Chapitre 1.5b – L`aire sous la courbe en cinématique

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 1.5b – L’aire sous la courbe en
cinématique
Pente et la cinématique
Voici les relations que nous avons établies entre la position, la vitesse et l’accélération :
Position Vitesse Accélération
)(tx
pente de la
tangente
t
x
)(tvx
pente de la
tangente
t
vx
)(tax
Variation de la vitesse et aire sous la courbe d’un graphique )(tax
À partir de la définition de l’accélération x a, nous
pouvons évaluer une variation de la vitesse x vgrâce à
l’équation suivante :
t
v
ax
x
tav xx 
Lorsque l’accélération taxest définie graphiquement, la variation de la vitesse x v
s’évalue grâce à l’aire sous la courbe du graphique de l’accélération.
Si constante)( tax:tav xx  rectangleund'aire
Si constante)( tax: tav xx graphiqueducourbelasousaire
Variation de la position et aire sous la courbe d’un graphique )(tvx
À partir de la définition de la vitesse x v, nous pouvons
évaluer une variation de la position x grâce à l’équation
suivante :
t
x
tvx
ttvx x
Lorsque la vitesse tvxest définie graphiquement, la variation de la position x s’évalue
grâce à l’aire sous la courbe du graphique de la vitesse.
Si constante)( tvx:tvx x rectangleund'aire
Si constante)( tvx: tvx x graphiqueducourbelasousaire

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 2
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Vitesse et aire sous la courbe
À partir d’un graphique d’accélération )(tax, nous pouvons évaluer une variation de
vitesse x vavec l’aire sous la courbe. Pour évaluer une vitesse x và un instant donné, il
faut avoir une information supplémentaire à l’aire sous la courbe : une condition initiale.
Si l’on évalue l’aire sous la courbe d’un graphique d’accélération )(taxentre un temps i t
et f tet que l’on connaît la vitesse xi vau temps i t, nous pouvons évaluer la vitesse xf vau
temps f tde la façon suivante :
fixxixf vvv 
où xf v: Vitesse au temps f t(s) (
fxxf ttvv  )
xi
v: Vitesse au temps i t(s) (
ixxi ttvv  )
fix
v : Variation de la vitesse entre le temps i tet f t(m/s) ( courbelasousaire fix v)
Situation A : Une accélération linéaire.À deux secondes, un mobile se déplace à 6 m/s
dans le sens positif de l’axe des xet subit une accélération de 4 m/s2dans le sens positif de
l’axe x. À quatre secondes, le mobile subit une accélération de 5 m/s2
dans le sens positif
de l’axe x. Sachant que le mobile accélère linéairement, on désire (a) tracer le graphique de
l’accélération en fonction du temps et (b) évaluer la vitesse du mobile à 4 secondes.
Voici la représentation graphique de l’accélération :
Évaluons l’aide sous la courbe du graphique de l’accélération entre 2 et 4 secondes :
B
Hh
vx
2
)42(
24
2
54
)42( 
 x v
m/s9
)42(  x
v
Évaluons la vitesse du mobile à 4 secondes :
fixxixf vvv  4224 
 xxx vvv (Remplacer indices 2 i,4 f)
96
4 x
v(Remplacer 2x vet
42
x v)
m/s15
4 x
v(Évaluer 4x
v)

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Règle et signe de l’aire sous la courbe
Lorsqu’on évalue une variation de vitesse à l’aide de l’aire sous la courbe, elle peut être
positive si elle est au-dessus de l’axe du temps et négative si elle est sous l’axe du temps.
Lorsqu’on évalue la variation de la vitesse à partir du temps de la condition initiale, on doit
ajouter cette variation lorsque l’aire sous la courbe est évaluée dans le sens positif du temps
(aller vers le futur) et on doit la soustraire lorsque l’aire sous la courbe est évaluée dans le
sens négatif du temps (aller vers le passé).
Voici une réécriture des deux règles précédentes qui s’appliquent à toute aire sous la
courbe :
1) Signe de x v
Si l’aire sous la courbe est positif
0 x v
Si l’aire sous la courbe est négative
0 x v
2) Addition ou soustraction de x v
Aire sous la courbe à droite de la vitesse de référence
xxixf vvv
Aire sous la courbe à gauche de la vitesse de référence
xxixf vvv
xxixf vvv  xxixf vvv  xxixf vvv  xxixf vvv 
P.S. Le point rouge est la vitesse initiale connue xi v.
L’aire sous la courbe bleue est la variation de la vitesse
fix
v .
Position et aire sous la courbe
Pour évaluer une position f xà un temps f tà partir d’un graphique de vitesse )(tvx, il
suffit d’évaluer une variation de position
fi
x entre un temps i tet f tet d’additionner ce
résultat à la position i xdéjà connue à l’aide des règles des aires sous la courbe :
fiif xxx 
où f x: Position au temps f t(m) (
fxxf ttvv  )
i
x: Position au temps i t(s) (
ixxi ttvv  )
fi
x : Variation de la position entre le temps i tet f t(m/s) ( courbelasousaire fi x)

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Situation B : Retour vers le passé.Une voiture
téléguidée se déplace horizontalement à la vitesse
décrite par le graphique ci-contre. À 0 t, la
voiture débute sa course et s’immobilise huit
secondes plus tard à la coordonnée m7
8x. On
désire déterminer la position de départ 0 xde la
voiture.
t(s)
0 2 4 6 8
3
2
1
0
vx(m/s)
Évaluons le nombre de carreaux sous la courbe entre 0 et 8 secondes :
#2trianglerectangle#1triangle N
253 53
232
N
carreaux5,25N
Évaluons l’aire que représente un carreau :
s1
s
m
5,0carreau1 
m0,5carreaux1 
Évaluons l’aire sous la courbe entre 0 et 8 secondes en m :
courbelasousaire x 5,05,25x
m75,12x
Évaluons la position 0 xà 0 se sachant que l’aire sous la courbe a été évalue de 8 à 0 seconde :
fiif xxx  0880 
 xxx (Remplacer indices)
xxx  80 (Aire sous la courbe positive, x )
xxx  80 (Vers le passé, x )
75,127
0x(Remplacer 8
xet x )
m75,5
0x(Évaluer 0
x)