Polycopié de cours

MÉCANIQUE DU SOLIDE
HERVÉ OUDIN

Table des matières
I INTRODUCTION ...............................................................................................................................................................1
I-1 CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES........................................................................................................................................1
I-2 NOTION DE RÉFÉRENTIEL ESPACE - TEMPS ......................................................................................................................3
L’espace..........................................................................................................................................................................3
Le temps..........................................................................................................................................................................4
I-3 NOTION DE MASSE ..........................................................................................................................................................4
I-4 NOTION DE FORCE...........................................................................................................................................................5
I-5 PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE « PFD »...................................................................................................5
I-6 PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS « PTV »..................................................................................................................7
BIBLIOGRAPHIE ....................................................................................................................................................................7
NOTES PERSONNELLES .........................................................................................................................................................8
II BASES MATHÉMATIQUES ...........................................................................................................................................9
II-1 VECTEURS .....................................................................................................................................................................9
II-1.1 Propriétés de E .....................................................................................................................................................9
II-1.2 Notations : vectorielle, matricielle, indicielle.....................................................................................................10
II-1.3 Changement de bases..........................................................................................................................................12
II-1.4 Produits de vecteurs............................................................................................................................................15
II-2 CHAMPS DE VECTEURS – TORSEURS............................................................................................................................17
II-2.1 Définitions...........................................................................................................................................................17
II-2.2 Propriétés des torseurs .......................................................................................................................................18
II-2.3 Classification des torseurs..................................................................................................................................19
II-3 DÉRIVÉES - DIFFÉRENTIELLES......................................................................................................................................20
II-3.1 Fonction à une variable......................................................................................................................................20
II-3.2 Fonction à plusieurs variables............................................................................................................................21
II-4 CALCUL DES INTÉGRALES............................................................................................................................................21
II-4.1 Les volumes.........................................................................................................................................................22
II-4.2 Les surfaces ........................................................................................................................................................22
II-4.3 Les lignes planes.................................................................................................................................................23
II-4.4 Application à la géométrie des masses ...............................................................................................................23
BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................................................................................25
NOTES PERSONNELLES .......................................................................................................................................................26
III ACTIONS MÉCANIQUES - PARAMÉTRAGE.........................................................................................................27
III-1 ACTIONS MÉCANIQUES ..............................................................................................................................................27
III-1.1 Classification.....................................................................................................................................................27
III-1.2 Petits rappels sur le champ de gravitation et pesanteur....................................................................................29
Le champ de Gravitation ..............................................................................................................................................29
Champ de Gravitation terrestre....................................................................................................................................29
Champ de Pesanteur terrestre ......................................................................................................................................30
III-1.2 Liaisons géométriques élémentaires..................................................................................................................30
Liaisons simples parfaites.............................................................................................................................................30
III-1.2 Liaisons composées ...........................................................................................................................................33
III-2 PARAMÉTRAGE – DESCRIPTION DES MOUVEMENTS ....................................................................................................34
III-2.1 Paramètres & paramétrage...............................................................................................................................34
III-2.2 Vitesse et déplacements virtuels ........................................................................................................................37
III-3 PUISSANCE - TRAVAIL - ÉNERGIE...............................................................................................................................38
III-3.1 Puissance - Travail............................................................................................................................................38
III-3.2 Énergies.............................................................................................................................................................39
III-3.3 Puissance dans les liaisons mécaniques............................................................................................................41
BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................................................................................43
NOTES PERSONNELLES .......................................................................................................................................................44

IV CINÉMATIQUE.............................................................................................................................................................45
IV-1 NOTION DE MOUVEMENT ...........................................................................................................................................45
IV-1.1 Définitions - propriétés......................................................................................................................................45
IV-1.2 Points géométriques – points liés à un espace...................................................................................................46
IV-1.3 Composition des mouvements............................................................................................................................47
IV-2 NOTIONS DE VITESSE..................................................................................................................................................48
IV-2.1 Définition - propriétés .......................................................................................................................................48
Composition des vitesses ..............................................................................................................................................50
IV-2.2 Torseur cinématique..........................................................................................................................................51
IV-2.3 Dérivation vectorielle ........................................................................................................................................54
IV-3 ACCÉLÉRATION..........................................................................................................................................................54
IV-3.1 Définition - calcul pratique................................................................................................................................54
IV-3.2 Composition des accélérations ..........................................................................................................................55
IV-4 MÉTHODOLOGIE POUR LES CALCULS DE CINÉMATIQUE..............................................................................................56
BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................................................................................58
NOTES PERSONNELLES .......................................................................................................................................................58
V ÉLÉMENTS DE CINÉTIQUE........................................................................................................................................59
V-1 CARACTÉRISTIQUES MÉCANIQUES D’UN SOLIDE..........................................................................................................59
V-1.1 Notion de masse ..................................................................................................................................................59
V-1.2 Centre de masse ..................................................................................................................................................60
V-1.3 Opérateur d'inertie..............................................................................................................................................61
V-2 QUANTITÉS DE MOUVEMENT ET D’ACCÉLÉRATION......................................................................................................65
V-2.1 Définitions...........................................................................................................................................................65
V-2.2 Propriétés générales ...........................................................................................................................................66
V-2.3 Moment cinétique d’un solide .............................................................................................................................67
V-2.4 Moment dynamique.............................................................................................................................................68
V-3 ÉNERGIE CINÉTIQUE ....................................................................................................................................................69
V-4 EXERCICES ..................................................................................................................................................................71
NOTES PERSONNELLES .......................................................................................................................................................72
VI PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE « PFD ».................................................................................73
VI-1 ÉNONCÉ DU PFD........................................................................................................................................................73
VI-1.1 Théorème de l'action - réaction .........................................................................................................................74
VI-1.2 Théorèmes généraux de la dynamique...............................................................................................................74
VI-1.3 Théorème de l'énergie........................................................................................................................................74
VI-2 RÉFÉRENTIELS GALILÉENS .........................................................................................................................................75
VI-2.1 Exemples de repère galiléen..............................................................................................................................76
VI-2.1 Relation entre pesanteur et gravitation .............................................................................................................77
VI-3 ÉQUATIONS PRINCIPALES D’UN PROBLÈME ................................................................................................................82
VI-3.1 Analyse d’un problème de mécanique ...............................................................................................................82
VI-3.2 Recherche des équations du mouvement............................................................................................................85
VI-3.3 Intégrales premières du mouvement ..................................................................................................................87
VI-3.4 Calcul d'efforts...................................................................................................................................................90
VI-4 DEUX APPLICATIONS INDUSTRIELLES.........................................................................................................................92
VI-4.1 Équilibrage d'un rotor .......................................................................................................................................92
VI-4.2 Gyroscopes ........................................................................................................................................................93
VI-5 QUELQUES EXERCICES DE COURS...............................................................................................................................96
NOTES PERSONNELLES .......................................................................................................................................................98
VII PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS...................................................................................................................99
VII-1 ÉNONCÉ DU PTV ....................................................................................................................................................100
VII-1.1 Équivalence PTV - PFD .................................................................................................................................100
VII-1.2 Conséquence : le Théorème de l’énergie........................................................................................................100
VII-2 ÉQUATIONS DE LAGRANGE :...................................................................................................................................101
VII-2.1 Forme pratique des équations de Lagrange...................................................................................................102
VII-3 ANALYSE D’UN PROBLÈME PAR LAGRANGE ...........................................................................................................104
VII-3.1 Méthodologie..................................................................................................................................................105
VII-4 APPLICATION..........................................................................................................................................................105
VII-4.1 Recherche des équations du mouvement ........................................................................................................105

VII-4.2 Calcul d’un couple moteur .............................................................................................................................108
VII-4.3 Calcul d’un effort de liaison...........................................................................................................................109
VII-5 EXERCICES DE COURS .............................................................................................................................................111
NOTES PERSONNELLES .....................................................................................................................................................114
VIII LOIS DE FROTTEMENT........................................................................................................................................115
VIII-1 EXEMPLE PRÉLIMINAIRE........................................................................................................................................115
VIII-2 RÉSISTANCE AU GLISSEMENT ................................................................................................................................116
VIII-2.1 Énoncé des lois de coulomb ..........................................................................................................................117
VIII-2.2 Puissance dissipée par frottement.................................................................................................................120
VIII-3 RÉSISTANCE AU ROULEMENT ET AU PIVOTEMENT .................................................................................................120
VIII-4 PROBLÈMES DE STATIQUE .....................................................................................................................................122
VIII-5 PROBLÈME DE DYNAMIQUE ...................................................................................................................................126
Analyse du problème par le PFD................................................................................................................................127
Écriture et mise en forme des équations principales ..................................................................................................128
Résolution ...................................................................................................................................................................128
NOTES PERSONNELLES .....................................................................................................................................................132