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Chapitre 4 : cinématique du solide rigide (2014/2015) – Licence Génie Civil – Prof. Dr. Amar KASSOUL
Chapitre 4 : cinématique du solide rigide
La cinématique est une partie de la mécanique rationnelle. Elle traite le mouvement
mécanique uniquement de point de vue géométrique, sans tenir compte les causes qui ont
provoquées ce mouvement. La cinématique étudie le changement de position géométrique des
corps dans le temps. Or, cela ne peut pas être fait que par rapport à un référentiel où l’on
pourrait déterminer la position du corps mobile.
4.1 Rappels succinct sur les quantités cinématiques pour un point matériel
4.1.1. Trajectoire
Soit un point M repéré dans un référentiel R (O,
z,y,x
)fixe. Sa position est déterminée
par le vecteur position à l'instant t (Figure 4.1.)
(t)z
(t)y
(t)x
(t)rr
(4.1)
Où x(t), y(t) et z(t) sont les coordonnées du point M à l'instant t (Figure 4.1.)
M(t) est la position du point M à l'instant t
M' (t+t) est la position du point M à l'instant (t+t) ;
'MM
est le vecteur déplacement du point M.
() S'appelle trajectoire du mobile par rapport au référentiel.
- Si () est une droite, le mouvement du point est rectiligne;
- Si () est une courbe, le mouvement du point est curviligne.
Figure 4.1. Trajectoire d'un point
x
O
y
z
)t(r
)tt(r 
r
M(t)
M’(t+t)
()

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4.1.2. Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse moyenne du mobile entre les deux instants est défini par :
t
r
t(t)r-ttr t
MM'
vm
Le vecteur à vitesse instantané est :
tdrd t
r
limvlimv 0t
m
0t 
(4.2)
Ce vecteur est constamment tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement.
4.1.3. Vecteur accélération
Le vecteur accélération moyenne du mobile entre t et t+t est défini par :
t
v
t(t)v-ttv
am
L'accélération instantanée est :
t²dr²d td
vd
t
v
limalima 0t
m
0t 
(4.3)
4.1.3. Mouvement circulaire
Une particule M est animée d'un mouvement circulaire si, à tout instant t, elle est située en
un point P appartenant à un cercle (c) de rayon ret de centre O(Figure 4.2). Choisissons un
repère orthonormé d'origine O et de vecteurs unitaires
i
et
j
, se trouvant dans le plan de la
trajectoire circulaire.
Figure 4.2. Mouvement circulaire
Soit
u
le vecteur unitaire de
OP
(Figure 4.2), le vecteur position s'écrit :
urrOP 
(4.4)
x
O
y
u
p
v
P
i
j
(M)
1
u

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Soit l'angle de rotation
u,i
; supposons (t) deux fois dérivable. Le vecteur vitesse
de la particule M au point P, est obtenu par la dérivation de (4.4).
dt
d
d
ud
r
dt
ud
r
dt
rd
v
dud
est le vecteur unitaire
p
, directement perpendiculaire à
u
dans le plan, donc :
p
dt
d
rv 
(4.5)
Il est convenu de représenter le vecteur vitesse
v
en prenant le point P pour origine, de
même que pour le vecteur accélération. Sachant que :
dt
d
dpd dt
pd 
dpd
est le vecteur unitaire
1
u
opposé à
u
, et directement perpendiculaire à
p
dans le plan:
u
dt
d
-
dt
pd 
On calcule, le vecteur accélération de la particule M au point P :
p
dt²
d²
ru
dt
d
r-p
dt²
d²
u
dt
d
-r
dt
vd 22 
(4.6)
dt
d
est la vitesse angulaire où le taux de rotation) ; noté
ou
²dt
²d 
est l'accélération angulaire ; noté
²dt
²d
r
est l'accélération tangentielle ; noté
t
2
dt
d
r
est l'accélération normale ; noté
n
Remarque :
Si (s) est l'abscisse curviligne de Psur le cercle, on a :
dt
ds
dt
d
Rv 
soit :

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p
dt
ds
p
dt
d
Rv 
²dts²d ²dt
²d
R
t
R²v dt
d
R2
n
p
²dts²d
u
R
²v 
Où R est le rayon de courbure de la trajectoire en P; le centre de courbure est sur la
normale orientée suivant
u
en P.

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4.2 Cinématique du corps solide
4.2.1. Notion d'un solide parfait
Un solide (S) parfait, est un ensemble d'éléments matériels, dont les distances mutuelles ne
varient pas au cours du temps. Par conséquent, les vitesses entre ces points se ne sont pas
indépendantes. D’ici, la cinématique du solide traite la distribution des vitesses des points
dans un corps, indépendamment des causes qui ont engendrées le mouvement du solide.
4.2.2. Torseur cinématique – distribution des vitesses
4.2.2.1. Champ des vitesses d'un solide en mouvement
A chaque point du solide (S), on peut associer son vecteur vitesse défini par :
dt
OAd
V0
0
R
R/A 
(4.7)
La définition d’un solide parfait entraîne que la dérivée par rapport au temps de la distance
entre deux de ses points quelconques A et B est nulle :
0VV.AB2
dt
ABd
.AB20
dt
ABd AB
2
Figure 4.3. Champ des vitesses d'un solide en mouvement
R
A
B
O
(S)
x
y
z
O0
R0
0
x
0
y
0
z