Systèmes d`équations (cours 3ème) - Epsilon 2000

3
ème
Chapitre 15 – Systèmes d'équations
Sylvain DUCHET - http://epsilon.2000.free.fr 1 / 3
SYSTEMES D'EQUATIONS
1) Résolution d'un système de deux équations à deux inconnues
Définition
Un système de deux équations à deux inconnues est constitué de deux égalités contenant chacune deux
inconnues, souvent notées x et y. Une solution d'un système est donc constituée de deux nombres (une
valeur pour x et une valeur pour y), tels que les égalités soient vérifiées.
Exemple
Résoudre le système suivant :
3 2 4
2 5
x y
x y
+ =
− + = −
C'est un système de deux équations à deux inconnues : x et y.
Résolution par substitution :
Elle consiste à isoler une inconnue à l'aide d'une des deux équations. par exemple, en utilisant la 2
ème
équation, on a :
2 5
y x
= −
.
On remplace alors y par
2 5
x
−
dans la 1
ère
équation :
3 2(2 5) 4
3 4 10 4
7 10 4
7 4 10
7 14
14
7
2
x x
x x
x
x
x
x
x
+ − =
+ − =
− =
= +
=
=
=
On remplace x par 2 dans la 1
ère
équation :
3 2 2 4
6 2 4
2 2
2
2
1
y
y
y
y
y
× + =
+ =
= −
−
=
= −
Vérification :
3 2 2 ( 1) 6 2 4
× + × − = − =
2 2 ( 1) 4 1 5
− × + − = − − = −
Conclusion : le couple
(2; 1)
−
est la seule solution du système.

3
ème
Chapitre 15 – Systèmes d'équations
Sylvain DUCHET - http://epsilon.2000.free.fr 2 / 3
Résolution par combinaison :
Elle consiste à faire apparaître le même nombre de x (ou de y) dans les deux équations. Ici, on peut par
exemple multiplier la 2
ème
équation par 2 :
3 2 4
2 5 ( 2)
x y
x y
+ =
− + = − ×
 devient 3 2 4
4 2 10
x y
x y
+ =
− + = −
On soustrait membre à membre les deux égalités pour faire "disparaître" les y :
(3 2 ) ( 4 2 ) 4 ( 10)
3 2 4 2 14
7 14
14
7
2
x y x y
x y x y
x
x
x
+ − − + = − −
+ + − =
=
=
=
On remplace x par 2 dans la 1
ère
équation et on conclut de la même manière que l'autre méthode.
Interprétation graphique :
3 2 4
x y
+ =
s'écrit aussi
3
2
2
y x
= − +
. sous cette forme, on reconnaît l'équation d'une droite
1
( )
d
,
représentation graphique de la fonction affine 3
: 2
2
f x x
− +
֏. De même,
2 5
x y
− + = −
s'écrit aussi
2 5
y x
= −
, qui est l'équation de la droite
2
( )
d
, représentation graphique de la fonction affine
: 2 5
g x x
−
֏
.
1
( )
d
passe par les points de coordonnées
(0; 2)
et
( 2;5)
−
.
2
( )
d
passe par les points de coordonnées
(0; 5)
−
et
(1; 3)
−
.
La solution du système est constituée des coordonnées du point d'intersection des deux droites :
(2; 1)
−
.
0
1
1
1
( )
d
2
( )
d
>
^

3
ème
Chapitre 15 – Systèmes d'équations
Sylvain DUCHET - http://epsilon.2000.free.fr 3 / 3
2) Exemple de résolution d'un problème
Enoncé : Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des
boîtes. Léa achète 6 boîtes et 5 albums et paie 57 €. Hugo achète 3 boîtes et 7 albums et paie 55,50 €.
Quel est le prix d'une boîte ? Quel est le prix d'un album ?
Etape 1 : choix des inconnues
Appelons x le prix d'une boîte et y le prix d'un album.
Etape 2 : mise en équations
Traduction de la première phrase :
6 5 57
x y
+ =
.
Traduction de la deuxième phrase :
3 7 55,5
x y
+ =
Etape 3 : Résolution du système
6 5 57
3 7 55,5
x y
x y
+ =
+ =
En multipliant la deuxième équation par 2, on obtient le système :
6 5 57
6 14 111
x y
x y
+ =
+ =
.
On soustrait membre à membre les deux égalités :
(6 5 ) (6 14 ) 57 111
6 5 6 14 54
9 54
54
9
6
x y x y
x y x y
y
y
y
+ − + = −
+ − − = −
− = −
−
=−
=
On remplace y par 6 dans la première équation :
6 5 6 57
6 30 57
6 57 30
6 27
27
6
4,5
x
x
x
x
x
x
+ × =
+ =
= −
=
=
=
Vérification :
6 4,5 5 6 57
3 4,5 7 6 55,5
× + × =
× + × =
Conclusion :
(4,5;6)
est la seule solution du système.
Etape 4 : Retour au problème posé
Une boîte coûte 4,5 € et un album coûte 6 €.