I — Rappels MPSI : Groupes 1) Propriétés générales Soit E un

I — Rappels MPSI : Groupes
1) Propriétés générales
Soit Eun ensemble. Une loi de composition interne sur Eest une application de E2vers E.
On utilise une notation infixe, du type x∗ysi (x, y)∈E2. En voici d’autres : +× − ÷ · ◦ ⊗ ⊕ ⊥ ?∪ ∩ ...
Soit Eun ensemble muni d’une loi de composition interne ∗et Aune partie de E.
(1) : On dit que Aest stable par la loi ∗lorsque pour tout (x, y)∈A2,x∗y∈A. On parle de loi induite sur A.
(2) : On dit que ∗est associative lorsque pour tout (x, y, z)∈E3,x∗(y∗z) = (x∗y)∗z.
(3) : On dit que ∗est commutative lorsque pour tout (x, y)∈E2,x∗y=y∗x.
(4) : On dit que ∗admet un élément neutre lorsqu’il existe e∈Etel que pour tout x∈E,x∗e=e∗x=x.
(5) : Si Eest aussi muni d’une loi de composition interne ⊥, on dit que la loi ⊥est distributive à gauche (resp. à
droite) sur la loi ∗lorsque pour tout (x, y, z)∈E3,x⊥(y∗z) = (x⊥y)∗(x⊥z)(resp. (x∗y)⊥z= (x⊥z)∗(y⊥z)).
La loi ⊥est distributive sur la loi ∗lorsqu’elle est distributive à gauche et à droite.
Soit Eun ensemble muni d’une loi de composition interne ∗et Aune partie stable par ∗de E.
(1) : Si Eadmet un élément neutre, il est unique.
(2) : Si ∗est associative, alors la loi induite sur Aaussi.
(3) : Si ∗est commutative, alors la loi induite sur Aaussi.
(4) : Si eest élément neutre pour ∗et si e∈A, alors eest neutre pour la loi induite sur A.
(5) : Si Eest aussi muni d’une loi de composition interne ⊥, si Aest stable par ⊥et si ⊥est distributive sur ∗,
alors les mêmes propriétés se retrouvent sur les lois induites.
2) Éléments symétrisables
Soit Eun ensemble muni d’une loi de composition interne ∗associative et qui admet un élément neutre e.
On dit que a∈Eest symétrisable de symétrique a0∈Elorsque a∗a0=a0∗a=e.
Soit Eun ensemble muni d’une loi de composition interne ∗associative et qui admet un élément neutre e.
(1) : Tout élément symétrisable de Eadmet un symétrique unique.
(2) : Le composé de deux éléments aet bsymétrisables est symétrisable et (a∗b)0=b0∗a0.
(3) : Si Aest une partie stable de Epour la loi ∗, si a∈Aadmet un symétrique a0pour la loi ∗, et si a0∈A,
alors a0est le symétrique de apour la loi induite sur A.
(4) : Soit aun élément symétrisable. Alors aest régulier, i.e. si a∗x=a∗y, alors x=yet si x∗a=y∗a,
alors x=y.
(5) : Si la loi de composition interne est notée multiplicativement, on notera a−1le symétrique de a, s’il existe.
(6) : Si la loi de composition interne est notée additivement, on notera (−a)le symétrique de a, s’il existe.
Exercice 7 facultatif
3) Groupes
(1) : Un groupe est un ensemble Gmuni d’une loi de composition interne ·associative, possédant un élément
neutre, et dans lequel tout élément admet un symétrique.
(2) : Une partie Hd’un groupe Gest un sous-groupe de Glorsque Hest une partie non vide, stable par la loi ·
et qu’elle a une structure de groupe pour la loi induite.
4) Morphismes de groupes
Un morphisme de groupes est une application compatible avec les lois des deux groupes, c’est à dire que
∀(x1, x2)∈G2, f(x1? x2) = f(x1)⊥f(x2)Un endomorphisme de groupe est un morphisme d’un groupe sur
lui-même. Un isomorphisme de groupes est un morphisme de groupes bijectif. Un automorphisme de groupe est
un endomorphisme bijectif.
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II — Étude élémentaire du groupe symétrique
Dans toute cette partie, ndésigne un entier naturel au moins égal à 2.
1) Groupe symétrique d’ordre n
a) Définition
(1) : On appelle groupe symétrique d’ordre nle groupe des permutations de [[ 1 , n ]] .
(2) : Il s’agit d’un groupe pour la loi de composition des applications (loi ◦), de cardinal n!.
Notation : Sn; pour deux permutations σet σ0de Sn, on note σ◦σ0ou simplement σσ0.
Enfin, une permutation σ∈ Snpeut s’écrire : σ=Å1 2 ··· n
σ(1) σ(2) ··· σ(n)ã
(3) : Le groupe S2est cyclique d’ordre 2.
b) Cycles et orbites
(1) : Soit σ∈ Sn. On note Rσla relation d’équivalence sur les éléments de [[ 1 , n ]] définie par :
∀(x, y)∈[[ 1 , n ]] 2, xRσy⇔ ∃k∈Z, y =σk(x). Les classes d’équivalence de Rσsont appelées les orbites de σ.
(2) : On appelle cycle de Sntoute permutation de Sntelle qu’il existe une et une seule orbite non réduite à un
élément. Le cardinal de l’orbite non réduite à un élément d’un cycle de Sns’appelle la longueur ou l’ordre du
cycle. C’est un élément de [[ 2 , n ]] . Un cycle de longueur nde Sns’appelle une permutation circulaire.
Soit σun cycle de longueur pde Snet a∈[[ 1 , n ]] dont l’orbite est de longueur p. Alors :
(3) : L’orbite de aest l’ensemble a, σ(a), σ2(a), . . . , σp−1(a)et
(4) : pest le plus petit entier naturel knon nul tel que σk(a) = a.
Notation : On peut donc noter un cycle sous la forme a σ(a). . . σp−1(a).
(5) : On peut décomposer toute permutation en produit de cycles qui commutent en s’intéressant aux orbites de
la permutation.
(6) : Un p-cycle à la puissance pest l’identité.
2) Transpositions et signature
a) Décomposition en produit de transpositions
(1) : On appelle transposition de Sntout cycle de longueur 2.
(2) : Toute permutation de Snse décompose en produit de transpositions.
(3) : Un p-cycle est produit de p−1transpositions : (a1a2. . . ap) = (a1a2)(a2a3). . . (ap−1ap).
b) Signature
(1) : On appelle inversion de σ∈ Sntout couple (i, j)∈[[ 1 , n ]] 2tel que i < j et σ(i)> σ(j).
Notation : On note I(σ)le nombre d’inversions de σ.
(2) : On appelle signature de σ∈ Snle nombre (−1)I(σ).Notation : ε(σ).
(3) : Si ε(σ) = 1, on dit que σest une permutation paire et sinon, on dit que σest une permutation impaire.
(4) : Une transposition est une permutation impaire.
(5) : Pour toute permutation σde Sn,ε(σ) = Y
16i<j6n
σ(i)−σ(j)
i−j.
(1) : La fonction ε:σ7→ ε(σ)est un morphisme de groupes surjectif de (Sn,◦)sur ({−1,1},×).
(2) : Un p-cycle a pour signature (−1)p−1.
(3) : Le noyau de εest appelé groupe alterné d’ordre n, sous-groupe de Snd’ordre n!
2.Notation : An.
(4) : Le groupe Anest constitué des produits de cardinaux pairs de transpositions.
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algèbre générale
I — Théorie des groupes
1) Groupes
(1) : loi de composition interne, associativité.
(2) : groupe (G, .).
(3) : élément neutre ; il est unique.
(4) : symétrique/inverse, unicité.
(5) : régularité d’un élément.
Si la loi est commutative :
(6) : groupe abélien, groupe additif : notation (G, +).
(7) : soustraction dans un groupe additif.
Définitions (l.c.i., groupe, neutre, symétrique)
Exercices 1,2,3,(7)
Exemples : (R,+),(R+∗,×),(C,+),(C∗,×),(U,×), groupe symétrique.
2) Itérés - puissances ou multiples - d’un élément ad’un groupe G.
(1) : Notation : andans un groupe multiplicatif.
(2) : an+p=an×ap,anp = (an)p= (ap)n
(3) : (ab)−1=b−1×a−1
(4) : SI ab =ba,ALORS (ab)n=an×bn.
(5) : Notation : na dans un groupe additif.
(6) : (n±p)a=na ±pa,n(a±b) = na ±nb
(7) : (np)a=n(pa) = p(na).
Définition des puissances dans (G, .)et multiples dans (G, +) par récurrence.
3) Sous-groupes
Partie stable par la loi de composition, l’inversion, et contenant l’élément neutre du groupe.
Définition d’un sous-groupe
Exercice 8 (9)
Une partie Hnon vide d’un groupe (G, ?)est un sous groupe de Gsi et seulement si ∀(x, y)∈H, x ? y−1∈H.
Caractérisation d’un sous groupe
(1) : L’intersection d’une famille de sous-groupes est un sous-groupe (ce qui est faux en général pour l’union de
sous groupes).
(2) : Soient (G1,∗)et (G2,⊥)deux groupes. L’ensemble G1×G2muni de la loi de composition interne ◦définie
par : ∀(x1, x2, y1, y2)∈G1×G2×G1×G2,(x1, x2)◦(y1, y2) = (x1∗y1, x2⊥y2), est un groupe, appelé groupe
produit des deux groupes (voir Exercice 1).
Opérations légitimes sur les sous groupes
(1) : L’intersection de tous les sous-groupes contenant une partie Xest le plus petit sous-groupe contenant X,
noté hXi.
(2) : C’est l’ensemble des mots finis construits sur X∪X−1.
(3) : On dit que Xest génératrice de Glorsque tout élément de Gpeut s’écrire comme produit fini d’éléments
de X. De plus, si Xest un singleton, on dit que Gest monogène.
Exemples : Z,Z/nZ,Un. Contre-exemple Q.
(4) : Si Gest monogène et fini, on dit qu’il est cyclique.
Théorème - Définition : sous-groupe engendré, groupe monogène, groupe cyclique
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Exemples :
(1) : hai=aZou Za.
(2) : Le sous-groupe de SEengendré par les transpositions est l’ensemble des permutations ayant un nombre fini de points
non fixes ; c’est SEsi et seulement si Eest fini.
(3) : Si H, K sont des sous-groupes d’un groupe additif alors hH∪Ki=H+K.
(4) : En particulier dans un groupe additif, ha, bi={ua +vb, u, v ∈Z}.
(1) : Les sous-groupes de (Z,+) sont les ensembles nZ,n∈N.
(2) : Conséquence : définitions du pgcd et du ppcm dans Z, relation hmdi=habi.
Théorème : sous-groupes de (Z,+)
Soit Hun sous-groupe de (R,+). Alors :
(1) : soit Hest de la forme x0Zpour x0∈R+
(2) : soit Hest dense dans Rc’est à dire que pour tous les réels x < y, l’ensemble H∩]x, y[n’est pas vide.
Théorème : sous groupes de (R,+)
Soient Gun groupe fini et Hun sous-groupe. Alors Card Hdivise Card G(voir exercice 32).
Théorème de Lagrange
4) Morphismes
Application transportant l’opération du groupe de départ sur celle du groupe d’arrivée.
Définition d’un morphisme de groupes
Exemples :
(1) : n7→ anou n7→ na
(2) : signe et valeur absolue dans R∗.
(3) : signature d’une permutation à support fini.
(4) : conjugaison dans un groupe multiplicatif.
(1) : f(e) = e0,f(an) = f(a)n.
(2) : Définitions et notations : Ker(f)et Im(f)
(3) : l’image directe d’un s.g. est un s.g.
(4) : l’image réciproque d’un s.g. est un s.g.
(5) : le noyau de fest un sous groupe.
(6) : la composée de morphismes est un morphisme.
(7) : la réciproque d’un isomorphisme est un (iso)mor-
phisme
Propriétés des morphismes de groupes
(1) : L’équation f(x) = aadmet au moins une solution si et seulement si a∈Im f.
(2) : Dans ce cas, l’ensemble des solutions est {x0·u, u ∈Ker f}={v·x0, v ∈Ker f}où x0est une solution
particulière.
(3) : Son cardinal est celui de Ker f.
Théorème
Exercices 4,5,6,14,15,16 (21)
(1) : fest injectif si et seulement si Ker f={e}.
(2) : Si a∧b=d6= 0 alors l’équation ax +by =ca des solutions (x, y)dans Z2si et seulement si d|c.
Dans ce cas, les solutions diffèrent entre elles d’un multiple de (b/d, −a/d).
Conséquences
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5) Le groupe Z/nZ
Soit n∈N∗. La relation de congruence modulo nest compatible avec l’addition, la soustraction et la multiplication.
Tout x∈Zest congru modulo nà un unique élément de [[0, n[[ noté xmod n.
Théorème
On note Z/nZ={0 mod n, . . . , (n−1) mod n}l’ensemble des classes de de congruence modulo net on définit
dans Z/nZles opérations d’addition, de soustraction et de multiplication par :
(xmod n)+(ymod n)=(x+y) mod n,
(xmod n)−(ymod n)=(x−y) mod n,
(xmod n)×(ymod n)=(x×y) mod n.
Les résultats ne dépendent pas des représentants x, y choisis.
Conséquence
(Z/nZ,+) est un groupe additif et l’application x→xmod nest un morphisme surjectif de Zsur Z/nZ. Son
noyau est le sous-groupe nZ.
Proposition
Soit f: (Z,+) →(G, .)un morphisme de groupes dont le noyau contient nZ.
Alors il existe une unique application ˙ f:Z/nZ→Gvérifiant : ∀x∈Z,˙ f(xmod n) = f(x).
De plus, ˙ fest un morphisme de groupes et Im ˙ f= Im f.
Enfin, ˙ fest injectif si et seulement si Ker f=nZ.
Théorème - Propriété universelle
Soient n, p ∈N∗tels que n∧p= 1.
L’application (xmod np)7→ (xmod n, x mod p)est bien définie et est un isomorphisme entre les groupes additifs
Z/npZet (Z/nZ)×(Z/pZ). En particulier, pour tout (a, b)∈Z2, il existe x∈Zunique modulo np vérifiant
x≡a(mod n)et x≡b(mod p).
Si nu +pv = 1 est une relation de Bézout, alors x=nub +pva est une solution du système précédent.
Théorème chinois - version groupes
Soit x∈Z. La classe de congruence xmod nengendre le groupe Z/nZsi et seulement si x∧n= 1.
On note ϕ(n) = Card {x∈[[0, n[[ tel que x∧n= 1}le nombre de générateurs de Z/nZ.
Théorème : générateurs de Z/nZ
6) Groupes monogènes
(1) : Si un élément ad’un groupe Gengendre dans Gun sous-groupe (monogène) fini d’ordre d, on dit que aest
d’ordre fini et, plus précisément, d’ordre d.
(2) : Si le sous-groupe engendré par aest infini, on dit que aest d’ordre infini.
(3) : Si aest d’ordre fini, son ordre est le plus petit entier strictement positif mtel que am=e.
Exemples dans C∗, dans Z/nZet dans SE.
O(a) = 1 ⇐⇒a=e.O(a) = 1 ou 2⇐⇒a2=e⇐⇒a=a−1.
Définition - Ordre d’un élément
Exercices 10,11,12,13 (19,20,22,24,25)
aest d’ordre fini n⇐⇒ (ap=e⇐⇒n|p)⇐⇒ (ap=aq⇐⇒p≡q(mod n)) ⇐⇒ Card hai=n.
aest d’ordre infini ⇐⇒ (ap=e⇐⇒p= 0) ⇐⇒ (ap=aq⇐⇒p=q)⇐⇒ Card hai=∞.
Caractérisations
Soient Gun groupe fini de cardinal net a∈G. Alors an=e.
Théorème de Lagrange
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