Théorème de Gauss

Théorème de Gauss
I Les coordonnées sphériques
z

k
O
M
r
y


e

N e
x

On considère un point M repéré par ses coordonnées sphériques (r ,  ,  ) :
r  OM

  (k , OM ) : colatitude.

  (i , ON ) : longitude.
(N est la projection de Msur xOy )
z
M
Parallèle

er 
e

e
r
  cte
O
y

Méridien
  cte
x
  

Base locale : (er , e , e ) ( e est le même vecteur que dans la base cylindrique)
 OM
er 
OM

e tangent au méridien (vers le sud)

e dirigé suivant un parallèle, vers l’est.
Remarque :
   
Les vecteurs k , er , e , e sont coplanaires :

k


er


 e

e

2



er  cos  .k  sin  .e



e  cos  .e  sin  .k

On a OM  rer
Pour un déplacement élémentaire :


d OM  dr.er  r.der




der  k ( sin  .d )  e  (cos  .d )  sin  .de 



 (k . sin   e  cos  )d  sin  .d.e


 d .e  sin  .d.e



Donc d OM  dr.er  r.d .e  r. sin  .d .e
Gradient d’un champ scalaire en coordonnées sphériques :
grad M F 
F
r
1 F
r 
F
1
r sin  
z
d


  d
- Périmètre d’un méridien (½ cercle) :   R
Longueur de la portion de chacun des méridiens : Rd (longueur de la corde)
- Périmètre d’un parallèle : 2  R sin 
Longueur du parallèle interceptée par le méridien : R sin  .d
(pour le parallèle du bas : R sin(   d ).d  R sin  .d )
Donc dS  R sin  .d.Rd 
 R 2 sin  .d.d
Volume élémentaire en coordonnées sphériques :
dV  dr  dS  R 2 sin  .dr.d .d
Exemple :
Aire de la sphère de centre O et de rayon R :

S   dS  
S
 0
2

0

R 2 sin  .d .d   2R 2 sin  .d  4R 2
 0
II Flux d’un champ de vecteurs
A) Définition
1) Flux élémentaire
Surface infinitésimale d’aire dS :

n
On oriente arbitrairement le contenu sur lequel s’appuie dS .


On définit le vecteur normal n de cet élément de surface : n est unitaire,
perpendiculaire à la surface, de sens vérifiant la « règle de la main droite ».
Vecteur élément de surface :



dS ou dS ( M )  dS .n


Flux élémentaire du champ E à travers dS :
  

d  E ( M )  dS  E  n.dS
2) Flux à travers une surface
Pour une surface ouverte (qui s’appuie sur un contour fermé) :
dS M

n
 orienté

Découpage de S en surfaces infinitésimales dS .n .


d  E ( M )  dS ( M )





S ( E)   E(M )  dS ( M )   E(M )  dS ( M ) n( M )
S
S
Pour une surface fermée :
Cette surface définit un volume intérieur et un volume extérieur. Le vecteur
normale est choisit sortant.

n
O



S ( E)   E(M )  dS ( M )
S
B) Théorème de Gauss
On considère une surface S fermée, délimitant un volume V intérieur qui contient
une charge QV ou Qint :

n
S

Q
Alors  S ( E )  V (S est appelée une surface de Gauss)
0
Dans les situations de symétrie, le théorème de Gauss permet ainsi un calcul plus

simple de E .
III Plan infini uniformément chargé
A) Présentation
P

k
O

j

i
On considère un plan P infini ayant une densité surfacique de charge uniforme  0 .
 
P  (O, i , j )
Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes x, y, z dans le
  
repère (O, i , j , k ) .

E
B) Calcul de (M )
1) Symétries
Soit M ( x, y, z ) un point de l’espace.
 
 
Les plans ( M , i , k ) et ( M , j , k ) sont des plans de symétrie.


Donc E est colinéaire à k .


Donc E ( M )  E z ( x, y, z )k

E z
Invariance par translation de direction i . Donc
0
x
E z
0
De même,
y


Donc E ( M )  E z ( z )k , et E z (z) est impair.
2) Surface de Gauss
Ssup
Slat
S
P
Sinf
S sup : surface supérieure horizontale d’aire S dans le plan de constante z  0

S lat : surface latérale du cylindre parallèle à k
S inf : surface horizontale d’aire S dans le plan de côte  z .
S tot  S inf  S lat  S sup est une surface fermée.

S ( E)   d   d   d   d
S
Sinf
Slat
Ssup
En un point P de S inf :


n( P )   k




d  E ( P)  dS .(k )  E z ( z P )k  dS (k )
Or, Ez ( z P )  Ez ( z)  Ez ( z)
Donc d  E z ( z)dS

Donc  Sinf ( E )  E z ( z )  dS  E z ( z ) S
S inf

De même,  Ssu p ( E )  E z ( z ) S
Pour S lat :
 
nk




d  E ( P)  dS .n  E z ( z P )k  dS .n  0

Donc  Slat ( E )  0

Donc S ( E)  2E z ( z)S
Qint  QV P   0 S
Donc, d’après le théorème de Gauss :
 S
2E z ( z)S  0
0

Donc E z ( z )  0 .
2 0
 0 
 2 k si z  0

Ainsi, E ( M )   0 

 0 k si z  0
 2 0
On a une discontinuité du champ en 0, E 
C) Condensateur plan

e

Deux plaques parallèles d’aire S et distantes de e.
0
0
Plaque supérieure : densité surfacique   0 , charge q   .S
Plaque inférieure : densité surfacique    0 , charge  q
Modélisation :
On néglige les effets de bord ; les plaques sont modélisées par des plans infinis.
 
k
2 0
 
k
2 0

 
k
2 0

 
k
2 0
 
k
2 0
e
 
k
2 0



 
Ainsi, à l’extérieur des deux plaques, E ( M )  0 , et entre les deux E ( M ) 
k.
0
 
E0 +

E
 E0

Le champ E à l’intérieur est uniforme et dirigé de la charge positive vers la charge
négative.

E (M )  grad M V
 Vx


Donc
k   Vy
0
 Vz
 .z
 cte à l’intérieur.

Et de plus V  cte à l’extérieur (la même, par continuité)
Donc V ne dépend que de z et V ( z ) 
V (z )
e/2
e/2
z
q
q
U
On a : U  q / C
Et U  Vq  V q  V ( 2e )  V ( 2e ) 
Donc C   0 S / e
IV Analogie électrostatique – gravitation
 .e  .S .e
q


0
0S
( 0 S / e)
m2
q2 M2
m1
q1 M
1
Electrique

F12 
Gravitationnelle
Force
qm
q1q 2

u
2 12
40 M 1 M 2
1
40
 G

 Gm1m2 
F12 
u12
M 1 M 22


  Gm1  

F12  m2 
u

m
G
12
2
1 (M 2 )
2

 M 1M 2


 Gm 


q
G
(
M
)

u r (on peut ainsi définir
m
en
O
2
E q en O ( M ) 
ur
OM
2
40 OM
les distributions de masse…)
Potentiel


E  grad V
G  grad  .  : potentiel gravitationnel.
q
 Gm
(charge ponctuelle q en O)
V (M ) 
 (M ) 
(masse ponctuelle m en O)
40 r
r
Energie potentielle
E p  m (M )
E p  qV (M )
Théorème de Gauss
 Q

S (E)  v
S (G)  M v  (4G)


F12  q 2 E1 ( M 2 )
0
Application :

Champ gravitationnel G (M ) créé par la Terre, considérée comme une boule de centre O
et de rayon RT  6400km . On suppose la masse volumique  0 uniforme.
4
Masse : M T   0 RT3  6,0.10 24 kg
3

G
M
O
1) Symétries
Symétrie sphérique :
 ne dépend que de r (dans les coordonnées sphériques)


 d 
G ( M )  grad  
e r  G r ( r )e r
dr
2) Théorème de Gauss
On considère comme surface de Gauss une sphère de centre O et de rayon r.
M
O

n
dS
r
Elément infinitésimal de surface dS autour de M  S (O, r ) :



dS  dS ( M ) n( M )  dS.er ( M )




d  G ( M )  dS  Gr (r ).er  dS .er  Gr (r )dS
Donc   
S (O ,r )
Gr (r )dS  Gr (r )  dS  Gr (r )4 .r 2
S (O ,r )
Masse intérieure à S (O, r ) :
RT
r
r  RT
RT r
r  RT
Si r  RT :
4
M int  RT3  0  M T
3
Si r  RT :
M int
4 3
r3
  .r  0  M T 3
3
RT
Théorème de Gauss :

S (G)  4GM int
r3
1 cas : r  RT ; 4 .r Gr (r )  4GM T 3
RT

GM T r
GM
G
(r )   3 T OM .
D’où Gr (r )  
,
soit
3
RT
RT
2
ème
2 cas : r  RT ; 4 .r Gr (r )  4GM T

GM
GM 
Donc Gr (r )   2 T , soit G(r )   2 T er
r
r
Ainsi, la Terre crée à l’extérieur un champ gravitationnel identique à celui
d’une masse ponctuelle M T en O.
2
er
Gr
r
 r 2
RT
r
(  signifie « proportionnel à »)
3) Potentiel gravitationnel

d
G  grad   Gr  
dr
2

GM T r
 k1 si 0  r  RT
 (r ) 
3
2
R
T
Donc 
 (r )   GM T  k si r  R
2
T
r

Donc, par continuité :
GM T RT2
 GM T
 k1 
 k2
3
2 RT
RT
On choisit de plus lim   0 , donc k 2  0 . Ainsi, k1 
r  

 3 GM T 1 GM T r 2

(
r
)


si 0  r  RT

3
2
R
2
R
T
T
Donc 
 (r )   GM T si r  R
T

r
 3 GM T
.
2 RT
4) Analogie électrique
Boule de rayon R et de densité volumique de charge  0 uniforme.
4
Q  R 3  0 .
3
M
O
R
0

 OM
Q.r 
e  0
si 0  r  R
E (M ) 
3 r

3 0
40 R

 E ( M )  Q e si r  R
r

40 r 2

3 Q
1 Q.r 2
V
(
r
)


si 0  r  R

2 40 R 2 40 R 3
Et 
V (r )  Q si r  R

40 r