P3-Exercices d electrostatique

MP – Cours de physique
Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 4
ÉLECTROSTATIQUE
Exercices
1. Étude d’un condensateur plan « troué »
1. Rappeler l’expression du champ électrique
E
et du potentiel électrostatique V créé dans tout l’espace
par une distribution plane idéalement infinie et homogène de densité surfacique σ.
2. On considère deux plans parallèles uniformément chargés, l’un à la cote
z a
= +
chargé d’une densité
surfacique uniforme
+σ
, l’autre à la cote
z a
= −
de charge opposée
−σ
.
En appliquant le théorème de superposition, déterminer le champ électrique
E
et le potentiel
électrostatique V créé dans tout l’espace par une telle distribution de charge.
3. On reprend le dispositif de la question 2 et l’on perce deux trous de rayons R parfaitement en regard
l’un de l’autre, l’un de centre
1
O
dans la plaque chargée positivement, l’autre de centre
2
O
dans la
plaque chargée négativement. Déterminer le champ électrique
(
)
E z
et le potentiel électrostatique
(
)
V z
en tout point M de l’axe
1 2
O O
.
4. Représenter graphiquement l’allure des variations des fonctions
(
)
z
E z
et
(
)
V z
pour différentes
valeurs de R. Qu’observe-t-on lorsque
0
R
→
?
2. Symétrie cylindrique de révolution
Nous nous proposons d’étudier quelques problèmes d’électrostatique à symétrie cylindrique de
révolution. Ces problèmes sont des « problèmes d’école » : nous introduisons dans nos modèles des
situations qui ne peuvent être réelles en envisageant l’existence de charges à l’infini. Pour cette raison, il
ne sera pas possible de choisir, comme c’est l’usage, le potentiel nul à l’infini.
Cela ne signifie pas que ces modèles soient sans intérêt. Ils décrivent des situations qui peuvent être
d’excellentes approximations de situations réelles. Simplement, les résultats ne doivent pas être
extrapolés jusqu’à l’infini.
1
O
2
O
R
z
O

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1- Étude générale d’une distribution de charge présentant une symétrie cylindrique de révolution
Dans un tel cas de symétrie des charges quelles sont les symétries attendues du champ et du
potentiel ?
2- Fil rectiligne infini porteur d’une densité linéique de charge λ
λλ
λ uniforme
À partir de la loi de Coulomb, déterminer l’expression du champ électrique
E
en tout point de
l’espace.
Retrouver ce résultat en utilisant le théorème de Gauss.
Retrouver ce résultat en utilisant l’équation locale de Maxwell-Gauss.
En déduire la fonction potentiel V en tout point de l’espace.
Représenter les fonctions
(
)
r
E r
et
(
)
V r
.
3- Fil rectiligne infini de section circulaire porteur d’une densité volumique de charge ρ
ρ ρ
ρ uniforme
À partir de l’équation locale de Maxwell-Gauss, déterminer l’expression du champ électrique
E
en
tout point de l’espace.
Retrouver ce résultat en utilisant le théorème de Gauss.
En déduire la fonction potentiel V en tout point de l’espace.
Représenter les fonctions
(
)
r
E r
et
(
)
V r
.
4- Fil rectiligne infini de section circulaire porteur d’une densité surfacique de charge σ
σ σ
σ uniforme
En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l’expression du champ électrique
E
en tout point de
l’espace.
Retrouver ce résultat en utilisant l’équation locale de Maxwell-Gauss ainsi que la relation de
discontinuité du champ électrique à la traversée d’une surface chargée.
En déduire la fonction potentiel V en tout point de l’espace.
Représenter les fonctions
(
)
r
E r
et
(
)
V r
.
En coordonnées cylindriques
(
)
, ,
z
ρ ϕ :
( )
1 1
div
z
E
E
E E
z
ϕ
ρ
∂
∂
∂
= ρ + +
ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂
3. Énergie d’accrétion gravitationnelle
Nous considérons un planétoïde de masse M, idéalement sphérique de rayon R et homogène, et nous nous
proposons d’exprimer l’énergie d’accrétion gravitationnelle d’un tel astre.
Nous procèderons par analogie avec les lois de l’électrostatique et nous allons considérer trois façons
différentes d’évaluer cette énergie que nous définissons comme l’opposé de l’énergie qui serait nécessaire
pour disperser la matière dans l’univers de telle sorte qu’il n’y ait plus aucune interaction gravitationnelle
entre les particules de matière.
1. Établir les correspondances entre grandeurs électriques et grandeurs mécaniques en partant de
l’analogie entre les deux lois de force : la loi de Coulomb pour l’électrostatique et la loi de gravitation
universelle pour la mécanique. En particulier, on s’attachera à définir un champ gravitationnel que
l’on notera
g
ainsi qu’un potentiel gravitationnel que l’on notera ϕ et l’on énoncera l’équivalent du
théorème de Gauss pour la gravitation.

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2. Par application du théorème de Gauss pour la gravitation, déterminer l’expression du champ
gravitationnel
g
à l’intérieur, puis à l’extérieur du planétoïde.
3. En déduire l’expression du potentiel gravitationnel ϕ à l’intérieur, puis à l’extérieur du planétoïde.
4. Nous connaissons l’expression de l’énergie potentielle d’un système de n charges ponctuelles
{
}
1 2
, , ,
n
q q q
⋯
,
(
)
M
i
V étant le potentiel électrostatique créé par les
1
n
−
autres charges au point
M
i
où se trouve la charge
i
q
:
( )
1
1
M
2
n
p i i i
i
qV
=
=∑ E
Dans le cas d’une répartition continue de charges de densité volumique
(
)
M
ρ à l’intérieur d’un
volume τ, cette expression devient :
( ) ( )
1M M
2
p
V d
τ
= ρ τ
∫∫∫
E
Déterminer l’expression de l’énergie potentielle d’un planétoïde de masse M, idéalement sphérique et
homogène.
5. En électromagnétisme, nous considérerons que cette énergie potentielle est associée à l’existence du
champ électrique dans tout l’espace, la densité volumique d’énergie ayant pour expression
2
0
1
2
u E
= ε .
Quelle est l’expression équivalente en gravitation ?
Déterminer les énergies
int
p
E
et
ext
p
E
associées au champ gravitationnel.
Que vaut
int ext
p p
+
E E
?
6. Voici une troisième façon d’évaluer l’énergie de cohésion gravitationnelle du planétoïde : nous
considérons le planétoïde sphérique de rayon r et de masse volumique µ et nous apportons à sa
surface une masse supplémentaire dm, de même masse volumique µ .
Le rayon du planétoïde varie alors d’une valeur élémentaire dr et son énergie potentielle
gravitationnelle d’une valeur
p
d
E
que l’on déterminera.
Par intégration, la masse du planétoïde variant de 0 à M par dépôt de couches homogènes successives,
il nous est possible de déterminer l’expression de l’énergie gravitationnelle du planétoïde formé par
accrétion. Que remarque-t-on ?
4. Condensateur sphérique
Considérons le cas idéal d’un condensateur constitué de deux conducteurs sphériques concentriques.
Nous noterons
1
r
le rayon du conducteur intérieur porté au potentiel
1
V
et
2
r
le rayon du conducteur
extérieur porté au potentiel
2
V
. Nous choisirons
2 1
V V
<
de telle sorte que l’armature intérieure soit
porteuse d’une charge positive.
1- En utilisant le théorème de Gauss, déterminer l’expression du champ électrique
E
en tout point situé
entre les armatures du condensateur.

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On donne l’expression générale de la divergence d’un champ de vecteur en coordonnées sphériques
(
)
, ,
r
θ ϕ
:
( )
( )
2
2
1 1 1
div sin
sin sin
r
E
E r E E
r r r r
ϕ
θ
∂
∂ ∂
= + θ +
∂ θ ∂θ θ ∂ϕ
2- Vérifier que ce champ est solution de l’équation locale de Maxwell-Gauss.
3- Déterminer la fonction potentiel V en tout point de l’espace.
On donne l’expression générale du Laplacien d’une fonction scalaire en coordonnées sphériques
(
)
, ,
r
θ ϕ
:
( )
2
22
2 2 2
2
1 1 1
sin
sin sin
V V V
V r
r r r r r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∆ = + θ +
∂ ∂ θ ∂θ ∂θ ∂ϕ
    θ
4- Vérifier que ce potentiel est solution de l’équation locale de Poisson.
5- Représenter les fonctions
(
)
r
E r
et
(
)
V r
.
6- Déterminer l’expression de la capacité C du condensateur sphérique.
7- Le milieu matériel entre les deux armatures, tout en ayant les propriétés diélectriques du vide, se
trouve être un conducteur ohmique de conductivité
γ
homogène. Calculer la conductance de fuite G
du condensateur.
8- Démontrer que la relation simple existant entre C et G est une relation très générale, indépendante de
la géométrie du condensateur.