Variables à densité - Mathématiques en ECE 2

ECE 2 - Mathématiques
Mr Dunstetter - ENC-Bessières 2014\2015
Variables à densité
Chapitre 9
Variables aléatoires à densité
I Dénitions
1
Rappel sur la fonction de répartition
a) Dénition
Dénition 1
Soit X une variable aléatoire réelle.
La fonction de répartition de X est la fonction, notée FX , dénie sur R par :
∀x ∈ R, FX (x) = P (X ≤ x)
b) Propriétés
Propriété 1 : Calculs de probabilités
P (X = x) = P (X ≤ x) − P (X < x) = FX (x) −
lim
y→x,y<x
FX (y)
Preuve
La première égalité vient de l'égalité d'évènement suivante : (X ≤ x) = (X < x) ∪ (X = x), l'union étant incompatible donc :
et enn P (X = x) = P (X ≤ x) − P (X < x).
P (X ≤ x) = P (X < x) + P (X = x)
Pour la deuxième égalité, il faut écrire :
(X < x) =
+∞
S
X ≤x−
n=0
P (X < x) =
1
n
, l'union étant croissante ce qui permet d'utiliser le théorème de la limite monotone :
lim P X ≤ x −
n→+∞
1
n
=
lim
y→x,y<x
FX (y)
par composition de limites.
D'où P (X = x) = FX (x) − y→x,y<x
lim FX (y).
Conséquence
Si FX est continue, lim FX (y) = FX (x), et P (X = x) = 0 :
y→x,y<x
La probabilité de tomber "pile" sur une valeur est nulle ; c'est le principe des variables à densité que nous
étudierons ici.
Propriété 2
P (X ∈]a; b]) = FX (b) − FX (a)
lim FX (x) = 0 ; lim FX (x) = 1
x→−∞
x→+∞
1
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Variables à densité
Preuve
La première propriété vient de l'égalité (X ≤ b) = (X ≤ a) ∪ (a < X ≤ b) avec une union disjointe.
Pour la deuxième, on établit tout d'abord la croissance de FX : en eet pour tout x ≤ y, (X ≤ x) ⊂ (X ≤ y) donc
et FX est croissante. De plus elle est majorée et minorée 0 ≤ FX (x) ≤ 1 car c'est une probabilité donc elle
admet des limites en −∞ et en +∞.
FX (x) ≤ FX (y)
Enn déterminons ces limites :
+∞
S
(X ≤ n) = R, avec une union croissante donc le théorème de la limite monotone donne :
n=0
P (X ∈ R) = 1 =
De même :
+∞
T
(X ≤ −n) = ∅,
n=0
P (X ∈ ∅) = 0 =
2
lim P (X ≤ n) =
n→+∞
lim FX (n) =
n→+∞
lim FX (x).
x→+∞
avec une intersection décroissante donc le théorème de la limite monotone donne :
lim P (X ≤ −n) =
n→+∞
lim FX (−n) =
n→+∞
lim FX (x)
x→−∞
Variables aléatoires à densité
Dénition 2
Une variable aléatoire réelle est dite à densité s'il existe une fonction fX positive, continue sur R sauf
éventuellement en un nombre ni de points, telle que :
∀x ∈ R, FX (x) =
Rx
−∞
fX (t) dt
La fonction fX est alors appelée une densité de la variable X .
Propriété 3
Soit X une variable aléatoire à densité. Alors :
R +∞
−∞
fX (t) dt = 1
Preuve
x
+∞
En eet on a FX (x) = −∞
fX (t) dt −−−−−→ −∞
fX (t) dt d'une part,
x→+∞
et on a prouvé que pour toute variable X , FX (x) −−−−−→ 1 ;
x→+∞
l'unicité de la limite donne alors le résultat.
R
3
R
Densité de probabilité
Dénition 3
Une fonction f : R → R+ (positive), ayant un nombre ni de points de discontinuité, et telle que
f (t) dt = 1 est appelée densité de probabilité.
−∞
R +∞
En eet, il existe alors une variable aléatoire réelle X à densité telle que f est une densité de X .
On a vu de plus qu'une densité d'une variable aléatoire vérie toujours ces propriétés.
Exemples
(
0 si t ≤ 0
est positive car 0 ≥ 0 et e−t ≥ 0 sur R+ , continue sauf éventuellement en 0 car les
e−t si t > 0
fonctions
t → 0Ret t → e−t Rsont continues, et Ron a sous réserve de convergence :
R +∞
+∞
0
+∞
f (t) dt = −∞ 0 dt + 0 e−t dt = 0 + 0 e−t dt.
−∞
R x −t
Or 0 e dt = [−e−t ]x0 = 1 − e−x −−−−−→ 1 donc l'intégrale converge et vaut 1.
1. f (t) =
x→+∞
(
0 si t < 1
est positive car 0 ≥ 0 et t23 ≥ 0 sur [1; +∞[, continue sauf éventuellement en 1 car les
2
si t ≥ 1
t3
fonctions t → 0 et t → t23 sont continues, et on a sous réserve de convergence :
R +∞
R1
R +∞ 2
R +∞ 2
g(t) dt = −∞ 0 dt + 1
dt = 0 + 1
dt.
−∞
t3
t3
1 x
Rx 2
Or 1 t3 dt = − t2 1 = 1 − x12 −−−−−→ 1 donc l'intégrale converge et vaut 1.
2. g(t) =
x→+∞
2
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Variables à densité


0 si t ≤ −1
3. h(t) = |t| si − 1 < t < 1 est positive sur R car 0 ≥ 0 et |t| ≥ 0 et continue sauf éventuellement en −1


0 si t ≥ 1
et en 1 par continuité de la fonction nulle et de la valeur absolue.
h 2 i1
h 2 i0
R +∞
R −1
R1
R +∞
R0
R1
+ x2
= 12 + 12 = 1
De plus −∞ h(t) dt = −∞ 0 dt + −1 |t| dt + 1 0 dt = −1 −t dt + 0 t dt = − x2
−1
donc l'intégrale converge et vaut 1.
0
Les fonctions f , g , h sont donc des densités de probabilités, et peuvent être considérées comme des densités
de variables aléatoires.
4
Espérance
a) Dénition
Dénition 4
Soit X une variable aléatoire réelle à densité, et fX une densité
R +∞de X .
On dit que X admet une espérance si l'intégrale généralisée −∞
tf (t) dt converge absolument.
R +∞
On note alors E(X) = −∞ tf (t) dt l'espérance de X .
Remarque
En fait la convergence absolue de cette intégrale est équivalente à sa convergence.
En eet sur [0; +∞[, tf (t) ≥ 0 est positive donc la valeur absolue est égale à la fonction : la convergence absolue
en +∞ est donc équivalente à la convergence.
De même sur ]−∞; 0], tf (t) ≤ 0 est négative donc la valeur absolue est égale à l'opposé de la fonction : la convergence
R
R
absolue en −∞ est alors équivalente à la convergence de −tf (t), elle-même équivalente à la convergence de tf (t).
b) Exemples
(
1. On pose f (t) =
va noter X .
e−t si t ≥ 0
0 sinon
; on a vu que f est la densité de probabilité d'une variable aléatoire, qu'on
Sous réserve
R +∞de convergence
R 0 on a : R +∞
R +∞
E(X) = −∞ tf (t) dt = −∞ 0 dt + 0 te−t dt = 0 te−t dt.
R x −t
De plus 0 te dt se calcule à l'aide d'une intégration par parties :
On pose
= t et v = −e−t
de classe C 1 sur R donc sur [0; x] et on a u0 = 1 et v 0 = e−t .
quiR xsont
R x u −t
x
−t
−t x
D'où 0 te dt = −te 0 + 0 e dt = −xe−x + 0 + −e−t 0 = −xe−x + 1 − e−x −−−−−→ 1 par croissances
x→+∞
comparées et sommes de limites.
De plus par positivité de f la convergence absolue est équivalente à la convergence, donc X admet une
espérance et E(X) = 1.
(
2. Exemple de variable sans espérance : soit g(t) =
si t ≥ 1
0 sinon
1
t2
.
R +∞
La fonction est positive sur R car 0 et t12 sont positives, et continue sauf éventuellement en 1, et −∞ g(t) dt =
R +∞ 1
R1
0 dt + 1
dt.
−∞ R
t2
x
x
Puis 1 t12 dt = − 1t 1 = 1 − x1 −−−−−→ 1 donc l'intégrale converge vers 1 et g est bien une densité de
x→+∞
probabilité d'une variable aléatoire, qu'on notera Y .
Sous réserve
on R:
R 1 de convergence,
R +∞ 1
+∞
E(Y ) = −∞ 0 dt + 1
dt
= 1
t
Y n'admet pas d'espérance.
1
t
dt qui diverge comme intégrale de Riemann en +∞ avec α = 1, donc
c) Variable centrée
Dénition 5
Si E(X) = 0, on dit que la variable X est centrée.
De plus si X est une variable admettant une espérance, la variable Y = X − E(X) est centrée. On
l'appelle la variable centrée associée à X.
3
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Variables à densité
d) Théorème de transfert
Propriété 4
Soit X une variable aléatoire réelle à densité, de densité fX , et g une fonction continue sauf éventuellement en un nombre ni de points.
Alors g(X)R est une variable aléatoire.
+∞
Si de plus −∞ g(t) fX (t) dt est absolument convergente, alors g(X) admet une espérance et :
E[g(X)] =
R +∞
−∞
g(t) fX (t) dt
Exemple
Montrons que E(aX + b) = aE(X) + b si X est une variable à densité :
On pose g(t) = at + b, et on a aX + b = g(X).
R +∞
Or on a −∞ |g(t)fX (t)| converge car |at + b|fX (t) ≤ |a| |t|f (t) + |b|f (t) et les deux termes sont des fonctions dont
l'intégrale sur R converge (la première par existence de l'espérance de X et la deuxième par la dénition de la
densité de probabilité).
D'où aX + b admet une espérance, et :
R +∞
R +∞
R +∞
E(aX + b) = −∞ (at + b)fX (t) dt = a −∞ tf (t) dt + b −∞ fX (t) dt = aE(X) + b.
5
Moments d'ordre
r
Dénition 6
Soit r un entier naturel et X une variable à densité.
r
On
R +∞ditr que X admet un moment d'ordre r si l'intégrale X admet une espérance, c'est-à-dire si
t fX (t) dt est absolument convergente.
−∞
Dans ce cas on note :
mr (X) = E(X r ) =
R +∞
−∞
tr fX (t) dt
le moment d'ordre r de X .
Propriété 5
Si X admet un moment d'ordre r, alors X admet un moment d'ordre r0 pour tout r0 ≤ r.
Preuve
On a tr = o(tr ) en +∞ donc tr f (t) = o(tr f (t)) et le théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives en +∞
et en −∞ donne le résultat.
0
6
0
Variance
Dénition 7
Soit X une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre 2 ; alors X et X 2 admettent une
espérance.
On dit alors que X admet une variance et on pose :
V (X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 = E [X − E(X)]2
Dénition 8
Soit X une variable aléatoire réelle admettant une variance. On pose alors :
σ(X) =
p
V (X)
l'écart-type de la variable X .
4
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Variables à densité
Exemples
(
e−t si t ≥ 0
est une densité d'une variable X qui admet une espérance (qui vaut 1).
0 sinon
On a sousRréserve de convergence
:
R0
R +∞
+∞
E(X 2 ) = −∞ t2 f (t) dt = −∞ 0 dt + 0 t2 e−t dt.
R x 2 −t
On calcule 0 t e dt par intégration par parties en posant :
u = t2 , v = −e−t de classe C 1 sur R donc sur [0; x] et u0 = 2t et v 0 = e−t .
x R x
R +∞
R x 2 −t
Rx
2
t e dt = −t2 e−t 0 + 0 te−t dt = −x2 e−x + 2 0 te−t dt −−−−−→ 0 te−t dt = 2.
0
1. f (t) =
x→+∞
On en déduit que X admet une variance et V (X) = E(X ) − [E(X)]2 = 2 − 12 = 1.
2
(
2. g(t) =
si t ≥ 1
0 sinon
2
t3
est une densité d'une variable aléatoire Y qui admet une espérance (à vérier, elle
vaut 2).
De plus on a pour t ≥ 1, t2 g(t) = 2t dont l'intégrale en +∞ diverge (intégrale de Riemann) : on en déduit
que Y n'admet pas de moment d'ordre deux, ni de variance.
Dénition 9
Soit X une variable aléatoire admettant un moment d'ordre deux. Si E(X) = 0 et V (X) = 1, on dit
que la variable X est centrée réduite.
De plus si X est une variable admettant un moment d'ordre deux, la variable X ∗ = X−E(X)
est centrée
σ(X)
réduite. On l'appelle la variable centrée réduite associée à X.
Remarque
Cette variable centrée réduite sera très importante pour deux types de problèmes :
- l'utilisation de lois normales.
- le théorème central limite et les approximations qui s'en déduiront.
Ces problèmes, jusqu'ici cantonnés à une part extrêmement réduites dans les sujets classiques (Ecricome - EML
- Edhec), étaient centraux dans l'exercice de probabilités à EML 2012 : cela pourrait donner des idées à tous les
concepteurs de sujets....
5
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Variables à densité
II Calculs sur les variables à densité
1
Calculs de probabilités
a) P (X = x0 )
Propriété 6
Soit X une variable aléatoire à densité. Alors pour tout xn ∈ R on a :
P (X = x0 ) = 0
La probabilité de tomber "pile" en une valeur est nulle pour toute valeur.
Preuve
La fonction FX est continue sur R car c'est une fonction dénie par une intégrale : on a vu qu'on obtient alors P (X = x0 ) = 0
pour tout x0 ∈ R (voir I 1).
b) P (X ∈ [a; b])
Propriété 7
Soit X une variable aléatoire à densité,. Alors pour tout a < b ∈ R on a :
P (X ∈]a; b[) = P (X ∈]a; b]) = P (X ∈ [a; b[) = P (X ∈ [a; b]) =
Rb
a
fX (t) dt
Preuve
L'égalité des quatre probabilités provient de la propriété précédente : en eet la probabilité de tomber en a ou b vérie
P (X = a) = P (X = b) = 0.
De plus on a vu précédemment que P (X ∈]a; b]) = FX (b) − FX (a) =
Rb
Rb
−∞ fX (t) dt = a fX (t) dt.
Rb
−∞
fX (t) dt −
Ra
−∞
f X(t) dt =
R −∞
a
fX (t) dt +
c) P (X > x)
Propriété 8
Soit X une variable aléatoire à densité,. Alors pour tout x ∈ R on a :
P (X > x) = P (X ≥ x) = 1 − FX (x)
Preuve
En eet (X > x) = (X ≤ x) donc P (X > x) = 1 − P (X ≤ x) = 1 − FX (x).
D'autre part P (X ≥ x) = P (X > x) + P (X = x) = P (X > x) + 0 = 1 − FX (x).
2
Manipulation des densités et des fonctions de répartitions
a) Lien entre fonction de répartition et densité
La dénition de la variable à densité permet de déterminer, connaissant une fonction f , si c'est une densité
R x de probabilité puis la fonction de répartition associée : on calcule (en séparant proprement les cas)
f (t) dt.
−∞ X
On cherche maintenant à réaliser l'opération en sens inverse :
On connaît la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle ; on cherche alors à savoir :
- si elle est à densité.
- si oui, calculer une densité de la variable à partir de la fonction de répartition.
On va alors donner le théorème suivant :
6
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Variables à densité
Théorème 9
Soit X une variable aléatoire réelle de fonction de répartition FX dénie sur R.
Alors X est une variable à densité si et seulement si :
(
− F est continue sur R
− F est de classe C 1 sur R, sauf éventuellement en un nombre ni de points
De plus, en posant f (x) = F 0 (x) aux points où F est de classe C 1 , et n'importe quelle valeur positive
aux autres points, on obtient une densité de X .
Exemple
(
Soit X une variable aléatoire vériant FX (t) =
1 − 1t si t ≥ 1
0 sinon
.
Montrons que la variable X est à densité :
La fonction FX est de classe C 1 et donc également continue sur R sauf éventuellement en 1 car les fonctions
t → 1 − 1t et t → 0 sont de classe C 1 (et même C ∞ ).
Étudions la continuité en 1 :
On a FX (1) = 0, et lim 1 − 1t = lim 0 = 0 = FX (1) donc FX est continue en 1, et donc sur R.
t→1,t>1
t→1,t<1
On en déduit que X est une variable aléatoire à densité.
Calculons
( une densité de X : pour cela on dérive fX , et au point 1 on donne la valeur qu'on veut : par exemple
1
2 si t ≥ 1
f (t) = t
est une densité de X .
0 sinon
b) Calculs sur les variables aléatoires Y
= g(X)
Méthode
Lorsqu'on donne une variable aléatoire Y = g(X) avec X à densité, pour déterminer Y il faut se ramener
à des calculs de probabilité (en résolvant l'équation Y = g(X) a priori).
Or seule la fonction de répartition correspond à des calculs de probabilités ! Il faudra donc passer par la
fonction de répartition de Y, déterminée à partir de celle de X .
Par contre si on cherche à déterminer uniquement l'espérance et/ou la variance de Y sans chercher sa loi,
on utilisera le théorème de transfert, utilisé avec la densité de probabilité.
On doit donc retenir que :
Les calculs de probabilités et de loi se font à partir des fonctions de répartitions
Les calculs d'espérance et de variance se sont à partir des densités de probabilités
Exemple
(
Soit X une variable à densité dont fX (t) =
si t ≥ 1
0 sinon
1
t2
est une densité.
On va chercher une densité des variables Y = eX , Z = X 2 et A = −2X + 3.
Pour cela on doit obligatoirement passer par les fonctions de répartition ; il est complètement faux par exemple
d'écrire fY (t) = efX (t) ou tout autre formule utilisant vaguement l'exponentielle et fX . On va donc calculer la
fonction de répartition de X :
Rx
Pour tout x < 1, FX (x) = −∞ 0 dt = 0.
R1
Rx
Pour tout x ≥ 1, FX (x) = −∞ 0 dt + 1
1
t2
dt = 1 −
FX (x) =
1
x
donc on a :
(
1 − x1 si x ≥ 1
0 sinon
7
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Variables à densité
On écrit pour tout y ∈ R :
FY (y) = P (Y ≤ y) = P (eX ≤ y).
Pour se débarrasser de l'exponentielle, il faut composer par ln, ce qui n'est possible que si y > 0 ; on règle l'autre
cas :
Si y ≤ 0, alors (eX ≤ y) est impossible donc FY (y)(
= P (eX ≤ y) = 0.
(
1 − ln1y si ln y ≥ 1
1 − ln1y si y ≥ e
Si y > 0, alors FY (y) = P (X ≤ ln y) = FX (ln y) =
=
.
0 si ln y < 1
0 si 0 < y < e
(
1 − ln1y si y ≥ e
en rassemblant tous les cas. Cette fonction est de classe
On obtient nalement FY (y) =
0 sinon
C 1 donc continue sur R sauf éventuellement en 1 car les fonctions y → 1 − ln1y et y → 0 sont de classe C 1 .
La continuité en 1 est obtenue grâce à lim 0 = lim 1− ln1y = 0 = FY (1), et Y est donc une variable à densité.
y→1,y<e
y→1,y>e
(
1
2 si t ≥ e
Enn en dérivant on obtient que fY (t) = t(ln t)
est une densité de Y .
0 sinon
On écrit pour tout z ∈ R :
FZ (z) = P (Z ≤ z) = P (X 2 ≤ z).
Pour se débarrasser du carré, il faut composer par √ , ce qui n'est possible que si z ≥ 0 ; on règle l'autre cas :
Si z < 0, alors (X 2 ≤ z) est impossible
donc F
(z) = P (X 2 ≤ z) = 0.
√
√Z
√
√
√
√
√
Si z ≥ 0, alors FZ (z) = P (|X| ≤ z) = P (− z ≤ X ≤ z) = FX ( z) − FX (− z) = FX ( z) car − z ≤ 0 < 1.
(
(
√
1 − √1z si z ≥ 1
1 − √1z si z ≥ 1
√
D'où FZ (z) = FX ( z) =
=
car on a z ≥ 0.
√
0 si z < 1
0 si 0 ≤ z ≤ 1
(
1 − √1z si z ≥ 1
en rassemblant tous les cas. Cette fonction est de classe
On obtient nalement FZ (z) =
0 sinon
C 1 donc continue sur R sauf éventuellement en 1 car les fonctions z → 1 − √1z et z → 0 sont de classe C 1 .
La continuité en 1 est obtenue grâce à lim 0 = lim 1− √1z = 0 = FZ (1), et Z est donc une variable à densité.
z→1,z<1
z→1,z>1
(
1
√ si t ≥ 1
est une densité de Z .
Enn en dérivant on obtient que fZ (t) = 2t t
0 sinon
On écrit pour tout x ∈ R :
FA (x) = P (A ≤ x) = P (−2X + 3 ≤ x) = P (−2X ≤ x − 3) = P X ≥
(
On en déduit que FA (x) = 1 −
1−
1
3−x
2
si
3−x
2
≥1
(
3−x
2
=1−P X ≤
3−x
2
= 1 − FX
3−x
2
.
si x ≤ 1
1 si x > 1
2
3−x
. Cette fonction est de classe C 1
0 si
<1
2
et x → 0 sont de classe C 1 .
donc continue sur R sauf éventuellement en 1 car les fonctions x → 3−x
2
La continuité en 1 est obtenue grâce à lim 1 = lim 3−x = 1 = FA (1), et A est donc une variable à densité.
x→1,x>1
x→1,x<1
(
2
2 si t ≤ 1
Enn en dérivant on obtient que fA (t) = (3−x)
est une densité de A.
0 sinon
3−x
2
=
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Variables à densité
III Lois usuelles
1
Loi uniforme
La loi uniforme est la loi du tirage au hasard d'un nombre dans un intervalle :
X(Ω) = [a; b] un segment.
X a autant de chance de tomber n'importe où dans l'intervalle [a; b].
On reconnaît ici le tirage aléatoire d'un nombre réel entre a et b, simulé en pascal par la fonction
random.
a) Densité
Pour traduire ce qui est donné ci-dessus il faut poser :
fX (t) = 0 si t ∈
/ [a; b] ; fX (t) = cste = k si t ∈ [a; b].
Il reste à s'assurer que l'on obtient une variable aléatoire à densité : il faut fX positive donc k ≥ 0,
fX continue sauf éventuellement en un nombre ni de points ce qui est vrai (ici les points à écarter sont
a et b), et :
R +∞
Ra
Rb
R +∞
1
f (t) dt = −∞ 0 dt + a k dt + a 0 dt = k(b − a) doit être égal à 1, ce qui impose k = b−a
.
−∞ X
1
Enn on a a ≤ b donc b−a ≥ 0 et toutes les conditions sont bien vériées.
On obtient la densité de la loi uniforme sur [a; b], notée U[a;b] :
(
1
si x ∈ [a; b]
fX (x) = b−a
0 sinon
Cas particulier : loi uniforme sur [0; 1], notée U[0;1] :
(
fX (x) =
1 si x ∈ [0; 1]
0 sinon
b) Fonction de répartition
Pour calculer la fonction de
R x répartition il faut séparer 3 cas :
- Si x ≤ a, on a FX (x) = −∞ 0 dt = 0.
Ra
R x dt
= 0 + x−a
- Si a ≤ x ≤ b, on a FX (x) = −∞ 0 dt + a b−a
b−a .
Ra
R b dt
Rx
- Si x ≥ b, on a FX (x) = −∞ 0 dt + a b−a + b 0 dt = 0 + 1 + 0 = 1.
On obtient la fonction de répartition de la loi uniforme sur [a; b] :


0 si x < a
FX (x) = x−a
b−a si x ∈ [a; b]


1 si x > b
Cas particulier : loi uniforme sur [0; 1] :


0 si x < 0
FX (x) = x si x ∈ [0; 1]


1 si x > 1
c) Espérance
Propriété 10
Une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur [a; b] admet une espérance et :
E(X) =
a+b
2
Preuve
admet des moments de tous ordres car elle est de support borné [a; b], et fX est bornée sur ce support.
h 2 ib
Ra
R
R
(a+b)(b−a)
b2 −a2
t
1
t
De plus E(X) = −∞
0 dt + ab b−a
dt + b+∞ 0 dt = b−a
= 2(b−a)
= 2(b−a) = a+b
.
2
2
X
a
9
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Variables à densité
Remarque
Ce résultat est intuitif : on a autant de chances de tomber partout dans [a; b] donc l'espérance est la valeur moyenne
.
de l'intervalle, égale à a+b
2
d) Variance
Propriété 11
Une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur [a; b] admet une variance et :
V (X) =
(b−a)2
12
Preuve
On a vu que X admet des moments de tous ordres, donc un moment d'ordre deux et une variance. De plus par théorème de
transfert,
E(X 2 ) =
Z
a
Z
b
0 dt +
−∞
a
t2
dt +
b−a
On en déduit alors par formule de Koenig-Huyghens que :
V (X)
+∞
Z
0 dt =
b
1
b−a
t3
3
b
=
a
b3 − a3
3(b − a)
b3 − a3
(a + b)2
4b3 − 4a3 − 3(b − a)[a2 + 2ab + b2 ]
b3 − 3ab2 + 3a2 b − a3
−
=
=
3(b − a)
4
12(b − a)
12(b − a)
=
E(X 2 ) − [E(X)]2 =
=
(b − a)2
(b − a)[b2 − 2ab + a2 ]
=
.
12(b − a)
12
e) Stabilité par les transformations anes
Propriété 12
Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a; b]. Alors toute transformée ane de X ,
Y = cX + d avec c 6= 0, suit une loi uniforme.
De plus pour savoir laquelle, il sut de déterminer Y (Ω), qui est l'image de X(Ω) = [a; b] par la
fonction f (x) = cx + d.
Remarques
1. Attention, pour déterminer l'image de [a; b] par f , il ne sut pas de déterminer l'image des bornes a et b :
il faut aussi justier de la monotonie et de la continuité de f pour s'assurer que Y (Ω) est bien l'intervalle
dont f (a) et f (b) sont les bornes (pas forcément dans cet ordre).
2. Il est par exemple très important en vue des simulations informatiques (et en mathématiques pour généraliser
facilement des résultats sur U[0;1] à U[a;b] de savoir écrire que :
X ,→ U[a;b] ⇐⇒ Y =
2
X −a
,→ U[0;1]
b−a
donc
Y ,→ U[0;1] ⇐⇒ X = (b − a)Y + a ,→ U[a;b] .
Loi exponentielle
a) Densité
Dénition 10
Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ, notée E(λ), avec λ > 0, si elle admet
pour densité la fonction :
(
λe−λt si t ≥ 0
f (t) =
0 sinon
Preuve
Cette fonction est bien une densité de probabilité car elle est positive sur R (0 ≥ 0, λ > 0 donc λe−λt ≥ 0 sur R+ ), continue
sauf éventuellement en 0 car t → 0 et t → λe−λt sont continues et de plus :
R +∞
R0
R
R
fX (t) dt = −∞
0 dt + 0+∞ λe−λt dt = 0+∞ λe−λt dt, avec :
R−∞
x
x
−λt dt = −e−λt
= 1 − e−λx −−−−−→ 1 donc l'intégrale converge vers 1.
0 λe
0
x→+∞
10
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Variables à densité
b) Fonction de répartition
Dénition 11
Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0, si sa fonction de
répartition est la fonction :
(
1 − e−λx si x ≥ 0
F (x) =
0 sinon
Preuve
Cette fonction est bien une fonction de répartition car elle est croissante (vérier sa dérivée) et de limites 0 en −∞ et 1 en
(évidentes).
X est alors à densité car F de classe C 1 sauf éventuellement en 0 car x → 0 et x → e−λt sont de classe C 1 , et la continuité
en 0 est obtenue par lim 0 = lim 1 − e−λx = 0 = F (0) et F est bien continue et de classe C 1 sauf éventuellement
x→0,x<0
x→0,x>0
en 0, donc c'est la fonction de répartition d'une variable à densité.
+∞
Vérions que f est une densité de X :
On dérive et on obtient que f est une densité de X , et X suit bien la loi exponentielle de paramètre λ.
On aurait aussi pu calculer la fonction de répartition à partir de f , et s'assure qu'on obtient F :
Rx
Rx
f (t) dt = −∞
0 dt = 0.
Pour tout x < 0, −∞
Rx
R0
R
x
Pour tout x ≥ 0, −∞ f (t) dt = −∞
0 dt + 0x λe−λt dt = 0 + −e−λt 0 = 1 − e−λx .
c) Espérance
Propriété 13
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0.
Alors X admet une espérance, et :
E(X) =
1
λ
Preuve
Comme d'habitude, l'absolue convergence est équivalente à la convergence.
R +∞
R0
R
Sous réserve de convergence, on a E(X) = −∞
tf (t) dt = −∞
0 dt + 0+∞ λte−λt dt.
On calcule 0x λte−λt dt grâce à une intégration par parties en posant :
0 = 1, v 0 = λe−λt .
u = t, v = −e−λt qui sont de classe C 1 sur R donc sur [0; x] et
ix
h u−λt
Rx
x R x −λt
−e
−λt
−λt
−λx
= −xe−λx −
D'où 0 λte
dt = −te
+ 0 e
dt = −xe
+
λ
0
0
comparées et sommes de limites.
R
e−λx
λ
+
1
λ
−−−−−→
x→+∞
1
λ
par croissances
On en déduit que X admet une espérance et que E(X) = λ1 .
d) Variance
Propriété 14
Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0.
Alors X admet une variance, et :
V (X) =
1
λ2
Preuve
La méthode présentée ici est très importante et devra être connue, car elle est très souvent utilisée dans les
sujets de concours
.
On obtient l'existence du moment d'ordre n pour tout n à l'aide d'une comparaison avec
tn f (t)
= tn+2 f (t) = λtn+2 e−λt −−−−−→ 0 par croissances comparées.
1
t2
1
t2
en +∞ :
t→+∞
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Variables à densité
On en déduit par théorème de comparaison des intégrales de fonctions positives que l'intégrale 0+∞ tn f (t) dt converge,
R
donc converge absolument car c'est une fonction positive, car elle n'est généralisée qu'en +∞ et 1+∞ t12 dt converge (c'est
une intégrale de Riemann).
R
D'autre part
R0
−∞
tn f (t) dt =
R0
−∞
0 dt
converge absolument et vaut 0.
On obtient l'existence du moment d'ordre n pour tout n.
Pour la valeur de l'intégrale, il faut obtenir une relation de récurrence entre les moments d'ordre n + 1 et n ; ce calcul
hyper classique dans les sujets Essec et HEC a été fait dans le TD d'intégrales généralisées (et n'est d'ailleurs pas si dicile
que ça) et sera revu dans plusieurs sujets de concours.
Remarque
Les valeurs de l'espérance et de la variance de la loi exponentielle sont des formules de cours, qui s'utilisent directement. Notons qu'elles peuvent permettre de calculer d'autres intégrales qui s'écriraient à l'aide de l'exponentielle !
e) Variables sans mémoire
Dénition 12
Une variable aléatoire X telle que X(Ω) = R+ est dite sans mémoire si :
∀t, x ∈ R+ , P (X ≥ t) = P(X≥x) (X ≥ x + t)
ou encore (c'est équivalent) :
∀t, x ∈ R+ , P (X ≥ x + t) = P (X ≥ x)P (X ≥ t)
Propriété 15
Toute variable suivant la loi exponentielle de paramètre λ est sans mémoire.
Preuve
On a P (X ≥ x + t) = 1 − FX (x + t) = 1 − (1 − e−λ(x+t) ) = e−λx−λt = e−λx e−λt .
De même P (X ≥ x) = 1 − (1 − e−λx ) = e−λx et P (X ≥ t) = e−λt donc P (X ≥ x + t) = P (X ≥ x)P (X ≥ t).
Remarque
La réciproque est aussi vraie, ou plus exactement on a :
Si X est une variable aléatoire sans mémoire, qui n'est pas la variable nulle, alors X suit une loi exponentielle,
avec un certain paramètre λ.
La preuve de cette propriété n'est pas évidente du tout mais elle est très intéressante ; elle s'appuie sur le concept
d'équation diérentielle et une astuce de calcul de dérivée d'une fonction à deux variables.
Les meilleurs élèves la verront dans un sujet Essec et éventuellement en colle, ainsi qu'à la n de l'année lors des
révisions.
3
Loi normale (ou de Laplace- Gauss)
a) Loi normale centrée réduite
Dénition 13
Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N0,1 si elle admet pour densité la fonction :
2
f (t) =
t
√1 e− 2
2π
sur R
On note Φ sa densité, qu'on ne sait pas calculer explicitement, mais qui est tabulée.
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Variables à densité
Propriété 16
La parité de la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite permet d'obtenir les résultats
suivants :
∀x ∈ R, P (X ≥ x) = P (X ≤ −x) donc Φ(−x) = 1 − Φ(x)
∀x ∈ R+ , P (−x ≤ X ≥ x) = 2Φ(x) − 1
P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = Φ(0) =
1
2
Preuve
La première se démontre avec le changement de variable u = −t dans le calcul de P (X ≥ x) = x+∞ f (t) dt.
La deuxième s'obtient en écrivant P (−x ≤ X ≤ x) = Φ(x) − Φ(−x) = Φ(x) − (1 − Φ(x)) = 2Φ(x) − 1.
La troisième est une conséquence de la formule Φ(−x) = 1 − Φ(x) : appliquée en 0, on obtient :
R
Φ(0) = 1 − Φ(0) ⇐⇒ 2Φ(0) = 1 ⇐⇒ Φ(0) =
1
.
2
Propriété 17 : Moments
Soit X une variable aléatoire réelle suivant la loi normale centrée réduite, alors X est centrée réduite
donc :
E(X) = 0 et V (X) = 1
Preuve
L'existence des moments d'ordre n s'obtient de la même manière que pour la loi exponentielle. L'espérance s'obtient avec
l'imparité de la fonction t → tf (t), la variance avec une relation de récurrence liant les moments d'ordre n + 2 et n.
b) Loi normale Nm,σ
2
Dénition 14
Une variable aléatoire X suit la loi normale Nm,σ2 si elle admet pour densité la fonction :
f (t) =
√ 1
e−
2πσ 2
(t−m)2
2σ 2
sur R
Remarques
1. Cette fois-ci on ne donne pas de nom à la fonction de répartition ; on verra qu'on pourra en fait se ramener
à celle de la loi normale centrée réduite.
2. La fonction n'est plus paire, mais il y maintenant une symétrie autour de x = m.
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Variables à densité
Propriété 18 : Moments
Soit X une variable aléatoire réelle suivant la loi normale Nm,σ2 , alors :
E(X) = m et V (X) = σ 2
Preuve
On utilise le changement de variable u =
t−m
σ
dans les calculs d'intégrales.
c) Stabilité de la loi normale par somme et transformations anes
Propriété 19 : Stabilité de la loi normale par transformation ane.
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale Nm,σ2 . Alors toute transformée ane de X ,
Y = cX + d avec c 6= 0, suit une loi normale.
De plus pour savoir laquelle, il sut de déterminer ses paramètres, qui sont son espérance et sa
variance : l'espérance vaut cE(X) + d par linéarité de l'espérance, la variance c2 V (X) par propriétés
des la variance.
Preuve
Toujours avec le même changement de variable.
Propriété 20
Soit X une variable suivant une loi normale Nm,σ2 .
Alors la variable centrée réduite associée à X , X ∗ =
permet d'écrire :
∀x ∈ R, P (X ≤ x) = P
X−m
σ
≤
x−m
σ
X−m
σ ,
suit la loi normale centrée réduite. Cela
= P X∗ ≤
x−m
σ
=Φ
x−m
σ
Preuve
X ∗ est une transformation ane de X donc elle suit une loi normale ; de plus comme c'est la variable centrée réduite associée
à X , par dénition (on le reprouve facilement avec la linéarité de l'espérance et la propriété de la variance) on a :
m0 = E(X ∗ ) = 0
et
(σ 0 )2 = V (X ∗ ) = 1
donc
X ∗ ,→ N0,1 .
Propriété 21 : Stabilité de la loi normale somme indépendante.
La somme de deux variables aléatoires (et plus généralement de n variables aléatoires) indépendantes
suivant des lois normales suit encore une loi normale.
De plus pour déterminer ses paramètres, il sut d'utiliser la linéarité de l'espérance et la variance de
la somme de variables aléatoires indépendantes.
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