Semi-normes - IMJ-PRG

Semi-normes
Dans tout ce qui suit, Kd´esignera selon le contexte le corps Rdes r´eels ou celui Cdes
complexes. Pour un ´el´ement λde K, la notation |λ|d´esignera dans le premier cas la valeur
absolue de λ, et dans le second son module.
D´efinition. Soit Eun K-espace vectoriel. On appelle semi-norme sur Eune fonction
p:E→R+satisfaisant les deux conditions :
(i) ∀x∈E∀λ∈Kp(λx) = |λ|p(x)
(ii) ∀x∈E∀y∈E p(x+y)6p(x) + p(y).
Une norme est une semi-norme satisfaisant pour tout xde E:p(x) = 0 =⇒x= 0.
1 - Topologie d´efinie par une famille de semi-normes.
Soient Eun K-espace vectoriel et Pun ensemble de semi-normes sur E. On appellera
P-boule de Ecentr´ee en a∈Etout ensemble de la forme
W(a, p1, p2, . . . , pk, r1, r2, . . . , rk) := {x∈E:∀j6k pj(x−a)< rj},
o`u les pjappartiennent `a P, et les rjsont strictement positifs. Lorsque Pest un ensemble
constitu´e d’une seule norme, ces P-boules centr´ees en asont exactement les boules ouvertes
de centre apour cette norme.
Th´eor`eme 1.1. Si Pest une famille de semi-normes sur E, il existe une unique topologie
sur E(qu’on appellera la P-topologie) pour laquelle, pour tout a∈E, les P-boules de centre
aforment une base de voisinages de a.
Pour cette topologie, la fonction : (x, y)7→ x+yest continue de E×Edans E, et la
fonction (λ, x)7→ λxcontinue de K×Edans E(on dira que c’est une topologie d’espace
vectoriel).
Il est clair que l’intersection de deux P-boules de centre aest encore une P-boule
de centre a. De plus, si W=W(a, p1, p2, . . . , pk, r1, r2,...,rk) est une P-boule de centre
acontenant b, les nombres si=ri−pi(x−a) sont strictement positifs et on v´erifie
imm´ediatement que W(b, p1, p2,...,pk, s1, s2, . . . , sk)⊂W(a, p1, p2,...,pk, r1, r2,...,rk),
donc que West un voisinage de b. Il en r´esulte que ceci d´efinit une topologie sur E.
Si W=W(a+b, p1, p2, . . . , pk, r1, r2,...,rk) est un voisinage de a+b, on a pour
x∈W(a, p1, p2, . . . , pk, r1/2, r2/2, . . . , rk/2) et y∈W(b, p1, p2,...,pk, r1/2, r2/2,...,rk/2) :
pj(x+y−a−b)6pj(x−a) + pj(y−b)< rj/2 + rj/2 = rj, donc x+y∈W: ceci montre
la continuit´e en (a, b) de la fonction (x, y)7→ x+y.
De mˆeme, puisque
pj(λx−µa)6|λ|pj(x−a) + |λ−µ|pj(a)6|µ|pj(x−a) + |λ−µ|pj(a) + |λ−µ|pj(x−a)
on voit qu’en assurant pj(x−a)<inf(1,rj
3µ) et |λ−µ|<inf(rj 3,rj pj(a)), on assure
pj(λx−µa)< rj. On en d´eduit la continuit´e en (µ, a) de la fonction (λ, x)7→ λx.•
version du 20 Octobre 2009

Proposition 1.2. Si Pest une famille de semi-normes sur E, la P-topologie est s´epar´ee si
et seulement si, pour tout x6= 0 de E, il existe une p∈Ptelle que p(x)>0.
Si la P-topologie est s´epar´ee et si xest non nul dans E, il existe une P-boule
W(0, p1, p2, . . . , pk, r1, r2,...,rk) de centre 0 ne contenant pas x: il existe donc un j6ktel
que pj(x)>rj>0.
Inversement, si x6=yet s’il existe p∈Ptelle que p(x−y) = r > 0, les P-boules
W1=W(x, p, r/2) et W2=W(y, p, r/2) sont des voisinages disjoints de xet y: en effet, si
on avait z∈W1∩W2, on aurait r=p(x−y)6p(x−z) + p(y−z)<r
2+r 2=r.•
Th´eor`eme 1.3. Si Pest une famille de semi-normes sur E, chacune des fonctions p∈P
est continue pour la P-topologie, et toute P-boule est un ensemble convexe ouvert.
On a en effet, pour p∈P:p(x+h)6p(x) + p(h) et p(x)6p(x+h) + p(−h) =
p(x+h) + p(h), donc |p(x+h)−p(x)|6p(h), donc |p(x+h)−p(x)|<εd`es que
x+h∈W(x, p, ε).
Soit p∈P. Puisque pest continue, l’ensemble {x:p(x−a)< r}est ouvert. Donc toute
P-boule, intersection finie d’ouverts, est ouverte.
Enfin, si p∈P,p(x−a)< r,p(y−a)< r et 0 6t61, on a
p((tx+(1−t)y)−a) = p(t(x−a)+(1−t)(y−a)) 6tp(x−a)+(1−t)p(y−a)< tr+(1−t)r=r
Il en r´esulte que l’ensemble {x=p(x−a)< r}est convexe ; toute P-boule, intersection de
convexs, est donc convexe. •
Th´eor`eme 1.4. Si Pest une famille de semi-normes sur E, et qune semi-norme sur E.
Alors il y a ´equivalence entre
(i) qest continue pour la P-topologie.
(ii) il existe un nombre fini (p1, p2,...,pk)d’´el´ements de Pet un nombre Mtels que
q(x)6Msupj6kpj(x)pour tout xde E.
(iii) qest born´ee sur un voisinage de 0.
Si qest une semi-norme continue, il existe un voisinage Vde 0 pour la P-topologie
pour lequel on a |q(x)−q(0)|<1 pour tout xde V. Il existe donc une P-boule
W(0, p1, p2, . . . , pk, r1, r2,...,rk), de centre 0 sur laquelle qest major´ee par 1.
Si maintenant qest born´ee par Msur un voisinage Vde 0, il existe une P-boule
W=W(0, p1, p2, . . . , pk, r1, r2,...,rk), de centre 0 sur laquelle qest major´ee par µ. Soit
x∈E: si 0 < t < infj
rj
pj(x), on a pj(tx) = tpj(x)< rjpour tout j, donc tx ∈W, et
q(tx) = tq(x)< µ, ou encore q(x)<µ
t, c’est-`a-dire q(x)6µsupj
1
rj
pj(x). On peut donc
prendre M= supj
µ
rj
.
Enfin, si qv´erifie (ii), puisque l’on a
|q(y)−q(x)|6q(x−y)6Msup
j
pj(x−y)
on a |q(y)−q(x)|<εen tout point yde W(x, p1, p2,...,pk,ε/M, ε/M, . . . , ε/M), ce qui
montre la continuit´e de qen x.•
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Corollaire 1.5. Soient Pune famille de semi-normes sur E,Qune famille de semi-normes
sur Fet f:E→Fune application lin´eaire. Alors fest continue de Emuni de la P-
topologie dans Fmuni de la Q-topologie si et seulement si q◦fest une semi-norme continue
sur Epour tout q∈Q.
Si fest continue et si q∈Q, alors qest continue sur Fet q◦fest continue sur
E. Inversement, si W=W(f(a), q1, q2, . . . qk, r1, r2, . . . , rkest une Q-boule de E, on a
f−1(W) = W(a, q1◦f, . . . qk◦f, r1,...rk), qui est un voisinage de adans Epour la P-
topologie si chacune des semi-normes qj◦fest continue. •
On notera L(E, F ) l’espace vectoriel des applications lin´eaires continues de Edans F.
Corollaire 1.6. Si Pest une famille de semi-normes sur E, et f:E→Kune forme
lin´eaire, alors fest continue pour la P-topologie si et seulement s’il existe un nombre
fini (p1, p2,...,pk)d’´el´ements de Pet un nombre Mtels que, pour tout x∈E, on ait
|f(x)|6M. supj6kpj(x).
Il suffit de remarquer que, lorsque fest une forme lin´eaire, la fonction q:x7→ |f(x)|
est une semi-norme, que qest continue si fl’est, et que si qest continue, on a
|f(x)−f(y)|=|f(x−y)|=q(x−y)<ε
en tout point yd’un voisinage de x.•
Si Eest un K-espace vectoriel muni d’une Ptopologie, on appelle dual de El’espace
vectoriel E0=L(E, K) des formes lin´eaires continues sur E.
Proposition 1.7. Soient Pune famille de semi-normes sur E,Qune famille de semi-normes
sur Fet u:E→Fune application lin´eaire continue de Emuni de la P-topologie dans F
muni de la Q-topologie. Alors il existe une application lin´eaire tudu dual F0de Fdans le
dual E0de E, appel´ee transpos´ee de utelle que, pour tout x∈Eet tout f∈F0on ait
htu(f), xi=hf, u(x)i.
Il suffit de remarquer que si f∈F0la forme lin´eaire f◦uest continue sur E, et que
l’application f7→ f◦uest lin´eaire. •
Th´eor`eme 1.8. Si Pest une famille de semi-normes sur E, alors Eest localement compact
pour la P-topologie si et seulement s’il est s´epar´e et de dimension finie.
Ceci r´esulte des deux lemmes suivants.
Lemme 1.9. Si Pest une famille de semi-normes sur un espace Ede dimension finie pour
laquelle la P-topologie est s´epar´ee, et si (a1, a2, . . . , an)est une base de E, l’application
ϕ: (x1, x2,...,xn)7→ Pxjajest un hom´eomorphisme de Knsur E.
Puisque chaque p◦ϕ, pour p∈P, est une semi-norme sur Kn, on se ram`ene
imm´ediatement au cas o`u E=Kn.
On remarque d’abord que toute semi-norme psur Knest continue : si (e1, e2,...,en)
est la base canonique de Kn, on a
p(x) = p(
n
X
j=1
xjej)6X
j
|xj|p(ej)6Mkxk
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o`u on a pos´e M=Pjp(ej), donc |p(y)−p(x)|6p(y−x)6Mky−xk. Il en r´esulte que
toute P-boule est ouverte, pour la topologie d´efinie par la norme.
Inversement, pour toute semi-norme p, l’ensemble p−1(0) est un sous-espace vectoriel.
Si la P-topologie est s´epar´ee, on peut donc construire par r´ecurrence une suite strictement
d´ecroissante (Vk) de sous-espaces vectoriels de Eet des pkdans Ptelle que V0=Eet
Vk+1 =Vk∩p−1
k(0) o`u pk(xk)>0 pour un xk∈Vksi Vk6={0}. Cette suite est finie, de
longueur `6n, Alors supk6`pkest une semi-norme ne s’annulant qu’en 0, donc une norme,
qui est ´equivalente `a la norme k.kpuisque la dimension est finie : on a kxk6Msupk6`pk(x),
ce qui montre que la norme k.kest continue pour la P-topologie, c’est-`a-dire que cette
derni`ere est plus fine que la topologie usuelle sur Kn.•
Lemme 1.10. Si Eest localement compact pour la P-topologie, Eest de dimension finie.
Si Eest localement compact, il existe une P-boule W(0, p1, p2,...,pk, r1, r2, . . . , rk)
qui est relativement compacte dans E. Soit a6= 0 un point de cette P-boule W. Il existe,
puisque Eest s´epar´e une p∈Ptelle que p(a)>0 ; comme pest continue, elle est born´ee
sur le compact Wpar un nombre M, ce qui montre que na /∈Wsi n > M
p(a), donc qu’il
existe j6ktelle que npj(a) = pj(na)>rj>0, et enfin que pj(a)>0. Il en r´esulte que
q= supj6kpjest une norme sur E, et que West un voisinage de 0 dans l’espace Enorm´e
par q. La topologie d´efinie par qest moins fine que la P-topologie, et s´epar´ee : West donc
compact dans cet espace norm´e. Celui-ci est donc localement compact, donc de dimension
finie. •
Th´eor`eme 1.11. Si Pest une famille d´enombrable de semi-normes sur E, la P-topologie
peut ˆetre d´efinie par une distance dinvariante par translation, c’est-`a-dire v´erifiant pour tout
x, tout yet tout zde E:d(x+z, y +z) = d(x, y), pour laquelle les boules sont convexes.
Inversement, si Pest une famille de semi-normes et si la P-topologie est m´etrisable, il
existe une suite croissante (pk)de semi-normes pour laquelle la P-topologie co¨ıncide avec la
topologie d´efinie par la famille des (pk).
Une suite (xn)de Econverge alors vers a∈Esi et seulement si pk(xn−a)→0pour
tout k. Et une suite (xn)est de Cauchy si et seulement si, pour tout k,pk(xn−xm)→0,
c’est-`a-dire si (xn−xm)tend vers 0 lorsque net mtendent vers l’infini.
Si (pk)k>1est une ´enum´eration de P, on d´efinit une distance dsur Een posant :
d(x, y) = sup
k>1°inf( 1
k, pk(x−y)¢
et cette distance est clairement invariante par translation. On peut remarquer ´egalement
que si λ∈Kv´erifie |λ|= 1, on a d(x, 0) = d(λx, 0). On a, pour cette distance
B(a, r) = {x:∀k61
rpk(x−a)< r}
qui est une P-boule centr´ee en a, ce qui montre que la P-topologie est plus fine que la
topologie associ´ee `a det que les boules de dsont convexes. Inversement, chacune des semi-
normes pkest continue pour la distance d, puisque, pour ε<1
k, on a, si d(x, y)<ε:
|pk(y)−pk(x)|6pk(y−x) = inf( 1
k, pk(x−y)) 6d(x, y)<ε.
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Si, maintenant, la P-topologie est m´etrisable, d´efinie par une distance d, chaque boule
Bd(0,2−k) est un voisinage de 0, donc contient une P-boule ; il existe donc une partie finie Jk
de Pet un εktels que Bd(0,2−k)⊃{x:∀p∈Jkp(x)<εk}. Si (qm) est une ´enum´eration
de l’ensemble d´enombrable P0=SkJk, on remarque que chaque qmest continue, et que la
P0-topologie est plus fine que la P-topologie initiale. Il suffit alors de prendre pk=Pm6kqm
pour avoir la suite croissante cherch´ee.
Il r´esulte de ce qui pr´ec`ede qu’une suite (xn) converge alors vers asi pk(xn−a)→0
pour tout k. Une suite (xn) est de Cauchy pour dsi et seulement si, pour tout ket tout
ε>0, il existe un rang Ntel que pk(xm−xn)<εpour met nsup´erieurs `a N, ou encore
que (xm−xn) tende vers 0 quand met ntendent vers l’infini. •
On remarque ainsi que la compl´etude de Ene d´epend alors que de la topologie, et pas
de la distance invariante par translation choisie.
Definition 1.12. On appelle espace de Fr´echet un espace vectoriel muni d’une P-topologie
m´etrisable, et complet pour cette topologie.
2 - Topologies faibles
Soient Eun espace vectoriel sur Ket Fun espace vectoriel de formes lin´eaires sur E.
Pour tout f∈F, la fonction pf:x7→ |f(x)|est une semi-norme sur E. On d´efinit alors
la topologie faible σ(E, F ) sur Ecomme la P-topologie o`u P={pf:f∈F}. On notera
souvent hf, xile nombre f(x).
Th´eor`eme 2.1. Une forme lin´eaire fsur Eest continue pour la topologie σ(E, F )si et
seulement si f∈F.
Il r´esulte imm´ediatement de la d´efinition que si f∈F, on a |f(x)|6pf(x) pour tout
x∈E, donc que fest continue pour σ(E, F ).
Inversement, si gest une forme lin´eaire continue pour σ(E, F ), il existe f1,f2,...fkdans
Fet Mtels que, pour tout x, on ait |g(x)|6M. supjpfj(x). En particulier, si x∈Tjker(fj),
on a n´ecessairement g(x) = 0. Si on note Φl’application lin´eaire de Edans Kkd´efinie par
Φ(x) = (fj(x))j6k, et par Gle sous-espace Φ(E) de Kk, on remarque que si Φ(x) = Φ(y),
on a fj(x−y) = 0 pour tout j, donc g(x−y) = 0. Il en r´esulte qu’existe une unique fonction
ϕde Vdans Ktelle que g(x) = ϕ(Φ(x)). On voit ais´ement que cette fonction ϕest lin´eaire
et peut se prolonger en une forme lin´eaire ψsur Kk. On a alors
ψ(u1, u2, . . . , uk) = X
j6k
αjuj
avec des coefficients αjdans K.
On en d´eduit que, pour x∈E,g(x) = ψ◦Φ(x) = Pj6kαjfj(x), c’est-`a-dire que
g=Pj6kαjfj∈F.•
Th´eor`eme 2.2. Si Eest un espace vectoriel muni d’une P-topologie et E0son dual, la
topologie faible σ(E, E0)(appel´ee topologie affaiblie de E) est moins fine que la P-topologie
initiale.
Puisque chaque ´el´ement de E0est continu pour la P-topologie initiale O, on voit
imm´ediatement que chaque semi-norme pfpour f∈E0est O-continue, donc que toute
boule pour la topologie σ(E,E0) est ouverte pour O, donc que la topologie affaiblie est
moins fine que O.•
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