Jusqu`où peut-on voir à l`horizon ? — Preuve des équivalents

Jusqu’où peut-on voir à l’horizon ?
—
Preuve des équivalents
Rappels des notations
Deux fonctions fet gsont équivalentes au voisinage d’un point a(et on note f(x)∼g(x))
si :
lim
x→a
f(x)
g(x)=1
Une fonction f(x) est négligeable devant une fonction g(x) au voisinage d’un point a(et
on note f(x)=o(g(x))) si :
lim
x→a
f(x)
g(x)=0
1 Equivalent de p2x+x2
Proposition. Au voisinage de 0,
p2x+x2∼p2x
Démonstration. Pour tout x6=0,
p2x+x2
p2x=s2x+x2
2x=r1+x 2
Comme lim
x→0r1+x
2=1, on a donc
lim
x→0
p2x+x2
p2x=1
2 Equivalent de cos−1¡1
1+x¢
Lemme. Au voisinage de 0,
1
1+x=1−x+o(x)
Démonstration. Pour tout réel x6=−1 ,
1
1+x=1−x+x2 1+x
De plus,
1

x2
1+x
x=x 1+x
x→0
−−−→0
donc x2
1+x=o(x)
Lemme. Au voisinage à gauche de 1,
cos−1(x)=p2·p1−x+o(p1−x)
Démonstration. C’est bien un développement au voisinage de 1 (et non de 0) que nous
allons faire ici. On commence par dériver la fonction cos−1définie sur [−1;1] et dérivable
sur ] −1;1[ :
∀x∈]−1;1[, (cos−1)0(x)=−1
p1−x2=−1 p1−x·1 p1+x
On cherche ensuite à déterminer un équivalent de cette dérivée au voisinage à gauche de
1. Pour cela, on pose x=1−havec h>0 pour se ramener à un développement au voisinage
de 0 :
(cos−1)0(x)=−1
p1−x·1 p1+x=−1 ph·1 p2−h
=−1
ph·1
p2·q1−h
2
On utilise ensuite le fait que lim
h→0
1
q1−h
2
=1, ce qui donne :
(cos−1)0(x)=−1
ph·1 p2(1 +o(1))
=−1
p2·ph+oµ1
ph¶
Ainsi, en remplaçant hpar 1 −xon a :
(cos−1)0(x)=−1
p2p1−x+oµ1 p1−x¶
Pour trouver le développement de cos−1au voisinage de 1, il suffit alors d’intégrer cette
dernière relation (bien sûr, il y a une propriété derrière qui autorise ici à prendre une pri-
mitive). Comme la primitive de 1
p1−xqui s’annule en 1 est −2p1−x, on a alors :
cos−1(x)−cos−1(1) =− 1
p2³−2p1−x´+o(p1−x)
donc :
cos−1(x)=p2·p1−x+o(p1−x)
Proposition. Au voisinage de 0,
cosµ1
1+x¶∼p2x
2

Démonstration. On utilise les deux lemmes précédents en remarquant que si xtend vers
0 alors 1
1+xtend vers 1. Ainsi, au voisinage de 0,
cos−1µ1
1+x¶=cos−1(1−x+o(x))
=p2·p1−(1 −x+o(x)) +o³p1−(1 −x+o(x))´
=p2·px+o(x)+o(px)
=p2x+o(x)+o(px)
Nous voyons donc que
cos−1¡1
1+x¢
p2x=p2x+o(x)+o(px) p2x=p1+o(1) +o(1)
et que cette quantité tend bien vers 1 quand xtend vers 0.
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