est symétrique par rapport à l’origine du repère.
• variations : La fonction inverse est ……
On ne peut pas dire qu’elle est décroissante sur 
∗
car ……
x –  +  On retrouve la règle de rangement des inverses :
1
x
On admet que les fonctions x ⟼ a x
2
, où a est un réel non nul, sont elles aussi représentées par une hyperbole de centre O.
Lorsque a > 0 elles ont pour allure
et
lorsque a < 0
Exercice 5 Compléter le plus précisément possible, à l’aide de la courbe ou du tableau de variation, le tableau ci-dessous :
x ∈
[ 3 ; 5 ] [ – 4 ; – 3 [ ] – 5 ; 2 ] ] –  ; 1 ]
1
x
∈
x ∈
1
x
∈
[ 1,5 ; +  [ ] – ; 0,2 [ [ – 2 ; +  [ ] –  ; 2,5 ]
Justifier les deux premières réponses à l’aide du sens de variation de la fonction inverse.
Justifier algébriquement les deux dernières réponses.
3/3
C
CC
C
g
0 1
1
x
y
0x
y
0x
y

FONCTION CARRÉ ET FONCTION INVERSE
I. FONCTION CARRÉ
1) Généralités
• Soit f la fonction carré définie sur   par f (x) = x
2
• La représentation graphique c
f
de la fonction carré est
une parabole de sommet l’origine du repère.
• Pour tout réel x on a f (– x) = f (x) car ( – x
2
) = x
2
On dit que la fonction carré est paire.
c
f
est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées:
• variations : La fonction carré est décroissante sur ] –   ; 0] et
croissante sur [ 0 ; +   [
On retrouve la règle de rangement des carrés :
Des nombres négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs
carrés.
Des nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs
carrés.
x –  + 
x
2
+   + 
0
• extrémum : f admet un minimum en 0 valant 0.
(un carré est toujours positif
Exercice 1 Compléter le plus précisément possible, à l’aide de la courbe ou du tableau de variation, dans chacun des
cas suivants :  si x ∈ [ 2 ; 2,5 ] alors x ² ∈ [ 4 ; 6,25 ] ;  si x ∈ [ – 3 ; – 1,5 [ alors x ² ∈ ] 2,25 ; 9 ]
 si x ∈ [ – 2 ; 1,5 [ alors x ² ∈ [ 0 ; 4 ] ;  si x ∈ [ – 1 ; 4 [ alors x ² ∈ [ 0 ; 16 [
Justifier les deux premières réponses à l’aide du sens de variation de la fonction carré.
On admet que les fonctions x ⟼ a x
2
, où a est un réel non nul, sont elles aussi représentées par une parabole de sommet O.
Elles sont tournées vers le haut lorsque a > 0 et vers le bas lorsque a < 0
2) Équations et inéquations du second degré
Définition 1 On appelle polynôme du second degré une expression
qui peut s’écrire sous l’une de ces trois formes :
 forme réduite : a x ² + b x + c
 forme factorisée : a ( x – x
1
) ( x – x
2
)
 forme canonique : a ( x – α
αα
α ) ² + β
ββ
β
Un élève de seconde doit savoir passer :
• de la forme factorisée à la forme réduite
• de la forme canonique à la forme réduite
• de la forme canonique à la forme factorisée
Exercice 2 Soit f (x) = – 2 ( x – 5 ) ( x + 3 ) , g (x) = – 3 ( x – 2 ) ² + 3 et h (x) = 2 x ² – 4 x + 1.
1) Déterminer la forme réduite de f (x) et de g (x) et la forme factorisée de g (x).
2) Vérifier que 2 ( x – 1 ) ² + 1 est la forme canonique de h (x).
3) Résoudre les équations f (x) = 0, g (x) = 0 et h (x) = 0.
4) Étudier le signe de f (x) , de g (x) et de h (x).
5) Résoudre les équations f (x) = 30 ; g (x) = 3 ; g (x) = – 9 ; h (x) = 1 et h (x) = – 1.
1/3
C
f
- x ² = x ²
- x x
4
9
0 1
1
x
y
0x
y
0x
y

Exercice 3 Soit f (x) = (2 x + 1) (2 x + 5) + 3 (1
re
expression de f(x) )
1) Déterminer la forme réduite de f (x). (2
e
expression de f(x) )
2) Vérifier que 4 ( x + 1,5)
2
– 1 est la forme canonique de f (x). (3
e
expression de f(x) )
En déduire la forme factorisée de f (x). (4
e
expression de f(x) )
3) En choisissant l’expression appropriée de f (x) parmi les 4 expressions précédentes, résoudre les équations suivantes :
1 f (x) = 0 2 f (x) = 3 3 f (x) = 8 4 f (x) = – 1 5 f (x) = 15.
Équations et inéquations x ² = k ; x ² £ k et x ² ≥ k , où x est l’inconnue et k un réel donné.
Pour résoudre graphiquement l’équation x ² = k (inconnue x) on lit l’abscisse des points d’intersection de la parabole c
cc
c
f
d’équation y = x ² avec la droite d’équation y =k .
Pour résoudre graphiquement l’inéquation x ² £ k on lit l’abscisse des points de la parabole c
cc
c
f
d’équation y = x ² dont
l’ordonnée est inférieure ou égale à k .
k > 0 k = 0 k < 0
Ensemble des
solutions de
l’équation
x ² = k
S = { – k ; k }
x ² = k équivaut à x = – k ou x = k
S = { 0 }
x ² = 0 équivaut à x = 0
S = ∅
∅∅
∅
Ensemble des
solutions de
l’inéquation
x ² £ k
S =
[ ]
–k ; k
x ² £ k équivaut à – k £ x £ k
soit à – k £ x et x £ k
S = { 0 }
x ² £ 0 équivaut à x = 0
x ² < 0 est impossible
S = ∅
∅∅
∅
Ensemble des
solutions de
l’inéquation
x ² ≥ k
S = ] –   ; – k ] ∪
∪∪
∪ [ k ; +   [
x ² ≥ k équivaut à x £ – k ou x ≥ k
S = 
x ² ≥ 0 est toujours vrai
x ² > 0 équivaut à x ² ≠ 0
S = 
Résolution algébrique : Lorsque k > 0 on peut écrire k = (k ) ² .
• L’équation x ² = k est successivement équivalente à : x ² – k ² = 0 ; ( x – k ) ( x + k ) = 0 ;
x – k = 0 ou x + k = 0 ; x = k ou x = – k
• L’inéquation x ² £ k est successivement équivalente à : x ² – k ² £ 0 ; ( x – k ) ( x + k ) £ 0
x – 
 – k k + 
x – k – – 0 +
x + k – 0 + +
( x – k ) ( x + k ) + 0 – 0 +
Exercice 4 Résoudre dans 
les (in)équations suivantes en utilisant les résultats du tableau ci-dessus.
1 2 x
2
– 5 = 1 2 ( 3 x – 1)
2
= 5 3 4 – 5 ( x – 2)
2
= 7 4 2 ( x – 3)
2
– 3 = 0 5 16 – 5 ( 2 x + 1)
2
= 0
 2 x
2
– 5 ≥ 1  ( 3 x – 1)
2
< 5  4 – 5 ( x – 2)
2
< 7  2 ( x – 3)
2
– 3 > 0  16 – 5 ( 2 x + 1)
2
> 0
2/3
C
CC
C
f
0 1
1
x
y
k
C
CC
C
f
0 1
1
x
y
C
CC
C
f
0 1
1
x
y
k