Liste d`exercices n 5 Géodésiques Algèbre tensorielle et extérieure

Université de BORDEAUX Géométrie Différentielle L3/2016
Liste d’exercices n◦5
Géodésiques
Exercice 1
1. Soit Sune surface contenant une droite D. Montrer que la droite Dparcourue à vitesse
constante est une géodésique.
2. Montrer qu’un grand cercle de S2de parcouru à vitesse constante est une géodésique.
Exercice 2
Soit cun arc birégulier tracé sur une surface S. Montrer que cest porté par une géodésique
de Ssi et seulement si son plan osculateur est en tout point normal à S.
Exercice 3
On considère le tore d’équation (px2+y2−R)2=z2=r2. Montrer que les méridiens
(parcourus à vitesse constante) sont des géodésiques. Parmi les quatre parallèles passant par les
points (R+r, 0,0),(R−r, 0,0),(R, 0, r)et (R, 0,−r)(parcourus à vitesse constante), lesquels
sont des géodésiques ?
Algèbre tensorielle et extérieure
Exercice 4
Soit Vun espace vectoriel réel de dimension finie et soient f∈ Lk(V),g∈ L`(V)deux
tenseurs. Montrer que f⊗g= 0 ∈ Lk+`(V)si et seulement si f= 0 ou g= 0.
Exercice 5
Soit Vun espace vectoriel et soit (l1, . . . , lk)une famille de formes linéaires sur V(k≥1).
1. Montrer (l1, l2)est liée si et seulement si l1∧l2= 0.
2. Établir plus généralement que (l1, . . . , lk)est liée si et seulement si l1∧. . . ∧lk= 0.
Exercice 6 (formes alternées décomposables)
Soit Vun espace vectoriel de dimension finie n. Une k-forme linéaire alternée α∈ ∧kV∗est
dite décomposable s’il existe des formes linéaires l1, . . . , lk∈V∗telles que α=l1∧. . . ∧lk.
1. Dans cette question on prend n= 4. Soit (li)i=1,...,4une base de V∗et soit ω=l1∧l3+l2∧l4.
Calculer ω∧ωet montrer que ωn’est pas décomposable.
2. Vérifier que toute forme de degré maximal nest décomposable.
3-a. Soit α∈ ∧n−1V∗. On définit ψ∈ L(V∗,∧nV∗)par ψ(l) = l∧α. En considérant une
base de Ker ψprouver que αest décomposable.
3-b. On suppose que n= 3. Soit (l1, l2, l3)une base de V∗. Donner une décomposition de
α=l1∧l2+l2∧l3+l3∧l1.
4. Soit l∈V∗\ {0}et soit α∈ ∧kV∗(1≤k≤n). Établir qu’il existe β∈ ∧k−1V∗telle que
α=l∧βsi et seulement si l∧α= 0 [on pourra compléter len une base de V∗].
Formes différentielles
N.B. : Toutes les formes différentielles sont de classe C∞.
Exercice 7
Soient ω1et ω2des formes différentielles fermées (de degrés arbitraires) sur un ouvert Ude
l’espace Rn.
1. Vérifier que ω1∧ω2est fermée.
2. Si de plus ω1est exacte sur U, montrer que ω1∧ω2est exacte sur U.

Exercice 8
Soit ω∈Ω1(R3)définie par ω= (12x3z+ 2xy3)dx + 3x2y2dy + 3x4dz.
1. Vérifier que ωest fermée. Que peut-on en conclure ?
2. Déterminer toutes les fonctions différentiables f:R3→Rtelles que df =ω.
Exercice 9
1. Soit Uun ouvert connexe de Rnet soit ω=df (f∈ C∞(U, R)) une 1-forme exacte sur U.
Déterminer les fonctions g∈ C∞(U, R)telles que dg =ω.
2. Soit U1et U2deux ouverts étoilés de Rnd’intersection connexe. Montrer que toute 1-forme
différentielle fermée sur U1∪U2est exacte.
3. Si n≥3, prouver que toute 1-forme différentielle fermée sur Rn\ {0}est exacte.
4. Discuter le résultat précédent quand n= 2 [cf. exercice 12].
Exercice 10
On définit une 2-forme σ∈Ω2(R3\ {0})par
σ(p)·(u, v) = det(p, u, v) (p∈R3\ {0}, u ∈R3, v ∈R3).
1. Exprimer σdans les coordonnées usuelles (x, y, z)de R3.
2. La forme σest-elle fermée ? On pose f(p) = hp, pi1/2(p∈R3\ {0}). Montrer qu’il existe
un unique α∈Rtel que fασsoit fermée.
3. Vérifier que la forme f−3σest invariante par les homothéties (de rapport >0) centrées à
l’origine.
4. Donner un système de coordonnées sphériques ψdéfini sur U= ]0,2π[×]−π/2, π/2[ à
valeurs dans la sphère unité. Prouver, sans l’expliciter, que la forme ψ∗(σ)∈Ω2(U)est fermée.
5. Expliciter ψ∗(σ)sous la forme g(θ, ϕ)dθ ∧dϕ et calculer RUg(θ, ϕ)dθdϕ.
6. Vérifier la relation
f∗(dt/t)∧σ=dx ∧dy ∧dz ((x, y, z)∈R3\ {0}).
Exercice 11
Toutes les courbes considérées dans cet exercice sont supposées de classe C1par morceaux.
Soit Uun ouvert de Rnet soit ω∈Ω1(U). Pour toute courbe γ: [a, b]→U, on définit
Rγω=Rb
aω(γ(t)) ·γ0(t)dt (appelée intégrale de ωle long de γ).
1. Soit ϕun C1-difféomorphisme de [c, d]sur [a, b]. Montrer que Rγ◦ϕω=Rγωavec = 1
(resp. −1) si ϕest croissante (resp. décroissante).
2. On suppose que ωest exacte et que γest fermée (γ(a) = γ(b)). Montrer que Rγω= 0.
3. On suppose ici que Rγω= 0 pour toute courbe fermée γ: [a, b]→U. Soit p∈Ufixé.
3-a. Soit x∈Uet soit γune courbe qui joint pàx. Prouver que Rγωest indépendant du
choix de γ. On pose f(x) = Rγω.
3-b. Établir que fest différentiable sur Uavec df =ω.
4. Énoncer une caractérisation des 1-formes exactes sur U.
Exercice 12
Soit ω∈Ω(R2\ {0})définie par ω(x, y)=(xdy −ydx)/(x2+y2).
1. Vérifier que ωest fermée.
Soit Iun intervalle ouvert de Ret soit γ:I→R2une courbe régulière de classe C2.
2. Expliciter γ0∗ωsous la forme f(t)dt (t∈I). Interpréter géométriquement la fonction |f|.
3. À partir du cas où γ(t) = eit (t∈R), prouver que ωn’est pas exacte.
4. On considère la carte polaire Φ :]0,∞[×]−π, π[→R2\]− ∞,0] définie par Φ(ρ, θ) = ρeiθ.
4-a. Exprimer Φ∗(ω).
5. On suppose de plus que γ(I)⊂R2\]− ∞,0].
5-a. Montrer qu’il existe une fonction (r, ϕ) : I→]0,∞[×]−π, π[de classe C2telle que
γ(t) = r(t)eiϕ(t)pour tout t∈I[on vérifiera que Φest un difféomorphisme].
5-b. Si [a, b]⊂I, exprimer Rγ|[a,b]ωen fonction de ϕ,aet b; énoncer géométriquement le
résultat obtenu.
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