Théorème de Gauss

I Les coordonnées sphériques
z
y
x
O
r
M
k
e
e
N
On considère un point M repéré par ses coordonnées sphériques
),,( r
:
OMr
),( OMk
: colatitude.
),( ONi
: longitude.
(N est la projection de M sur
xOy
)
z
y
x
O
r
M
e
r
e
e
Parallèle
cte
cte
Méridien
Base locale :
),,( eeer
(
e
est le même vecteur que dans la base cylindrique)
OM
OM
er
e
tangent au méridien (vers le sud)
e
dirigé suivant un parallèle, vers l’est.
Remarque :
Les vecteurs
eeek r
,,,
sont coplanaires :
2
k
e
r
e
e
kee
eker
.sin.cos
.sin.cos
On a
r
erOM 
Pour un déplacement élémentaire :
rr edredrOMd .. 
eded
eddek
eddedked r
..sin.
..sin)cossin.(
.sin).(cos).sin(
Donc
edredredrOMdr
 ..sin.... 
Gradient d’un champ scalaire en coordonnées sphériques :
Théorème de Gauss

F
r
F
r
r
F
MF
sin
1
1
grad
z
d
d
- Périmètre d’un méridien (½ cercle) :
R
Longueur de la portion de chacun des méridiens :
Rd
(longueur de la corde)
- Périmètre d’un parallèle :
sin2 R
Longueur du parallèle interceptée par le méridien :
dR .sin
(pour le parallèle du bas :
dRddR .sin).sin( 
)
ddR
RddRdS
..sin
..sinDonc
2
Volume élémentaire en coordonnées sphériques :
dddrRdSdrdV ...sin
2
Exemple :
Aire de la sphère de centre O et de rayon R :
2
0
2
0
2
0
24.sin2..sin RdRddRdSSS
II Flux d’un champ de vecteurs
A) Définition
1) Flux élémentaire
Surface infinitésimale d’aire
dS
:
n
On oriente arbitrairement le contenu sur lequel s’appuie
dS
.
On définit le vecteur normal
n
de cet élément de surface :
n
est unitaire,
perpendiculaire à la surface, de sens vérifiant la « règle de la main droite ».
Vecteur élément de surface :
Sd
ou
ndSSd M
.
)( 
Flux élémentaire du champ
E
à travers
Sd
:
dSnESdMEd .)( 
2) Flux à travers une surface
Pour une surface ouverte (qui s’appuie sur un contour fermé) :
orienté
M
dS
n
Découpage de S en surfaces infinitésimales
ndS  .
.
)(
)( M SdMEd 
  SMM
SMS ndSMESdMEE )()()( )()()( 

Pour une surface fermée :
Cette surface définit un volume intérieur et un volume extérieur. Le vecteur
normale est choisit sortant.
n
O
  SMS SdMEE )(
)()( 
B) Théorème de Gauss
On considère une surface S fermée, délimitant un volume V intérieur qui contient
une charge
V
Q
ou
int
Q
:
S
n
Alors
0
)(
V
SQ
E
(S est appelée une surface de Gauss)
Dans les situations de symétrie, le théorème de Gauss permet ainsi un calcul plus
simple de
E
.
III Plan infini uniformément chargé
A) Présentation
POi
j
k
On considère un plan P infini ayant une densité surfacique de charge uniforme
0
.
),,( jiOP 
Un point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cartésiennes
zyx ,,
dans le
repère
),,,( kjiO 
.
B) Calcul de
)(ME
1) Symétries
Soit
),,( zyxM
un point de l’espace.
Les plans
),,( kiM 
et
),,( kjM 
sont des plans de symétrie.
Donc
E
est colinéaire à
k
.
Donc
kzyxEME z
),,()( 
Invariance par translation de direction
i
. Donc
0
x
Ez
De même,
0
y
Ez
Donc
kzEME z
)()( 
, et
)(zEz
est impair.

2) Surface de Gauss
PS
Ssup
Sinf
Slat
sup
S
: surface supérieure horizontale d’aire S dans le plan de constante
0z
lat
S
: surface latérale du cylindre parallèle à
k
inf
S
: surface horizontale d’aire S dans le plan de côte
z
.
suplatinftot SSSS 
est une surface fermée.
suplatinf
)( SSSS
SddddE
En un point P de
inf
S
:
kn P
)(
)()().()( kdSkzEkdSPEd Pz
Or,
)()()( zEzEzE zzPz 
Donc
dSzEd z)(
Donc
SzEdSzEE z
S
zS )()()( inf
inf  
De même,
SzEE zS )()(
sup 
Pour
lat
S
:
kn 
0.)(.)(  ndSkzEndSPEd Pz
Donc
0)(
lat E
S
Donc
SzEE zS )(2)( 
SQQ PV 0int
Donc, d’après le théorème de Gauss :
0
0
)(2
S
SzEz
Donc
0
0
2
)( zEz
.
Ainsi,
0 si
2
0 si
2
)(
0
0
0
0
zk
zk
ME 
On a une discontinuité du champ en 0,
0
0
E
C) Condensateur plan
e
Deux plaques parallèles d’aire S et distantes de e.

Plaque supérieure : densité surfacique
0
, charge
Sq .
Plaque inférieure : densité surfacique
0
, charge
q
Modélisation :
On néglige les effets de bord ; les plaques sont modélisées par des plans infinis.
e
k
0
2
k
0
2
k
0
2
k
0
2
k
0
2
k
0
2
Ainsi, à l’extérieur des deux plaques,
0)( 
ME
, et entre les deux
kME 
0
)(
.
E
0
E
0
E
+
-
Le champ
E
à l’intérieur est uniforme et dirigé de la charge positive vers la charge
négative.
VME M grad)( 
Donc
z
V
y
V
x
V
k
0
Donc V ne dépend que de z et
cte
.
)( 
z
zV
à l’intérieur.
Et de plus
cteV
à l’extérieur (la même, par continuité)
z
)(zV
2/e
2/e
U
q
q
On a :
CqU /
Et
)/(
...
)()(
000
22 eS
q
SeSe
VVVVU ee
qq
Donc
eSC /
0
IV Analogie électrostatique – gravitation