Intégrales Licence de Physique

Int´egrales
Licence de Physique-Chimie

Table des mati`eres
Chapitre 1. Int´egrale des fonctions d’une variable 5
1. D´efinition et propri´et´es de l’int´egrale 5
2. le “th´eor`eme fondamental de l’analyse” 10
3. Int´egration par parties ; changements de variable 13
4. Int´egration sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert 17
5. Calcul approch´e ; sommes de Riemann 21
6. Le “th´eor`eme de convergence monotone” 23
Chapitre 2. Int´egrales multiples 27
1. Volumes N-dimensionnels 27
2. D´efinition et propri´et´es de l’int´egrale 29
3. Int´egrales “it´er´ees” 31
4. Changements de variables 39
5. Centre de gravit´e ; th´eor`eme de Guldin 55
Chapitre 3. Int´egrales curvilignes 61
1. Chemins et courbes 61
2. Int´egrale d’une fonction sur une courbe ; longueur 64
3. Formes diff´erentielles, champs de vecteurs 66
4. La formule de Green-Riemann 73
Chapitre 4. Int´egrales de surface 83
1. Surfaces 83
2. Int´egrale d’une fonction sur une surface ; aire 87
3. Int´egration par tranches 90
4. Formule de Stokes et formule de la divergence 93
3

Chapitre 1
Int´egrale des fonctions d’une variable
1. D´efinition et propri´et´es de l’int´egrale
La d´efinition de l’int´egrale va se faire en 3 ´etapes : fonctions positives, fonctions `a
valeurs r´eelles pouvant changer de signe, et fonctions `a valeurs complexes. Toutes les
propri´et´es de l’int´egrale se d´eduisent de mani`ere assez formelle du cas des fonctions
positives.
1.1. Fonctions positives. Une fonction fd´efinie sur une partie Ide Rsera dite
positive si elle prend ses valeurs dans r0,8s. Le fait d’autoriser la fonction `a prendre
la valeur 8n’est pas une p´edanterie gratuite : on en a vraiment besoin dans certaines
situations.
On peut calculer avec 8comme avec n’importe quel nombre, `a un d´etail pr`es : il
faut donner un sens `a 0 ˆ 8 et 8 ˆ 0. Par convention, on posera
0ˆ 8 “ 0“ 8 ˆ 0.
Bien entendu, on a ´egalement α` 8 “ 8 “ 8` αpour tout “nombre” αP r0,8s, et
αˆ8“8“8ˆαsi αą0. En revanche, il faut se m´efier des soustractions : α´β
n’a pas de sens si α“8“β.
D´ efinition 1.1.(sous-graphe)
Soit Iune partie de R, et soit fune fonction positive d´efinie sur I. (Le domaine
de d´efinition de fpeut ˆetre strictement plus grand que I). Le sous-graphe de f au
dessus de Iest l’ensemble
SGpf, Iq “ tpx, λq P RˆR;xPI et 0ďλăfpxqu.
Autrement dit SGpf, Iqest la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses et
le graphe la restriction de f`a l’ensemble I.Un dessin est indispensable ici !
Il faut tout de suite prendre conscience du fait que le sous-graphe est une partie du
plan RˆR“R2. Par suite, SGpf, Iqposs`ede une aire. On consid´erera ici que tout le
monde a une id´ee intuitive de ce qu’est une aire. On verra au fur et `a mesure quelles
sont les propri´et´es des aires n´ecessaires au d´eveloppement de la th´eorie (sans vraiment
insister dessus), et ces propri´et´es seront formul´ees explicitement dans le chapitre suivant
quand on d´efinira l’int´egrale des fonctions de plusieurs variables.
D´ efinition 1.2.(int´egrale)
Soit fune fonction positive d´efinie sur un ensemble IĂR. L’int´egrale de fsur
l’ensemble Iest l’aire du sous-graphe de fau dessus de I; on la note şIfou
şIfpxqdx.Ainsi żI
f“aire pSGpf, Iqq.
5