Liste d`exercices n 5 Géodésiques Algèbre tensorielle et extérieure

Université de BORDEAUX Géométrie Différentielle L3/2016
Liste d’exercices n5
Géodésiques
Exercice 1
1. Soit Sune surface contenant une droite D. Montrer que la droite Dparcourue à vitesse
constante est une géodésique.
2. Montrer qu’un grand cercle de S2de parcouru à vitesse constante est une géodésique.
Exercice 2
Soit cun arc birégulier tracé sur une surface S. Montrer que cest porté par une géodésique
de Ssi et seulement si son plan osculateur est en tout point normal à S.
Exercice 3
On considère le tore d’équation (px2+y2R)2=z2=r2. Montrer que les méridiens
(parcourus à vitesse constante) sont des géodésiques. Parmi les quatre parallèles passant par les
points (R+r, 0,0),(Rr, 0,0),(R, 0, r)et (R, 0,r)(parcourus à vitesse constante), lesquels
sont des géodésiques ?
Algèbre tensorielle et extérieure
Exercice 4
Soit Vun espace vectoriel réel de dimension finie et soient f∈ Lk(V),g∈ L`(V)deux
tenseurs. Montrer que fg= 0 ∈ Lk+`(V)si et seulement si f= 0 ou g= 0.
Exercice 5
Soit Vun espace vectoriel et soit (l1, . . . , lk)une famille de formes linéaires sur V(k1).
1. Montrer (l1, l2)est liée si et seulement si l1l2= 0.
2. Établir plus généralement que (l1, . . . , lk)est liée si et seulement si l1. . . lk= 0.
Exercice 6 (formes alternées décomposables)
Soit Vun espace vectoriel de dimension finie n. Une k-forme linéaire alternée α∈ ∧kVest
dite composable s’il existe des formes linéaires l1, . . . , lkVtelles que α=l1. . . lk.
1. Dans cette question on prend n= 4. Soit (li)i=1,...,4une base de Vet soit ω=l1l3+l2l4.
Calculer ωωet montrer que ωn’est pas décomposable.
2. Vérifier que toute forme de degré maximal nest décomposable.
3-a. Soit α∈ ∧n1V. On définit ψ∈ L(V,nV)par ψ(l) = lα. En considérant une
base de Ker ψprouver que αest décomposable.
3-b. On suppose que n= 3. Soit (l1, l2, l3)une base de V. Donner une décomposition de
α=l1l2+l2l3+l3l1.
4. Soit lV\ {0}et soit α∈ ∧kV(1kn). Établir qu’il existe β∈ ∧k1Vtelle que
α=lβsi et seulement si lα= 0 [on pourra compléter len une base de V].
Formes différentielles
N.B. : Toutes les formes différentielles sont de classe C.
Exercice 7
Soient ω1et ω2des formes différentielles fermées (de degrés arbitraires) sur un ouvert Ude
l’espace Rn.
1. Vérifier que ω1ω2est fermée.
2. Si de plus ω1est exacte sur U, montrer que ω1ω2est exacte sur U.
Exercice 8
Soit ω1(R3)définie par ω= (12x3z+ 2xy3)dx + 3x2y2dy + 3x4dz.
1. Vérifier que ωest fermée. Que peut-on en conclure ?
2. Déterminer toutes les fonctions différentiables f:R3Rtelles que df =ω.
Exercice 9
1. Soit Uun ouvert connexe de Rnet soit ω=df (f∈ C(U, R)) une 1-forme exacte sur U.
Déterminer les fonctions g∈ C(U, R)telles que dg =ω.
2. Soit U1et U2deux ouverts étoilés de Rnd’intersection connexe. Montrer que toute 1-forme
différentielle fermée sur U1U2est exacte.
3. Si n3, prouver que toute 1-forme différentielle fermée sur Rn\ {0}est exacte.
4. Discuter le résultat précédent quand n= 2 [cf. exercice 12].
Exercice 10
On définit une 2-forme σ2(R3\ {0})par
σ(p)·(u, v) = det(p, u, v) (pR3\ {0}, u R3, v R3).
1. Exprimer σdans les coordonnées usuelles (x, y, z)de R3.
2. La forme σest-elle fermée ? On pose f(p) = hp, pi1/2(pR3\ {0}). Montrer qu’il existe
un unique αRtel que fασsoit fermée.
3. Vérifier que la forme f3σest invariante par les homothéties (de rapport >0) centrées à
l’origine.
4. Donner un système de coordonnées sphériques ψdéfini sur U= ]0,2π[×]π/2, π/2[ à
valeurs dans la sphère unité. Prouver, sans l’expliciter, que la forme ψ(σ)2(U)est fermée.
5. Expliciter ψ(σ)sous la forme g(θ, ϕ)et calculer RUg(θ, ϕ).
6. Vérifier la relation
f(dt/t)σ=dx dy dz ((x, y, z)R3\ {0}).
Exercice 11
Toutes les courbes considérées dans cet exercice sont supposées de classe C1par morceaux.
Soit Uun ouvert de Rnet soit ω1(U). Pour toute courbe γ: [a, b]U, on définit
Rγω=Rb
aω(γ(t)) ·γ0(t)dt (appelée intégrale de ωle long de γ).
1. Soit ϕun C1-difféomorphisme de [c, d]sur [a, b]. Montrer que Rγϕω=Rγωavec = 1
(resp. 1) si ϕest croissante (resp. décroissante).
2. On suppose que ωest exacte et que γest fermée (γ(a) = γ(b)). Montrer que Rγω= 0.
3. On suppose ici que Rγω= 0 pour toute courbe fermée γ: [a, b]U. Soit pUfixé.
3-a. Soit xUet soit γune courbe qui joint pàx. Prouver que Rγωest indépendant du
choix de γ. On pose f(x) = Rγω.
3-b. Établir que fest différentiable sur Uavec df =ω.
4. Énoncer une caractérisation des 1-formes exactes sur U.
Exercice 12
Soit ωΩ(R2\ {0})définie par ω(x, y)=(xdy ydx)/(x2+y2).
1. Vérifier que ωest fermée.
Soit Iun intervalle ouvert de Ret soit γ:IR2une courbe régulière de classe C2.
2. Expliciter γ0∗ωsous la forme f(t)dt (tI). Interpréter géométriquement la fonction |f|.
3. À partir du cas où γ(t) = eit (tR), prouver que ωn’est pas exacte.
4. On considère la carte polaire Φ :]0,[×]π, π[R2\]− ∞,0] définie par Φ(ρ, θ) = ρe.
4-a. Exprimer Φ(ω).
5. On suppose de plus que γ(I)R2\]− ∞,0].
5-a. Montrer qu’il existe une fonction (r, ϕ) : I]0,[×]π, π[de classe C2telle que
γ(t) = r(t)e(t)pour tout tI[on vérifiera que Φest un difféomorphisme].
5-b. Si [a, b]I, exprimer Rγ|[a,b]ωen fonction de ϕ,aet b; énoncer géométriquement le
résultat obtenu.
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