Mathématiques pour les Sciences expérimentales

Math´ematiques pour les
Sciences exp´erimentales
H. A. Emamirad
Universit´e de Poitiers

TABLE DES MATI ` ERES 3
Table des mati`eres
1 Espaces euclidien et hermitien 5
1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Formes lin´eaires et bilin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Produit scalaire et la norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Matrices 15
2.1 Transformations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Matrice associ´ee `a une transformation lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Op´erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Inversibilit´e et le d´eterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 R´eduction d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Syst`emes diff´erentiels lin´eaires 35
3.1 Syst`emes diff´erentiels lin´eaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Matrice r´esolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Calcul de exp(tA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Formule de la variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Analyse compartimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 S´eries de Fourier et applications 47
4.1 Fonctions p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 S´eries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 S´eries de Fourier `a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5 Th´eor`emes de convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 L’identit´e de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 TABLE DES MATI ` ERES
4.7 Application `a l’´equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.8 Application `a l’´equation de la corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5 Calcul diff´erentiel et optimisation 61
5.1 Applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Applications diff´erentiable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 Les d´eriv´ees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Interpr´etation g´eom´etrique de la diff´erentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5 Diff´erentielle d’une fonction compos´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.6 D´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.7 Maxima Minima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.8 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Chapitre 1
Espaces euclidien et hermitien
1.1 Espaces vectoriels
Soit Kun corps commutatif d’´el´ements neutres 0 (pour l’addition) et 1 (pour la mul-
tiplication). On se restreint dans ce cours `a K=Rou C.
D´efinition 1.1.1
Soit Eun ensemble muni de deux op´erations : addition (+) et multiplication par un scalaire
dans K. L’ensemble Ea une structure d’espace vectoriel sur K, si
(i) Eest un groupe multiplicatif pour +.
(ii) Pour tout x, y ∈E, on a
α(x+y) = αx +αy, ∀α∈K.
(iii) Pour tout x∈E, on a
α(βy) = (αβ)x, ∀α, β ∈K.
D´efinition 1.1.2
Soit Fun sous-ensemble d’un espace vectoriel E. On dira que Fest un sous-espace
vectoriel de Esi et seulement si
(i)
∀x∈Fet ∀y∈F, alors on a x−y∈F.
(ii)
∀x∈Fet ∀α∈K,alors on a αx ∈F.
Remarquons qu’un sous-espace vectoriel de En’est jamais vide, car il contient au moins
0 (en prenant x=ydans D´efinition 1.1.2, (i)). Alors {0}s’appelle sous-espace trivial
de Eet si un sous-espace vectoriel F6={0}, il s’appelle alors sous-espace propre de E.