Dynamique du point matériel

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CHAPITRE 2 : DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL
I. INTRODUCTION
Nous avons appris, au cours du premier chapitre, à étudier un mouvement donné. Nous nous
intéresserons dans ce deuxième chapitre à la dynamique du point matériel, i.e. nous verrons
comment prévoir le mouvement d’un point matériel à partir des lois de la mécanique et des
conditions initiales spécifiques au problème considéré.
II. POSTULATS DE LA DYNAMIQUE NEWTONIENNE
1) Notion de force
Les lois de la dynamique postulées par Newton reposent sur le concept de force. Une force est une
action exercée par « quelque chose » sur le point matériel étudié. Elle est appliquée sur le point
matériel et peut se représenter sous forme vectorielle, sa norme s’exprime dans le système
international d’unités en Newton (N).
Le postulat d’additivité des forces indique que, si plusieurs forces s’exercent sur un point matériel,
leurs actions simultanée est équivalente à l’action d’une seule force, la résultante des forces, égale à
la somme vectorielle des forces exercées.
2) Lois de Newton de la mécanique
Dans ses « Principes Mathématiques de la Philosophie Naturelle », publiés en 1687, Isaac Newton
fonde sa mécanique sur trois lois :
a. Première loi de Newton : Principe d’inertie
Il existe une classe de référentiels dits galiléens, dans lesquels tout corps en mouvement rectiligne
uniforme persiste dans cet état si la résultante des forces exercée sur lui est nulle.
Nous nous bornerons en ce début d’année à accepter l’existence des référentiels galiléens. Tous les
référentiels que nous utiliserons dans ce chapitre, en particulier le référentiel terrestre, pourront être
considérés comme galiléens. La recherche de référentiels galiléens et la dynamique dans les
référentiels qui ne le sont pas seront abordées dans la deuxième partie de l’année.
b. Deuxième loi de Newton : Loi fondamentale de la dynamique
Dans tout référentiel galiléen, l’accélération d’un point matériel est proportionnelle à la résultante
des forces appliquées :
1
m
=aF
où a est l’accélération du point matériel, m est sa masse inerte (exprimée en kilogrammes, kg) et F
est la résultante des forces appliquées sur le point matériel.
Plusieurs remarques s’imposent :
• On constate l’équivalence entre unités : -2 1 N 1 kg.m.s≡
• La loi fondamentale de la dynamique permet de relier l’accélération d’un point matériel, et
donc sa déviation du mouvement rectiligne uniforme, à la cause de cette modification qui est

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la résultante des forces appliquées. C’est pour cette raison que la forme donnée ici est
préférable à la forme souvent enseignée au lycée m
=
Fa, qui prend le problème à l’envers.
• Le coefficient de proportionnalité est l’inverse de la masse inerte du point matériel. Plus
cette masse est élevée, et moins la norme de l’accélération engendrée par la force sera
importante. La masse inerte caractérise donc la résistance à l’accélération du point matériel.
• La loi fondamentale de la dynamique n’est d’aucune utilité si nous ne savons pas calculer la
résultante des forces.
c. Troisième loi de Newton : Loi des actions réciproques
Les forces d’interaction réciproques qui s’exercent entre deux points matériels sont opposées.
L’adjonction de cette troisième loi est nécessaire à l’étude des systèmes mécaniques, elle n’est
cependant valable à l’échelle microscopique que pour les interactions gravitationnelle et
électrostatique (elle est mise en défaut par exemple pour l’interaction entre deux particules chargées
en mouvement 1).
3) Lois de Force
a. Interaction gravitationnelle
Une autre contribution de Newton à la physique est la loi décrivant l’interaction gravitationnelle :
La force gravitationnelle exercée par un corps 1 sur un corps 2, à répartitions sphériques de masses
gravitationnelles s’écrit sous forme vectorielle :
**
12 1 2 3
Gm m
→
−
=−
12
12
rr
F
rr
où 11 3 -1 -2
6,67.10 m .kg .sG− = est la constante universelle de gravitation, i r et *
i
m sont le vecteur
position et la masse gravitationnelle du corps i (exprimée en kg). L’interaction gravitationnelle est
toujours attractive. Notons que cette expression est a fortiori valable pour deux points matériels et
qu’elle respecte bien la loi des actions réciproques.
Figure 2.1. : Interaction gravitationnelle
La masse gravitationnelle est une caractéristique intrinsèque d’un corps qui traduit son couplage
avec d’autres corps par l’interaction gravitationnelle. Il est très étrange qu’elle soit égale à la masse
inerte de ce corps, qui caractérise la résistance à l’accélération lorsqu’une force est appliquée2. Nous
admettrons néanmoins que, pour tout corps, *
mm
=
, et nous les désignerons toutes deux sous le
vocable commun de masse.
1 Voir le cours d’électromagnétisme de deuxième année.
2 Il fallut attendre le vingtième siècle avec la théorie de la relativité générale d’Einstein pour exploiter entièrement les
conséquences de cette égalité, qui est vérifiée expérimentalement à une très grande précision.
O 2
r
1
r*
2
m
*
1
m
12→
F
21→
F

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A la surface de la Terre, on désigne par le mot poids l’attraction gravitationnelle exercée par la
Terre sur un objet de masse m (figure 2.2.). La force d’attraction gravitationnelle s’écrit, en
considérant la Terre sphérique, en notant T
R
son rayon, z l’altitude de l’objet au dessus du niveau
Figure 2.2 : Poids
moyen des océans et u le vecteur unitaire dirigé du point matériel vers le centre de la Terre :
()
2
T
T
mM
G
Rz
×
=+ Pu
L’altitude de l’objet étant négligeable par rapport au rayon T
R
de la Terre, on peut écrire
l’expression du poids sous la forme :
m
=
P
g
où g est l’intensité de la pesanteur, verticale et dirigée vers le bas, de norme :
-2
29,8 m.s
T
T
GM
R
=g
(on a utilisé 24 6
6,0.10 kg ; 6,4.10 m
TT
MR). Le champ de pesanteur, i.e. la donnée de
(
)
g
r
pour tout point de l’espace, est donc uniforme lorsque l’altitude reste très petite par rapport au rayon
de l’astre (norme de g constante) et que l’on considère des distances « horizontales » mesurées à la
surface la planète très petites devant son périmètre (direction de g constante).3
b. Interaction électrostatique
Un siècle après Newton, Coulomb étudia quantitativement les forces exercées entre deux corps
portant des charges électriques. La loi de force de la force électrostatique est la loi de Coulomb. Son
expression vectorielle est :
12 12 3
0
1
4qq
πε
→
−
=− −
12
12
rr
F
rr
où q1 et q2 sont les charges électriques portées par les corps 1 et 2, exprimées en Coulomb (C), et où
0
ε
est la permittivité électrique du vide, de valeur :
09
1 S.I.
36 10
επ =×
Les charges électriques pouvant être positives ou négatives (contrairement à la masse), la force
électrostatique peut être attractive (deux charges de signe différent) ou répulsive (deux charges de
même signe).
3 Nous affinerons l’expression de g dans la deuxième partie de l’année.
u
m
T
M
R
T
z

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III. EQUATIONS DU MOUVEMENT
1) Physique et équations différentielles, déterminisme
La loi fondamentale de la mécanique peut s’écrire, compte tenu de la définition de l’accélération :
m
=
F
r
Il s’agit donc de réaliser l’inventaire des forces appliquées au système et de calculer leur résultante,
afin d’obtenir l’équation du mouvement du système, qui est une équation différentielle du second
ordre. Les lois de la mécanique ne nous permettent pas de trouver les constantes d’intégration, leurs
valeurs numériques dépendent des conditions initiales du problème.
Ceci est un exemple d’un principe très général en physique : résoudre un problème physique
consiste à mettre le problème en équation sous la forme d’une équation différentielle, nommée
équation du mouvement, mettant en jeu au plus les dérivées secondes des coordonnées.
La mécanique newtonienne est dite déterministe : à un jeu de conditions initiales correspond une
seule évolution possible pour le système ; cela est du au fait que rien, dans les postulats de la
mécanique, n’empêche en principe de pouvoir mesurer les position et vitesse initiales du point
matériel avec une précision arbitrairement grande 4.
2) Mouvement d’un point matériel sans forces appliquées
Dans un référentiel galiléen, la deuxième loi de la dynamique nous permet d’écrire l’équation du
mouvement :
x
y
z
x
v
yv
zv
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎜⎟ ⎜ ⎟
==⇒==
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
r0vr
par une intégration triviale sur les trois coordonnées. On trouve donc que la vitesse est constante : le
mouvement est rectiligne uniforme. La loi fondamentale de la dynamique contient donc le principe
d’inertie si on remplace « Dans tout référentiel galiléen, … » par « Il existe une classe de
référentiels, dits galiléens, dans lesquels … ». Le principe d’inertie garde cependant une valeur
prédictive car il met en avant que tout objet animé d’un mouvement qui n’est pas rectiligne
uniforme est soumis à des forces extérieures.
3) Mouvement d’un point matériel dans un champ de pesanteur uniforme, sans
frottements
Un point matériel de masse m est lancé avec une vitesse initiale 0
v et laissé libre d’évoluer dans le
champ de pesanteur terrestre uniforme g. La seule force agissant sur lui est alors son poids P.
Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la loi fondamentale de la dynamique nous permet
d’écrire l’équation du mouvement du point matériel :
m
mm
=
==
Pg
a
g
où l’on voit une conséquence importante de l’égalité des masses gravitationnelle et inerte :
l’équation du mouvement d’un point matériel évoluant dans un champ de pesanteur est
indépendante de sa masse.
4 On renonce à ce déterminisme en théorie quantique, où on ne peut connaître à la fois vitesse et position avec une
précision aussi grande que l’on veut.
m

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On oriente les axes du repère cartésien de manière à
faire coïncider l’axe Oz avec la direction de g et à ce
que le vecteur 0
v soit dans le plan 0x
=
(figure 2.3.)
et on choisit l’origine spatiotemporelle telle que le
point matériel soit en 0x= à l’instant 0t
=
du lancé.
Les conditions initiales sont alors :
() ()
() () ()
() () ()
0
00
00
00 ; 0 0
00 ; 0 cos
00 ; 0 sin
x
y
z
xx
yy
zz
θ
θ
==⋅=
==⋅=
==⋅=
ve
ve v
ve v
Figure 2.3. : choix de l’orientation des axes
dans un problème de chute libre
On obtient par projection de l’équation du mouvement sur les trois axes trois équations
différentielles :
0
0
xx
yy
zz
x
y
zg
⎧⋅=⋅⇔=
⎪⋅=⋅⇔=
⎨
⎪⋅=⋅⇔=
⎩
re ge
re ge
re ge
(avec z
g
=
⋅=−
g
e
g
)
• La première de ces équations s’intègre, compte tenu de nos choix d’origines et d’orientation de
la base :
000xxx
=
⇒=⇒=
Le mouvement est donc contenu dans le plan 0x
=
.
• La deuxième équation est identique, mais les condition initiales sont différentes :
(
)
(
)
00
0cos cosyy y t
θ
θ =⇒= ⇒=vv
Le mouvement suivant Oy est donc uniforme.
• La troisième équation contient un deuxième membre :
() ()
2
00
sin sin
2
gt
zgzgt z t
θ
θ =− ⇒ = + ⇒ = +vv
On obtient l’équation cartésienne de la trajectoire dans le plan 0x
=
en faisant disparaître le temps
dans la troisième équation à l’aide de la deuxième :
() () ()
2
22
00
tan
cos 2cos
yg
tz yy
θ
θθ
=⇒= +
vv
La trajectoire est donc une parabole, résultat déjà trouvé dans le chapitre 1. La figure 2.4. représente
différentes paraboles décrites par un point matériel en fonction de l’angle
θ
que fait le vecteur 0 v
avec l’axe Oy.
Figure 2.4. : Différentes trajectoires d’un projectile dans le champ de pesanteur terrestre
-2
0
-1
50m.s 10m.s ; g==−v, graduations en mètres
z
y
x
z
e
y
e
x
e
0
v
g
θ
3
θ
π =
4
θ
π =
6
θ
π =
8
θ
π =