Partie 2 - Académie en ligne

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Séquence 6 – MA12
1ère partie :
Dérivation (2) : application
aux variations des fonctions
2e partie :
Probabilités (2) : loi de
Bernoulli, loi binomiale
Séquence 6
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Séquence 6 – MA12
1ère partie
Dérivation (2) : application
aux variations des fonctions
Sommaire
1. Pré-requis
2. Variations d’une fonction dérivable sur un intervalle
3. Synthèse de la partie 1 de la séquence
4. Exercices d’approfondissement
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Séquence 6 – MA12
1Pré-requis
Sens de variation
1. Définitions
Ces définitions ont déjà été revues dans la partie 2 de la séquence 2.
Elles sont essentielles dans ce chapitre, elles sont donc rappelées ici.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
f est croissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que
a ≤ b, on a f (a) ≤ f (b).
f est strictement croissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I
tel que
ab <, on a fa fb () ().<
f est décroissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments de I tel que
a ≤ b, on a f (a) ≥ f (b).
f est strictement décroissante sur I si, pour tout couple (a ; b) d’éléments
de I tel que ab <, on a fa fb () ().>
Définition
On dit que f est monotone (resp. strictement) sur I lorsque f est (resp. strictement)
croissante sur I ou lorsque f est (resp. strictement) décroissante sur I.
Soient f une fonction définie sur un intervalle I et
x
0 ∈ I.
zSi, pour tout x ∈ I, f (x) ≤ fx ()
0, alors on dit que
fx ()
0 est le maximum
de f sur I.
zSi, pour tout x ∈ I, f (x) ≥ fx ()
0, alors on dit que
fx ()
0 est le minimum
de f sur I.
Dans les deux cas, on dira que fx ()
0 est un extrémum de la fonction f.
Définition
Un extrémum est une des images, c’est une des valeurs prises par la fonction.
Il ne faut pas confondre la valeur de l’extrémum, fx (),
0 avec le nombre
x
0.
A
Remarque
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Séquence 6 – MA12
Soit f définie sur R par : fx x () ( )=−−12
2. Pour tout réel x, on a
fx f () ()≥1 car
f ()12=− et () . x −−≥−122
2 Le minimum de f sur R est donc égal à −2 et ce
minimum est atteint pour x
01=.
2. Variations des fonctions affines
Soit f une fonction affine définie sur  par fx ax b () ,=+ avec a ≠0.
zSi a est strictement positif, la fonction affine f est strictement croissante
sur .
zSi a est strictement négatif, la fonction affine f est strictement décroissante
sur .
Propriétés
i
j
O
y = 2x–1
a > 0
i
j
O
y = –x+2
a < 0
Il est important de mémoriser visuellement ce résultat, de bien faire le lien entre
le signe du coefficient directeur a de la droite et son inclinaison, entre le signe de
a et le sens de variation de la fonction affine.
3. Fonctions
uu et
Si u est une fonction à valeurs positives, alors les fonctions uu et ont les
mêmes variations.
Propriétés
Exemple
Remarque
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Séquence 6 – MA12
Dérivation (1)
L’essentiel de la Partie 1 de la Séquence 4 sera utilisé ici : définitions, calculs de
fonctions dérivées, équations de tangente.
Étude de signes
Il est indispensable de savoir étudier le signe d’une quantité qui dépend d’une
variable.
Les signes connus sont utilisés directement et dans les tableaux de signes.
1. Signes à connaître
 Un carré est toujours positif.
 Une racine carrée est toujours positive.
 Le tableau de signes d’une expression affine ax b + :
tTJMFDPFGmDJFOUa est positif, on a
x
−
∞
−
ba / +
∞
Signe de ax b + − 0+o
tTJMFDPFGmDJFOUa est négatif, on a
x
−
∞
−
ba / +
∞
Signe de ax b + +0−
Le signe de ax b + est le signe de l’ordonnée des points d’une droite de
coefficient directeur a, les figures précédentes permettent de retenir ces signes.
 Un trinôme du second degré ax bx c
2++ est toujours du signe de a sauf entre
les racines si elles existent.
Il faut s’habituer à bien employer le mot « positif » : dire qu’un nombre est positif
signifie qu’il appartient à l’intervalle 0;+∞
,
le nombre 0 étant compris.
Dans les classes précédentes, et même au début de ce cours, on a aussi employé
l’expression « positif ou nul » pour éviter d’éventuelles ambiguïtés.
Nous n’emploierons plus qu’exceptionnellement l’expression « positif ou nul »,
nous emploierons l’expression « positif ». Par exemple, « un carré est toujours
positif » signifie que, pour tout réel
x , x
20≥.
B
C
Rappel
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