TD – EC4 Énoncé PCSI2 2016 – 2017 Conseils pour ce TD

TD – EC4
Énoncé
PCSI2 2016 – 2017
Régime sinusoïdal forcé
Conseils pour ce TD :
• Le cours doit être connu, les applications directes qui y figurent refaites.
• Attention à bien respecter les notations : une grandeur sinusoïdale x(t) = Xm cos(ωt + φ), d’amplitude
Xm peut être représentée par l’intermédiaire de calcul x(t) = Xm .ejωt = Xm .ej(ωt+φ) d’amplitude complexe
Xm = Xm .ejφ . Il ne faut pas confondre ces différentes expressions.
On a par exemple x(t) = ℜ(x(t)) 6= |x(t)| , Xm = |Xm | et φ = arg(Xm ).
• Même si à tout instant pour des grandeurs sinusoïdales x(t) = x1 (t) + x2 (t), on n’a pas X = X1 + X2 pour
les amplitudes (ou valeurs efficaces) mais X = |X | = |X 1 + X 2 |.
• On peut utiliser la loi d’Ohm généralisée directement sur les amplitudes (ou valeurs efficaces) complexes
U = Z .I ⇐⇒ I = Y .U.
• Revoir si nécessaire les lois d’associations de résistors : chapitre EC1 .
Exercice 1 :
(b) Pour quelle valeur de ω a-t-on R C =
R ′C ′ ?
Utilisation des Complexes
On pose x1 (t) = 2. cos(ωt + π3 ) et x2 (t) =
3. cos(ωt − π4 ).
En utilisant la méthode des complexes, déterminer
l’amplitude Xm et la phase à l’origine φ de
1. x(t) = x1 (t) +
x2 (t).
2. x(t) = x1 (t) −
2.x2 (t).
Exercice 2 :
2. Dipôles R , L série ou parallèles.
On considère les deux groupements g′1 et
g′2 constitués respectivement
– par une bobine d’inductance L en parallèle avec un résistor de résistance R pour
g1
– par une bobine d’inductance L′ en série
avec un résistor de résistance R ′ pour g2 .
Ces groupements sont alimentés par un générateur de tension sinusoïdale de pulsation ω.
3. x(t)
R = 2ẋ1 (t) −
x2 (t)dt
en choisissant
ici ω = 1 rad.−1
Association R C et R L
1. Dipôles R , C série ou parallèles.
On considère les deux groupements g1 et
g2 constitués respectivement
– par un condensateur de capacité C en
parallèle avec un résistor de résistance
R pour g1
– par un condensateur de capacité C ′ en
série avec un résistor de résistance R ′
pour g2 .
Ces groupements sont alimentés par un générateur de tension sinusoïdale de pulsation ω.
(a) Déterminer L′ et R ′ en fonction de R ,
L et ω pour que les deux groupements
soient équivalents.
On répondra en utilisant la méthode
complexe et la méthode de Fresnel.
(b) Pour quelle valeur de ω a-t-on
L′
?
L
Exercice 3 :
nel
(a) Déterminer C ′ et R ′ en fonction de
R , C et ω pour que les deux groupements soient équivalents, c’est à dire
qu’ils doivent avoir la même impédance quelle que soit la fréquence.
On répondra en utilisant la méthode
complexe et la méthode de Fresnel.
R′
R
=
Complexes et méthode de Fres-
On travaille dans cet exercice avec des tensions
et intensités sinusoïdales de pulsation ω.
1.
1
(a) Déterminer l’impédance complexe Z 1
(forme algébrique et forme exponentielle) d’un dipôle AB formé d’une résistance R1 en série avec une bobine
PCSI2 2016 – 2017
Énoncé
d’inductance L.
A.N : R1 = 100 Ω, L = 0,1 H et
ω = 1000 rad.s−1 .
(b) Ce dipôle est traversé par un courant
sinusoïdal de√ valeur efficace I = 10
mA : i(t) = I 2 cos ωt.
Dessiner le diagramme de Fresnel
correspondant et en déduire la tension
u1 (t) aux bornes de AB.
(c) Reprendre la question
précédente
√
mais avec i(t) = I 2 sin ωt.
2. (a) Déterminer l’impédance complexe Z 2
(forme algébrique et forme exponentielle) d’un dipôle BD formé d’une résistance R2 = 100 Ω en série avec un
condensateur de capacité C = 10 µF.
(b) Ce dipôle est traversé par un courant sinusoïdal de valeur efficace I =
10 mA. Par utilisation de la méthode
des complexes, déterminer u2 (t) la tension
√ aux bornes de BD si i(t) =
I 2 cos ωt.
3. Le dipôle AB est placé en série avec le dipôle BD. Le dipôle AD ainsi constitué est
traversé par un courant sinusoïdal de valeur
efficace I = 10 mA. Calculer la valeur efficace U de la tension aux bornes de AD.
Comparer avec U1 + U2 où U1 est la valeur
efficace de la tension aux bornes de AB et
U2 est la valeur efficace de la tension aux
bornes de BD.
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Exercice 4 :
Exercice 5 :
1. Calculer
courants
phase à
phase à
phases.
A
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Exercice 6 : Méthode des complexes, méthode de Fresnel
i1
i2
Soit le circuit représenté ci-contre
R
i3
pour lequel u(t) =
r
Um cos ωt.
u
C
u′
On considère la
L
bobine réelle (r,L)
comme une résistance r en série avec une inductance parfaite L.
1. i1 est en phase avec u. En déduire C en
fonction de ω, L et r.
2. i1 et i3 ont de plus la même amplitude.
En vous servant de la représentation de
Fresnel des intensités,
déterminer le déphasage entre i2 (t) et u(t).
En déduire, par utilisation de la loi d’Ohm
généralisée, la réactances Lω de la bobine
puis celle C1ω du condensateur en fonction
de r.
Impédances équivalentes
Exercice 7 :
C0
C
les valeurs efficaces IR et IL des
traversant R et L ainsi que leur
l’origine φR et φL si on prend la
l’origine de u comme origine des
2. Calculer, par deux méthodes, l’intensité efficace totale I et son déphasage φ par rapport
à la tension.
B
C0
Association R L parallèle.
On place en parallèle une résistance R = 40 Ω
et une bobine d’inductance L = 0,16 H.
Entre leurs bornes communes, on applique la tension u du secteur (valeur efficace U = 220 V ;
50 Hz).
L0
A
Circuits linéaires en RSF
Circuit R LC parallèle en RSF
1. On considère un circuit parallèle R LC en
régime alternatif sinusoïdal. Exprimer l’admittance complexe Y de ce circuit.
B
L
C
Deux dipôles sont équivalents s’ils ont la même
impédance quelle que soit la fréquence de la
source d’alimentation.
Montrer que l’on peut choisir L et C en fonction
de L0 et C0 pour que les deux dipôles ci-contre
soient équivalents.
2. Mettre Y sous la “forme réduite” en l’exprimant uniquement en fonction de R , Q
(facteur de qualité) et u (pulsation réduite)
avec :
r
C
R
=R
et
Q = R C ω0 =
Lω0
L
2
TD – EC4
Énoncé
u=
√
ω
= ω LC
ω0
Il est alimenté
par un géné√
rateur de tension sinusoïdal : e(t) = E 2 cos ωt.
3. En déduire l’impédance complexe Z en
fonction des mêmes variables réduites. Étudier les variations du module de Z en
fonction de la fréquence. On montrera la
présence d’un maximum que l’on précisera.
Trouver les deux valeurs u1 et u2 pour lesquelles |Z | = √R2 .
1. Déterminer iR (t), l’intensité du courant qui
traverse R .
2. En déduire la pulsation pour que le courant
dans R soit
indépendant de R .
3. Quelle est alors la puissance moyenne fournie par le générateur de tension ?
4. Monter que |u2 − u1 | = Q1 . À la fréquence
de résonance, quelle est l’impédance simple
équivalente du circuit ?
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Exercice 10 : Pont de Wheatstone en régime
sinusoïdal et application
5. Que se passe-t-il loin de la fréquence de
résonance ?
Exercice 8 :
A
On considère
un pont de
Z1
Z2
T
Wheatstone
alimenté par un
i(t)
D
B
générateur de
tension alterZ3
u(t) Z 4
native u(t) =
Um cos ωt.
T
est un écouteur
téléphonique d’impédance complexe Z T .
Réseau en RSF
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€
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Le réseau ci-dessous est alimenté en courant alternatif sinusoïdal, d’intensité efficace I et de pulsation ω.
A
i
C
R
L
B
L
C
1. En utilisant les symétries du réseau, déterminer son impédance équivalente Z en
fonction de Z L , R et Z C . Vérifier ces valeurs
en prenant R = 0 puis R → ∞ Exprimer
enfin Z en fonction de R , L, C et ω.
2. Quel est le rôle de T ?
3. Application :
• les impédances Z 1 et Z 2 sont respectivement des résistances étalons R1 et
R2 .
3. Comment doit-on choisir R pour que Z ne
dépende pas de ω ? Que deviennent alors
les résultats précédents ?
On considère
le circuit représenté
ci
contre.
A iR (t) R
e
• Z 3 se compose d’un résistor de résistance variable R en série avec un
condensateur de capacité C .
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„ …-„ƒ€‚…„ƒ
Résolution d’un circuit en RSF
L
E
1. Quelle condition doivent satisfaire les
impédances complexes Z 1 , Z 2 , Z 3 et Z 4
pour que i soit nul ?
2. En déduire la puissance P dissipée par le
réseau.
Exercice 9 :
PCSI2 2016 – 2017
• Z 4 se compose d’un résistor de résistance variable R identique en parallèle avec un condensateur de même
capacité C .
B
Trouver les conditions d’équilibre du pont et
en déduire une application.
C
3