TD – EC4 Énoncé PCSI2 2016 – 2017 Conseils pour ce TD

TD – EC4Énoncé PCSI22016 – 2017
Régime sinusoïdal forcé
Conseils pour ce TD :
•Le cours doit être connu, les applications directes qui y figurent refaites.
•Attention à bien respecter les notations : une grandeur sinusoïdale x(t) = Xmcos(ωt +φ), d’amplitude
Xmpeut être représentée par l’intermédiaire de calcul x(t)=Xm.ejωt =Xm.ej(ωt+φ)d’amplitude complexe
Xm=Xm.ejφ. Il ne faut pas confondre ces différentes expressions.
On a par exemple x(t) = ℜ(x(t))6=|x(t)|,Xm=|Xm|et φ= arg(Xm).
•Même si à tout instant pour des grandeurs sinusoïdales x(t) = x1(t) + x2(t), on n’a pas X=X1+X2pour
les amplitudes (ou valeurs efficaces) mais X=|X|=|X1+X2|.
•On peut utiliser la loi d’Ohm généralisée directement sur les amplitudes (ou valeurs efficaces) complexes
U=Z.I ⇐⇒ I=Y.U.
•Revoir si nécessaire les lois d’associations de résistors : chapitre EC1.
Exercice 1 : Utilisation des Complexes
On pose x1(t) = 2.cos(ωt +π
3) et x2(t) =
3.cos(ωt − π
4).
En utilisant la méthode des complexes, déterminer
l’amplitude Xmet la phase à l’origine φde
1. x(t) = x1(t) +
x2(t).
2. x(t) = x1(t)−
2.x2(t).
3. x(t) = 2˙x1(t)−
Rx2(t)dt
en choisissant
ici ω= 1 rad.−1
Exercice 2 : Association RC et RL
1. Dipôles R,Csérie ou parallèles.
On considère les deux groupements g1et
g2constitués respectivement
– par un condensateur de capacité Cen
parallèle avec un résistor de résistance
Rpour g1
– par un condensateur de capacité C′en
série avec un résistor de résistance R′
pour g2.
Ces groupements sont alimentés par un gé-
nérateur de tension sinusoïdale de pulsa-
tion ω.
(a) Déterminer C′et R′en fonction de
R,Cet ωpour que les deux groupe-
ments soient équivalents, c’est à dire
qu’ils doivent avoir la même impé-
dance quelle que soit la fréquence.
On répondra en utilisant la méthode
complexe et la méthode de Fresnel.
(b) Pour quelle valeur de ωa-t-on RC =
R′C′?
2. Dipôles R,Lsérie ou parallèles.
On considère les deux groupements g′
1et
g′
2constitués respectivement
– par une bobine d’inductance Len paral-
lèle avec un résistor de résistance Rpour
g1
– par une bobine d’inductance L′en série
avec un résistor de résistance R′pour g2.
Ces groupements sont alimentés par un gé-
nérateur de tension sinusoïdale de pulsa-
tion ω.
(a) Déterminer L′et R′en fonction de R,
Let ωpour que les deux groupements
soient équivalents.
On répondra en utilisant la méthode
complexe et la méthode de Fresnel.
(b) Pour quelle valeur de ωa-t-on R′
R=
L′
L?
Exercice 3 : Complexes et méthode de Fres-
nel
On travaille dans cet exercice avec des tensions
et intensités sinusoïdales de pulsation ω.
1. (a) Déterminer l’impédance complexe Z1
(forme algébrique et forme exponen-
tielle) d’un dipôle AB formé d’une ré-
sistance R1en série avec une bobine
1

PCSI22016 – 2017 Énoncé Circuits linéaires en RSF
d’inductance L.
A.N : R1= 100 Ω, L= 0,1 H et
ω= 1000 rad.s−1.
(b) Ce dipôle est traversé par un courant
sinusoïdal de valeur efficace I= 10
mA : i(t) = I√2 cos ωt.
Dessiner le diagramme de Fresnel
correspondant et en déduire la tension
u1(t) aux bornes de AB.
(c) Reprendre la question précédente
mais avec i(t) = I√2 sin ωt.
2. (a) Déterminer l’impédance complexe Z2
(forme algébrique et forme exponen-
tielle) d’un dipôle BD formé d’une ré-
sistance R2= 100 Ω en série avec un
condensateur de capacité C= 10 µF.
(b) Ce dipôle est traversé par un cou-
rant sinusoïdal de valeur efficace I=
10 mA. Par utilisation de la méthode
des complexes, déterminer u2(t) la ten-
sion aux bornes de BD si i(t) =
I√2 cos ωt.
3. Le dipôle AB est placé en série avec le di-
pôle BD. Le dipôle AD ainsi constitué est
traversé par un courant sinusoïdal de valeur
efficace I= 10 mA. Calculer la valeur ef-
ficace Ude la tension aux bornes de AD.
Comparer avec U1+U2où U1est la valeur
efficace de la tension aux bornes de AB et
U2est la valeur efficace de la tension aux
bornes de BD.
Exercice 4 : Impédances équivalentes
A
C0
L0
C0
B
AC
LC
B
Deux dipôles sont équivalents s’ils ont la même
impédance quelle que soit la fréquence de la
source d’alimentation.
Montrer que l’on peut choisir Let Cen fonction
de L0et C0pour que les deux dipôles ci-contre
soient équivalents.
Exercice 5 : Association RL parallèle.
On place en parallèle une résistance R= 40 Ω
et une bobine d’inductance L= 0,16 H.
Entre leurs bornes communes, on applique la ten-
sion udu secteur (valeur efficace U= 220 V ;
50 Hz).
1. Calculer les valeurs efficaces IRet ILdes
courants traversant Ret Lainsi que leur
phase à l’origine φRet φLsi on prend la
phase à l’origine de ucomme origine des
phases.
2. Calculer, par deux méthodes, l’intensité effi-
cace totale Iet son déphasage φpar rapport
à la tension.
Exercice 6 : Méthode des complexes, mé-
thode de Fresnel
R
i1i2
r
L
i3
C
uu′
Soit le circuit re-
présenté ci-contre
pour lequel u(t) =
Umcos ωt.
On considère la
bobine réelle (r,L)
comme une résis-
tance ren série avec une inductance parfaite L.
1. i1est en phase avec u. En déduire Cen
fonction de ω,Let r.
2. i1et i3ont de plus la même amplitude.
En vous servant de la représentation de
Fresnel des intensités,
déterminer le déphasage entre i2(t) et u(t).
En déduire, par utilisation de la loi d’Ohm
généralisée, la réactances Lω de la bobine
puis celle 1
Cω du condensateur en fonction
de r.
Exercice 7 : Circuit RLC parallèle en RSF
1. On considère un circuit parallèle RLC en
régime alternatif sinusoïdal. Exprimer l’ad-
mittance complexe Yde ce circuit.
2. Mettre Ysous la “forme réduite” en l’ex-
primant uniquement en fonction de R,Q
(facteur de qualité) et u(pulsation réduite)
avec :
Q=RCω0=R
Lω0
=RrC
Let
2

TD – EC4Énoncé PCSI22016 – 2017
u=ω
ω0
=ω√LC
3. En déduire l’impédance complexe Zen
fonction des mêmes variables réduites. Étu-
dier les variations du module de Zen
fonction de la fréquence. On montrera la
présence d’un maximum que l’on précisera.
Trouver les deux valeurs u1et u2pour les-
quelles |Z|=R
√2.
4. Monter que |u2−u1|=1
Q. À la fréquence
de résonance, quelle est l’impédance simple
équivalente du circuit ?
5. Que se passe-t-il loin de la fréquence de
résonance ?
Exercice 8 : Réseau en RSF
Le réseau ci-dessous est alimenté en courant al-
ternatif sinusoïdal, d’intensité efficace Iet de pul-
sation ω.
Ai
L
CRLB
C
1. En utilisant les symétries du réseau, dé-
terminer son impédance équivalente Zen
fonction de ZL,Ret ZC. Vérifier ces valeurs
en prenant R= 0 puis R→ ∞ Exprimer
enfin Zen fonction de R,L,Cet ω.
2. En déduire la puissance Pdissipée par le
réseau.
3. Comment doit-on choisir Rpour que Zne
dépende pas de ω? Que deviennent alors
les résultats précédents ?
Exercice 9 : Résolution d’un circuit en RSF
e
AiR(t)R
L
B
C
On considère
le circuit re-
présenté ci
contre.
Il est alimenté
par un géné-
rateur de tension sinusoïdal : e(t) = E√2 cos ωt.
1. Déterminer iR(t), l’intensité du courant qui
traverse R.
2. En déduire la pulsation pour que le courant
dans Rsoit
indépendant de R.
3. Quelle est alors la puissance moyenne four-
nie par le générateur de tension ?
Exercice 10 : Pont de Wheatstone en régime
sinusoïdal et application
A
B
Z3
D
Z4
E
u(t)
Z2 Z1T
i(t)
On considère
un pont de
Wheatstone
alimenté par un
générateur de
tension alter-
native u(t) =
Umcos ωt.T
est un écouteur
téléphonique d’impédance complexe ZT.
1. Quelle condition doivent satisfaire les
impédances complexes Z1,Z2,Z3et Z4
pour que isoit nul ?
2. Quel est le rôle de T?
3. Application :
•les impédances Z1et Z2sont respec-
tivement des résistances étalons R1et
R2.
•Z3se compose d’un résistor de ré-
sistance variable Ren série avec un
condensateur de capacité C.
•Z4se compose d’un résistor de résis-
tance variable Ridentique en paral-
lèle avec un condensateur de même
capacité C.
Trouver les conditions d’équilibre du pont et
en déduire une application.
3