CHAPITRE 1 LOGIQUE ET CALCUL ALGÉBRIQUE Alphabet grec

CHAPITRE
1
LOGIQUE ET CALCUL ALGÉBRIQUE
Alphabet grec
alpha
bêta
gamma
delta
epsilon
zêta
êta
thêta
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
iota
kappa
lambda
mu
nu
xi
omicron
pi
ι
κ
λ
µ
ν
ξ
o
π
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
rhô
sigma
tau
upsilon
phi
chi
psi
omega
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
P
Σ
T
Y
Φ
X
Ψ
Ω
Ensembles de nombres classiques
Définition 1.1
• On note N l’ensemble des entiers naturels : N = {0; 1; 2; 3 . . .}
• On note Z l’ensemble des entiers relatifs : Z = {· · · − 2; −1; 0; 1; 2; 3 . . .}
• On note Q l’ensemble des rationnels. Les rationnels sont les nombres pouvant s’écrire comme
quotient de deux entiers relatifs, autrement dit les nombres de la forme pq avec p et q dans Z
(q , 0).
p
, p ∈ Z et q ∈ Z∗
Q=
q
• On note R l’ensemble
des réels. On appelle irrationnels les réels qui ne sont pas rationnels
√
(comme π, 2 . . . ).
• On note C l’ensemble des nombres complexes.
Définition 1.2
Rappel de quelques notations usuelles :
• R+ = [0, +∞[
R− = ] − ∞, 0]
• R∗ = R \ {0}
N∗ = N \ {0}
Z∗ = Z \ {0}
C∗ = C \ {0}
∗
∗
• R+ =]0; +∞[
R− =] − ∞; 0[
• ~p, q = {p, p + 1, p + 2, . . . , q} (avec p et q dans Z, p 6 q). On a les mêmes variantes que pour
les intervalles de R.
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1
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Remarque
Une propriété des nombres rationnels qui nous sera utile de temps à autre est que chaque rationnel
peut-être mis de manière unique sous forme irréductible pq avec p ∈ Z, q ∈ N∗ et p et q premiers entre
30
eux (c’est-à-dire sans diviseur commun à part 1). La forme irréductible de 46 est 23 , celle de −18
est −5
3 .
1 Logique
1.1 Propositions et quantificateurs
Une proposition mathématique est une «phrase» exprimée dans le langage mathématique. Une définition correcte nous entraînerait beaucoup trop loin, nous travaillerons donc à partir d’exemples.
1. «2 + 2 = 4»
2. «2 + 2 = 5»
3. «2 + (0, 1) = 5»
4. «x2 > x»
5. «pour tout réel x, x2 > x»
6. «il existe un réel x tel que x2 > x»
Les deux premières propositions ne posent pas de problème particulier : elles ont un sens clair et une
valeur de vérité : la première est vraie, la deuxième fausse.
La troisième proposition est différente : elle n’a pas de sens car elle mélange de manière incorrecte des
objets de différents types – on ne peut pas ajouter 2 à (0, 1). C’est évident ici, ça l’est peut-être moins
dans l’exemple suivant : «la dérivée de x2 est 2x» (qui n’a pourtant pas plus de sens). . . Pour éviter
d’écrire ce genre d’absurdité, il est absolument crucial de toujours avoir en tête le type d’objet que l’on
manipule (s’agit-il d’un réel ? d’une fonction ? d’un ensemble ?. . .).
La quatrième proposition est plus délicate à analyser. En tant que telle elle n’a pas de sens car on
ne sait pas quel type d’objet est désigné par x (imaginez par exemple que x soit un point du plan).
Supposons donc que x désigne un nombre réel. Dans ce cas, la proposition est syntaxiquement correcte,
mais elle n’a pas vraiment de sens car elle n’est ni vraie ni fausse (comme on peut le voir en remplaçant
successivement x par 21 puis par 2). Les variables apparaissant dans une formule sans y être quantifiées
(on parle de variable libre) devront donc systématiquement avoir été préalablement définies.
Dans la cinquième proposition, ce problème est résolu. En utilisant l’expression «pour tout réel x»,
on a transformé x en variable liée ou muette : la valeur de vérité de la proposition ne peut plus dépendre
de la valeur de x. Plus précisément, cette proposition ne fait plus référence à un nombre réel x supposé
précédemment défini : on peut la remplacer par «pour tout réel y, y 2 > y» sans rien changer à son sens.
Remarquez que cette proposition est bien évidemment fausse, mais c’est presque un détail. . .
La sixième proposition est similaire à la cinquième, la principale différence étant qu’elle est vraie. Il
faut remarquer que l’expression «il existe un réel x» signifie plus précisément «il existe au moins un réel
x» ; ici, on a en fait une infinité de réels x tels que x2 > x, ce qui ne pose aucun problème.
Définition 1.3
Par souci de concision, on introduit des notations symboliques appelées quantificateurs.
• Le quantificateur universel ∀ signifie (et se lit) «pour tout».
– «∀x ∈ R, x2 > x» est fausse (c’est la proposition 5 vue plus haut).
– «∀x ∈ [1; +∞[, x2 > x» est vraie.
• Le quantificateur existentiel ∃ signifie (et se lit) «il existe».
– «∃x ∈ R, x2 = −1» est fausse.
– «∃x ∈ C, x2 = −1» est vraie (on peut prendre x = i ou x = −i).
• On note de plus ∃! pour «il existe un unique».
– «∃!x ∈ R, x2 = −1» est fausse (car aucun x ∈ R ne convient).
– «∃!x ∈ R, x2 = 1» est fausse (car plusieurs x ∈ R conviennent).
– «∃!x ∈ R+ , x2 = 1» est vraie (car exactement un x ∈ R+ convient).
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2
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Remarques
• On a très souvent plusieurs quantificateurs à la suite. Cela ne pose pas de problème quand ils sont
du même type : la proposition ∀a ∈ R, ∀b ∈ R, (a−b)2 = a2 −2ab+b2 a exactement le même sens que
∀b ∈ R, ∀a ∈ R, (a−b)2 = a2 −2ab+b2 et s’abrège d’ailleurs souvent ∀a, b ∈ R, (a−b)2 = a2 −2ab+b2 .
Quand on a une alternance de quantificateurs existentiels et universels, en revanche, l’ordre est
crucial (cf exercice 1.1).
• Il faut toujours préciser à quel ensemble chacune des variables appartient. Par exemple, ∀x, x2 > 0
n’a aucun sens.
• La virgule après un quantificateur existentiel se lit «tel que» (on peut à la limite omettre la virgule,
mais le «tel que» implicite est toujours là). Ainsi, ∀x ∈ R+ , ∃y ∈ R, y 2 = x se lit «pour tout x
appartenant à R+ , il existe un y appartenant à R tel que y 2 soit égal à x». Il est parfois plus clair
d’écrire le «tel que» explicitement ou d’utiliser l’abréviation «tq».
Exercice 1.1
1.
a. Quelle est la différence entre «∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x2 6 y» et «∃y ∈ R, ∀x ∈ R, x2 6 y» ?
b. De manière plus générale, considérons un ensemble E et une propriété P (x, y) dépendant de deux éléments x et y de E. Existe-t-il un lien logique entre les deux propriétés
«∀y ∈ E, ∃x ∈ E, P (x, y)» et «∃x ∈ E, ∀y ∈ E, P (x, y)» ?
2. La conclusion du 1.b n’est plus valable si l’on remplace le quantificateur ∃ par ∃!. Trouver
un contre-exemple.
Exercice 1.2
On se donne deux réels a et b. Pour chacune des propriétés suivantes, trouver une propriété
équivalente n’utilisant aucun quantificateur.
1. ∀x ∈ R, ax 6 0
2. ∀x ∈ R, x2 > a
3. ∃x ∈ R, x2 + ax + b = 0
4. ∃x ∈ R, ax + b = 0
5. ∃!x ∈ R, ax + b = 0
1.2 Connecteurs logiques
Définition 1.4
Un connecteur logique permet de former une nouvelle proposition à partir d’une ou plusieurs propositions. Ceux utilisés en pratique sont :
• la négation de A notée «non A» ou «¬A» ;
• la conjonction de A et B notée «A et B» ou parfois «A ∧ B» ;
• la disjonction de A et B notée «A ou B» ou parfois «A ∨ B» ;
• l’implication de A à B notée «A ⇒ B» ;
• l’équivalence entre A et B notée «A ⇔ B» ;
La signification de ces connecteurs est donnée par les tables de vérité suivantes :
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A
B
¬A
A∧B
A∨B
A⇒B
A⇔B
V
V
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
3
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Remarques
• Le «non» est prioritaire sur les autres connecteurs (ce qui permet d’éviter l’accumulation de parenthèses). Ainsi, «non A ou B» signifie «(non A) ou B» et pas «non (A ou B)»
• On voit que «A ou B» est toujours vrai, sauf dans le cas où A et B sont tous les deux faux. La
proposition «0 = 1 ou 2 + 2 = 4», par exemple, est vraie. On dit que le «ou» mathématique est
inclusif, ce qui n’est pas systématiquement le cas dans le langage courant.
• Il faut faire très attention à bien distinguer A ⇒ B de «A, donc B». La proposition «0 > 1 ⇒
17 = 24» est vraie, tout comme «0 > 1 ⇒ 17 , 24». En effet, A ⇒ B signifie «si A est vrai, alors
B aussi» et ne dit donc rien du cas où A est faux. En revanche, «A donc B» signifie «je sais que A
est vrai, j’en déduis que B aussi». Pour éviter les confusions, une règle simple à retenir : le symbole
⇒ ne sera presque jamais utilisé en dehors de définitions données dans le cours.
• On a le même type de problème pour l’équivalence : quand on écrit A ⇔ B, on dit seulement que
A et B sont soit tous les deux vrais, soit tous les deux faux. Le symbole ⇔ ne sera utilisé que
pour résoudre certains types d’équations très simples (et pour énoncer de manière succincte des
définitions et théorèmes).
• Il ne faut pas confondre une implication A ⇒ B et sa réciproque B ⇒ A. Ainsi, l’implication «ABC
équilatéral ⇒ AB = AC» est vraie, mais sa réciproque «AB = AC ⇒ ABC équilatéral» est fausse
(puisque rien n’oblige AB à être égal à BC). Dire que «A ⇒ B» et «B ⇒ A» sont tous les deux
vrais, c’est précisément dire que «A ⇔ B» est vrai.
Exercice 1.3
On peut en fait définir le «et» à partir du «ou» et du «non». En effet, dire que «A et B» est
vrai, c’est dire que A et B sont tous les deux vrais, autrement dit que «non A» et «non B» sont
tous les deux faux, c’est-à-dire que «(non A) ou (non B)» est faux. Finalement, «A et B» est
synonyme de «non((non A) ou (non B))». Définir de même (c’est plus simple) :
1. ⇒ à partir de «non» et de «ou» ;
2. ⇔ à partir de «et» et de ⇒ ;
3. ⇔ à partir de «non», de «et» et de «ou» (sans utiliser les questions précédentes).
Proposition 1.5
Soit E un ensemble et P (x) une propriété dépendant d’un élément x de E.
• La proposition «non (∀x ∈ E, P (x))» est équivalente à «∃x ∈ E, non P (x)».
• La proposition «non (∃x ∈ E, P (x))» est équivalente à «∀x ∈ E, non P (x)».
Remarques
• On dit souvent que la négation échange les quantificateurs existentiels et universels.
• Cette propriété est évidente, dès lors qu’on a bien compris que le «contraire» (c’est-à-dire la
négation) de «tous les chats sont domestiques» n’est pas «aucun chat n’est domestique» mais
bien «il y a au moins un chat qui n’est pas domestique».
• Quand il y a plusieurs quantificateurs, on applique
plusieurs fois de suite la règle : en partant
2
par exemple de «non ∀x ∈ R,
∃y
∈
R,
y
=
x
»,
on
obtient
«∃x ∈ R, non ∃y ∈ R, y 2 = x » puis
«∃x ∈ R, ∀y ∈ R, non y 2 = x », c’est-à-dire «∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y 2 , x».
Exercice 1.4
On considère un entier naturel n.
1. T́raduire «formellement» (c’est-à-dire à l’aide de quantificateurs et éventuellement de connecteurs logiques) la proposition «n est pair».
2. En déduire une traduction formelle de «n est impair». Pouvez-vous trouver une formulation
plus simple (en tout cas plus «pratique») de «n est impair» ?
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Exercice 1.5
On considère une suite réelle (un )n∈N . T́raduire «formellement» les propositions suivantes.
1. La suite u est croissante.
2. La suite u n’est pas croissante.
3. La suite u n’est pas monotone ( i.e. elle n’est ni croissante ni décroissante).
1.3 Règles logiques et raisonnement
Les formules logiques ci-dessous sont toujours vérifiées 1 (que les propositions A, B, C. . . soient vraies
ou pas). Il faut les voir surtout comme des formalisations d’un certain nombre de types de raisonnement
valides.
Proposition 1.6
• Distributivité
(A ou (B et C)) ⇔ ((A ou B) et (A ou C))
(A et (B ou C)) ⇔ ((A et B) ou (A et C))
• Lois de De Morgan
(non (A ou B)) ⇔ (non A et non B)
(non (A et B)) ⇔ (non A ou non B)
• Contraposée
(A ⇒ B) ⇔ (non B ⇒ non A)
• Disjonction des cas
((A ou B) et (A ⇒ C) et (B ⇒ C)) ⇒ C
((A ⇒ C) et (non A ⇒ C)) ⇒ C
• Raisonnement par l’absurde
(non A ⇒ Faux) ⇒ A
1.3.a
Méthodes de démonstration
On considère un ensemble E et une proposition P (x) dépendant d’un élément x de E.
• Démonstration de «∀x ∈ E, P(x)», directement :
Soit x ∈ E (on se donne un élément quelconque de E).
On démontre que P (x) est vraie.
On en déduit ∀x ∈ E, P (x).
Exemple : ∀x ∈ R, x2 − 4x + 3 > −1.
• Démonstration de «∃x ∈ E, P(x)», directement :
On exhibe un x particulier vérifiant P (x).
On conclue.
Exemple : ∃x ∈ R, ex − 4x2 = 1
• Démonstration de «∃x ∈ E, P(x)», par l’absurde :
On suppose ∀x ∈ E, non P (x).
On en déduit une absurdité.
On conclue.
Exemple : exercice 1.9
• Démonstration de «∃!x ∈ E, P(x)» :
(
∃x ∈ E, P (x)
(existence)
La propriété à démontrer est équivalente à :
∀x, y ∈ E, P (x) et P (y) ⇒ x = y (unicité)
Il faut donc démontrer chacune de ces deux propriétés, ce qui peut se faire de plusieurs manières.
Exemples : exercice 1.6.
• Démonstration de «A ⇒ B», directement :
On suppose A.
On en déduit B.
1. on dit que ce sont des tautologies
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
On conclue.
Exemple : ∀x ∈ R, (x > 3) ⇒ (x2 − 3x > 0).
• Démonstration de «A ⇒ B», par contraposée :
On suppose non B.
On en déduit non A.
On a donc non B ⇒ non A, et par contraposée on conclue A ⇒ B.
Exemple : ∀n ∈ N, n2 impair ⇒ n impair.
• Démonstration de «A ⇔ B», par double implication :
On montre séparément «A ⇒ B» et «B ⇒ A».
Remarque : on peut parfois raisonner par équivalence, mais c’est rare. Le réflexe doit être de
décomposer en deux implications.
Exemple : ∀n ∈ N, (n pair) ⇔ (n2 pair).
Exercice 1.6
1. Montrer que ∃!x ∈ R, x =
√
x + 2.
2. Pour quelle(s) valeur(s) de x ∈ R (s’il y en a) a-t-on
3. Pour quelle(s) valeur(s) de x ∈ R (s’il y en a) a-t-on
p
√
|x − 2| − 3 =
x2
√
x − 1?
+ 1 = x − 1?
Remarque
De manière générale, il faut retenir qu’une stratégie possible, et souvent fructueuse, pour déterminer
les x ∈ E vérifiant une certaine propriété P (x) est de :
• prendre un x dans E dont on suppose qu’il vérifie P (x) ;
• en déduire les valeurs possibles de x (sans chercher à avoir des équivalences) ;
• parmi les valeurs possibles trouvées pour x, déterminer celle ou celles qui conviennent effectivement.
Tenter de procéder par équivalence tout au long de la démonstration est généralement une mauvaise
idée.
Exercice 1.7
√
√
Montrer que 2 est irrationnel. On procédera par l’absurde en supposant que 2 =
p, q ∈ N et pq irréductible.
Exercice 1.8
p
q
avec
Démonstration par disjonction des cas
Montrer que ∀n ∈ N, n2 + n est pair.
Exercice 1.9
Montrer qu’il existe deux nombres irrationnels positifs x et√y √
tels que xy soit rationnel, c’est-ày
dire que ∃x, y ∈ R+ \ Q, x ∈ Q. On pourra s’intéresser à 2 2 et utiliser l’exercice 1.7.
1.3.b
Démonstration par récurrence
On considère n0 ∈ N et P (n) une propriété dépendant de n ∈ N.
Théorème 1.7
Récurrence
Si l’on a :
• P (n0 ) (Initialisation)
• ∀n > n0 , P (n) ⇒ P (n + 1) (Hérédité)
alors ∀n > n0 , P (n).
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Théorème 1.8
Récurrence double
Si l’on a :
• P (n0 ) et P (n0 + 1) (Initialisation)
• ∀n > n0 , P (n) et P (n + 1 ⇒ P (n + 2) (Hérédité)
alors ∀n > n0 , P (n).
Remarque
On peut aussi, mais c’est extrêmement rare en pratique, faire une récurrence
triple : on initialise pour
n0 , n0 + 1 et n0 + 2 et l’on prouve que P (n) et P (n + 1) et P (n + 2) implique P (n + 3).
Théorème 1.9
Récurrence forte
Si l’on a :
• P (n0 ) (Initialisation)
• ∀n > n0 , (P (n0 ) et P (n0 + 1) et . . . et P (n)) ⇒ P (n + 1) (Hérédité)
alors ∀n > n0 , P (n).
Exercice 1.10
Déterminer les n ∈ N tels que 3n 6 n!.
Exercice 1.11
Soit (un )n>0 la suite définie par u0 = 2, u1 = 3 et ∀n ∈ N, un+2 =
bien définie.
Exercice 1.12
Soit (un )n>0 la suite définie par u0 = 2 et ∀n ∈ N, un+1 =
bien définie.
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√
u0
√
√
un+1 un . Montrer que u est
u1 . . .
√
un . Montrer que u est
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
2 Sommes et produits finis
2.1 Symboles Σ et Π
2.1.a
Introduction
Définition 1.10
Soient n0 et n dans Z, avec n0 6 n et an0 , an0 +1 , . . . , an dans C. On note
n
X
ai = an0 + an0 +1 + · · · + an
i=n0
n
Y
ai = an0 × an0 +1 × · · · × an
i=n0
Exemple 1.13
Pour n ∈ N∗ , on a n! =
n
Q
i et
n
P
n = n2 .
i=1
i=1
Remarques
• Dans
n
P
ai , i est une variable liée ou muette. Ainsi, cette somme ne dépend pas de i.
i=n0
n
P
• Dans la somme
ai , il y a n − n0 + 1 termes. En particulier,
i=n0
n
P
ai est une somme de n + 1
i=0
termes.
n
n
P
Q
• Par convention, si n < n0 , on pose
ai = 0 (une somme de zéro terme est nulle) et
ai = 1
i=n0
i=n0
(un produit de zéro facteur vaut 1).
P
On peut aussi définir des sommes (ou des produits) implicitement : si I est un ensemble fini,
ai
désigne la somme des ai pour i ∈ I. Si l’ensemble I est vide, la somme est nulle.
i∈I
Proposition 1.11
Soient n0 et n dans Z avec n0 6 n, λ ∈ C et an0 , an0 +1 , . . . , an ainsi que bn0 , bn0 +1 , . . . , bn dans C.
n
n
n
X
X
X
•
ai + bi =
ai +
bi
•
•
i=n0
n
X
i=n0
n
X
i=n0
λai = λ
n
X
i=n0
ai
i=n0
ai =
i=n0
m
X
n
X
ai +
i=n0
ai pour m ∈ Z, n0 6 m 6 n.
i=m+1
Proposition 1.12
Soient n0 et n dans Z avec!n0 6 n, λ!∈ C et an0 , an0 +1 , . . . , an ainsi que bn0 , bn0 +1 , . . . , bn dans C.
n
n
n
Y
Y
Y
•
ai bi =
ai
bi
•
i=n0
n
Y
i=n0
λai = λ
n−n0 +1
i=n0
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i=n0
n
Y
ai
i=n0
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
n
Y
•
ai =
i=n0
m
Y
i=n0
!
!
n
Y
ai
pour m ∈ Z, n0 6 m 6 n.
ai
i=m+1
Exercice 1.14
Calculer les produits suivants.
1.
n
Q
2k
2n
Q
2.
k=1
3.
k
n
Q
k2
k=1
k=1
Il est très fréquent de rencontrer des sommes que l’on ne sait pas «calculer» mais que l’on a besoin
de minorer ou de majorer. La méthode la plus simple (et donc la première à essayer) est d’utiliser la
propriété (évidente) suivante :
Proposition 1.13
Soient a1 , . . . , an et b1 , . . . , bn des réels.
n
n
P
P
• Si ∀i ∈ ~1, n, ai 6 bi , alors
ai 6
bi .
i=1
i=1
• P
En particulier,
Pn s’il existe une constante réelle M telle que ∀i ∈ ~1, n, ai 6 M , alors on a
n
a
6
i
i=1
i=1 M = nM .
Exercice 1.15
Montrer que pour n ∈ N∗ , on a
2.1.b
1
2
2n
P
6
k=n
1
k
6 1 + n1 .
Changement d’indice
On peut dans une somme changer d’indice de sommation tant que le nouvel indice prend exactement
les mêmes valeurs que l’ancien (et de même dans un produit). Le plus souvent, il faut pour cela ajuster
les bornes de la somme.
Exemple 1.16
Il y a deux types de changement d’indice simples.
• Décalage : on pose k 0 = k + p avec p ∈ Z.
n
P
Ainsi, si l’on veut simplifier l’écriture de
k=1
1
k−1
on peut poser k 0 = k − 1. Quand k = 1,
on a k 0 = 0 et quand k = n, on a k 0 = n − 1. On obtient donc
n
P
k=1
1
k−1
=
n−1
P
k0 =0
1
k0
=
n−1
P
k=0
1
k.
• Décalage inversé : on pose k 0 = p − k avec p ∈ Z.
n √
P
Pour simplifier
n + 1 − k, on pose k 0 = n + 1 − k. k 0 varie alors entre n + 1 − n = 1
k=2
et n + 1 − 2 = n − 1, donc
n √
P
k=2
n+1−k =
n−1
P
√
k.
k=1
Il peut parfois être utile de séparer les termes d’indices pairs de ceux d’indices impairs :
Exercice 1.17
Montrer que
n
X
k=1
8 bnc
1 + (−1)k 2k =
4 2 −1 .
3
On pourra utiliser la proposition 1.18.
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9
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
On peut aussi regrouper des termes pour simplifier le calcul (sommation par paquets) :
Exercice 1.18
Calculer
100
P
(−1)k k.
k=0
Proposition 1.14
Sommes télescopiques
Soient n0 et n dans Z avec n0 6 n, et an0 , an0 +1 , . . . , an+1 dans C. On a
n
X
(ai+1 − ai ) = an+1 − an0
i=n0
Exemple 1.19
Montrer que ∀n ∈ N∗ ,
n
P
k=1
1
k(k+1)
=1−
1
n+1 .
On a une propriété similaire pour les produits.
Proposition 1.15
Soient n0 et n dans Z avec n0 6 n, et an0 , an0 +1 , . . . , an+1 dans C. Si ai , 0 pour tout i de ~n0 ; n,
on a
n
Y
ai+1
an+1
=
ai
an0
i=n
0
Exercice 1.20
Soit n ∈ N∗ . Calculer
n
Q
k=1
1+
1
k
.
2.2 Sommes usuelles
Théorème 1.16
Sommes de Newton
Soit n ∈ N∗ . On a :
n
X
k=1
n
X
k=
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
6
k=1
2
n
X
n(n + 1)
3
k =
2
k2 =
k=1
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10
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Proposition 1.17
Somme des termes d’une suite arithmétique
Soient u une suite arithmétique définie au moins à partir de n0 ∈ N et n > n0 . On a :
n
X
uk = (n − n0 + 1)
k=n0
un0 + un
2
Remarque
On retiendra que la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique est donnée par «le nombre
de termes fois la moyenne des termes extrêmes».
Proposition 1.18
Somme des termes d’une suite géométrique
Soient q ∈ C, q , 1 et n0 6 n dans N. On a :
n
X
q k = q n0
k=n0
1 − q n−n0 +1
1−q
Remarques
• Il faut absolument connaître cette formule par cœur.
n
n
P
P
• L’hypothèse q , 1 est indispensable. On a bien sûr
1k =
1 = n − n0 + 1.
k=n0
k=n0
Exercice 1.21
Montrer que pour n ∈ N, on a
n
X
k=1
1
3
6
1 + 3k 2
n+1 !
1
1−
3
Exercice 1.22
n
Q
Soit n ∈ N. Calculer
k=0
2k et
n
Q
k
22 .
k=0
2.3 Sommes doubles
Définition 1.19
Soient E et F deux ensembles. On note E × F l’ensemble des couples (ou 2-uplets) dont la première
composante est dans E et la deuxième dans F .
E × F = {(x, y), x ∈ E et y ∈ F }
E × F est appelé produit cartésien de E et de F .
Remarques
• Par analogie avec la multiplication, on note E 2 pour E × E.
• Attention, E × F , F × E (sauf si E = F ).
• Attention à ne pas confondre couple et ensemble à deux éléments. On a {0; 1} = {1; 0} mais
(0; 1) , (1; 0). Un couple est une paire ordonnée, un ensemble à deux éléments est une paire non
ordonnée.
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11
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
• Cette notion sera généralisé dans la partie 3.
Exemple 1.23
√
√
√ En posant A = {?; •} et B = π, 2, 0 , on a A×B = (?, π), (?, 2), (?, 0), (•, π), (•, 2), (•, 0) .
Théorème 1.20
Fubini
Soient I et J deux ensembles finis et ai,j , pour (i, j) ∈ I × J, des complexes. On a :


!
X
X X
X X


ai,j =
ai,j =
ai,j
i∈I
(i,j)∈I×J
j∈J
j∈J
i∈I
Remarque
En particulier,
p
n P
P
i=1 j=1
ai,j =
p P
n
P

ai,j =
j=1 i=1

P
ai,j .
16i6n
16j6p
Exemple 1.24
Pour calculer des sommes doubles, on utilise principalement deux techniques :
!
n
n
P
P
P
• rendre explicite la somme double : par exemple,
ai,j =
ai,j .
16i<j6n
i=1 j=i+1
!
!
n
n
n
n
P
P
P
P
j
j
• factoriser dans la somme interne : par exemple,
ix =
i
x = ....
i=1 j=1
P i=1 j=1
Il est parfois nécessaire de commencer par intervertir les symboles
( i.e. par appliquer le
théorème de Fubini).
Exercice 1.25
1. Pour n ∈ N∗ , calculer
P
ij.
16i6j6n
2. Pour n ∈ N∗ , calculer
P
16i6j6n
i
j.
2.4 Coefficients binomiaux
Définition 1.21
Soient n et k dans Z. On définit le coefficient binomial nk (lire «k parmi n») par :
( n!
si 0 6 k 6 n
n
= k!(n−k)!
k
0
sinon
Remarques
• Si 0 < k 6 n, on a nk = n(n−1)...(n−k+1)
.
k!
• Vous trouverez peut-être parfois la notation Cnp , qui est passée de mode. Attention, Cnp =
n
p
.
Exemple 1.26
• On a
8!
= 3!×5!
= 8×7×6×5×4
5×4×3×2 = 8 × 7 = 56.
n(n−1)
n
• ∀n ∈ N, 2 =
et n3 = n(n−1)(n−2)
.
2
6
8
5
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12
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Théorème 1.22
Soientk,n ∈ N. On a: n
n
n+1
•
+
=
k+1
k k + 1 n
n
•
=
n− k k n
n n−1
•
=
(pour k , 0)
k k−1
k
triangle de Pascal
symétrie
Remarque
Les deux premières formules sont très faciles à retrouver à partir du triangle de Pascal.
Théorème 1.23
Formule du binôme de Newton
Soient x, y ∈ C et n ∈ N.
(x + y)n =
n X
n
k=0
k
xk y n−k
Remarque
On peut vérifier aisément que la formule est bien symétrique en x et y en faisant le changement
d’indice k 0 = n − k et en utilisant la deuxième identité du théorème 1.22.
Exercice 1.27
Pour n ∈ N, calculer :
1.
n
P
k=0
n
k
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2.
n
P
k=0
k
n
k
3.
n
P
k=0
(−1)k
n
k
13
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
3 Ensembles
3.1 Introduction
Les ensembles peuvent être considérés comme les objets de base des mathématiques. Intuitivement, il
faut comprendre qu’un ensemble est caractérisé uniquement par ses éléments. La relation fondamentale
est donc la relation d’appartenance «∈» : x ∈ A signifie «x appartient à A» ou «x est un élément de A».
Cette relation est primitive dans le sens qu’il est impossible de la définir à partir de notions plus simples.
Exemple 1.28
1. On a 1 ∈ {0, 1, 3}, 2 < {0, 1, 3} et {1} < {0, 1, 3}.
2. L’ensemble vide, noté ∅, est l’unique ensemble n’ayant aucun élément.
Définition 1.24
Soient A et B deux ensembles.
• On dit que A est inclus dans B, et l’on note A ⊂ B, si tout élément de A est aussi un élément
de B. Autrement dit :
A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B
• On dit que A est égal à B (et l’on note A = B) si A et B ont exactement les mêmes éléments.
Autrement dit :
A = B ⇔ (∀x ∈ A, x ∈ B) et (∀x ∈ B, x ∈ A)
Remarques
• Si A est inclus dans B, on dit aussi que A est une partie de B.
• Intuitivement, une inclusion ensembliste correspond à une implication. Montrer que A ⊂ B, c’est
montrer que «pour tout x», x ∈ A ⇒ x ∈ B.
• De même, une égalité ensembliste correspond à une équivalence. Montrer que A = B, c’est montrer
que «pour tout x», x ∈ A ⇔ x ∈ B.
• De même qu’on montre habituellement une équivalence en montrant successivement une implication
et sa réciproque, la méthode classique pour montrer une égalité d’ensemble et de procéder par double
inclusion (montrer A ⊂ B puis B ⊂ A).
Exemple 1.29
•
•
•
•
On a N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Pour tout ensemble A, on a A ⊂ A et ∅ ⊂ A.
On a {0, 1} ⊂ {0, 1, 3} mais {0, 2} 1 {0, 1, 3}.
Dans un ensemble, les répétitions et l’ordre sont ignorés.
Ainsi, {0, 1, 3} = {3, 1, 0} = {0, 0, 1, 3}.
Pour définir un ensemble, il n’est pas toujours possible de donner la «liste» de tous ses éléments (par
exemple si l’ensemble est infini). On peut aussi utiliser :
• la compréhension : à partir d’un ensemble E et d’une proposition P (x), on forme l’ensemble
{x ∈ E, P (x)} (ensemble des x ∈ E √
tels que √
P (x)) ;
Exemple : {x ∈ R, x2 > 2} =] − ∞, 2] ∪ [ 2, +∞[
• la substitution : par exemple en définissant A = {(x, x + 1), x ∈ R}. Dans ce cas, on aura
(−4, −3) ∈ A, (π, π + 1) ∈ A mais (2, 0) < A.
3.2 Ensemble des parties d’un ensemble
Définition 1.25
Soit E un ensemble.
• On dit qu’un ensemble A est une partie de E si A ⊂ E.
• On note P(E) l’ensemble des parties de E.
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14
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Remarques
• P(E) est un ensemble d’ensembles.
• Pour tout ensemble A, on a A ∈ P(E) ⇔ A ⊂ E.
• Comme ∅ ⊂ E (quel que soit l’ensemble E), l’ensemble vide est toujours un élément de P(E).
• De même, on a toujours E ⊂ E, donc E ∈ P(E).
Exemple 1.30
Si A = {0, π}, alors P(A) = {∅, {0}, {π}, {0, π}}. Attention, π et {π} sont deux objets différents :
le premier est un nombre réel, le deuxième un ensemble à un élément (singleton). Dans notre
exemple, on a {π} ∈ P(A) mais π < P(A).
3.3 Opérations sur les ensembles
Définition 1.26
A, B et I désignent des ensembles.
• La réunion de A et B est notée A ∪ B.
«pour tout x», x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ou x ∈ B
Par exemple, {0, 1} ∪ {0, 4, 5} = {0, 1, 4, 5}
• L’intersection de A et B est notée A ∩ B.
«pour tout x», x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A et x ∈ B
Par exemple, {0, 1} ∩ {0, 4, 5} = {0}
• Le complémentaire de A dans B est noté B \ A (on lit souvent «B privé de A»).
B \ A = {x ∈ B, x < A}
Par exemple, on a {0, 1, 2} \ {1, 4} = {0, 2}.
• Lorsque tous les ensembles considérés sont des parties d’un même ensemble E, et qu’il n’y a
pas d’ambiguïté possible, on note souvent A au lieu de E \ A.
• Si l’on dispose d’un ensemble Ai pour chaque i ∈ I, on peut prendre l’union des Ai pour
i∈I :
[
«pour tout x», x ∈
Ai ⇔ ∃i ∈ I, x ∈ Ai
i∈I
• De même pour l’intersection des Ai pour i ∈ I :
\
«pour tout x», x ∈
Ai ⇔ ∀i ∈ I, x ∈ Ai
i∈I
• On a défini plus haut le produit cartésien A × B de deux ensembles.
A × B = {(x, y), x ∈ A et y ∈ B}
• Si A1 , . . . , An sont des ensembles, on définit de même
A1 × A2 × · · · × An = {(x1 , . . . , xn ), ∀i ∈ ~1, n, xi ∈ Ai }
On notera An pour A × · · · × A.
|
{z
}
n fois
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15
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Exemple 1.31
On a
S
]n, n + 1[= R \ Z et
n∈Z
T
[n, +∞[= ∅.
n∈N
Proposition 1.27
Soient E un ensemble et A, B, C ∈ P(E). On a :
• A ∪ B = A ∩ B et A ∩ B = A ∪ B
• A=A
• A ∩ B ⊂ A et A ⊂ A ∪ B
• A ∩ B = B ∩ A et A ∪ B = B ∪ A
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C et A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
De Morgan
double négation
associativité
Exercice 1.32
Soient E un ensemble et A, B, C ∈ P(E).
1. Montrer que A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).
2. Montrer que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
3. On suppose que B ⊂ A. Montrer que A ∩ (B ∪ C) = B ∪ (A ∩ C)
4 Applications
4.1 Introduction
Définition 1.28
Une application est définie par la donnée de :
• un ensemble A appelé ensemble de départ ;
• un ensemble B appelé ensemble d’arrivée ;
• pour chaque élément x de A, un unique élément f (x) de B.
On note alors f : A → B
Remarques
• Dire que deux applications f : A → B et g : C → D sont égales, c’est dire que :
– A = C (elles ont même ensemble de départ) ;
– B = D (elles ont même ensemble d’arrivée) ;
– ∀x ∈ A, f (x) = g(x) (on pourrait remplacer A par C ici puisqu’ils sont égaux).
• Si f : A → B et g : A → B, on a donc
– f = g ⇔ ∀x ∈ A, f (x) = g(x)
– f , g ⇔ ∃x ∈ A, f (x) , g(x)
On définira souvent une application en donnant explicitement une expression permettant de passer
d’un
√ élément de l’ensemble de départ à son image dans l’ensemble d’arrivé.
√ Ainsi, f : [0, 1] → R | x 7→
1 − x2 désigne l’application de [0, 1] dans R qui à tout x ∈ [0, 1] associe 1 − x2 . Dans cette écriture,
la variable x est muette.
Pour vérifier qu’un application f : E → F | x 7→ f (x) est bien définie, il faut vérifier que f (x) a un
sens pour tout x de E et que f (x) ∈ F pour tout x de E.
Exercice 1.33
Montrer que f : [2, 4] → [−5, 0[ | x 7→
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x+3
1−x
est bien définie.
16
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Définition 1.29
Si f, g : E → R, on définit
• f 6 g par
f 6 g ⇔ ∀x ∈ E, f (x) 6 g(x) ;
• f + g par
f + g : E → R | x 7→ f (x) + g(x) ;
• f × g par
f × g : E → R | x 7→ f (x) × g(x).
Remarque
On n’utilise jamais la notation f < g, car son sens est a priori ambigu. Pourquoi ?
Définition 1.30
Soient f : E → F et g : F → G. La composée de f par g est l’application
g ◦ f : E → G | x 7→ g(f (x)).
Remarque
Attention, la composition n’est pas commutative. Même si g ◦ f et f ◦ g existent toutes les deux
(c’est-à-dire si E = G), elles n’ont aucune raison d’être égales.
Exercice 1.34
Dans chacun des cas suivants, déterminer si g ◦ f et f ◦ g existent, et, le cas échéant, déterminer
si elles sont égales.
1
1
∗
∗
• f : R∗ → R∗ | x 7→ √
x et g : R → R | x 7→ x2
• f : R+ → R | x 7→ x et g : R → R+ | x 7→ x2
• f : R → R | x 7→ x2 et g : R → R | x 7→ x + 1
Définition 1.31
Si E est un ensemble, on appelle identité de E l’application IdE : E → E | x 7→ x.
Remarque
IdR est donc la fonction dont la courbe représentative est la première bissectrice (i.e. la droite d’équation y = x).
Proposition 1.32
Soit f : E → F . On a IdF ◦ f = f ◦ IdE = f
Proposition 1.33
Soient f : E → F , g : F → G, et h : G → H. On a h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .
Remarque
On dit que la composition est associative et l’on écrira donc simplement h ◦ g ◦ f .
Définition 1.34
Soit f : e → F et A ⊂ E. On appelle restriction de f à A l’application
f|A : A → F | x 7→ f (x).
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17
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Exemple 1.35
Soit f : R → R | x 7→ |x| et g = IdR . On a f|R+ = g|R+ . Dans ce cas, on dit parfois que f et g
coïncident sur R+ .
4.2 Image directe et réciproque
Définition 1.35
Soit f : E → F .
• Si A est une partie de E, l’image directe de A par f est l’ensemble
f (A) = {y ∈ F, ∃x ∈ A, y = f (x)} = {f (x), x ∈ A}.
• Si B est une partie de F , l’image réciproque de B par f est l’ensemble
f −1 (B) = {x ∈ E, f (x) ∈ B}.
Remarque
Si f : E → F et si y ∈ F , f −1 ({y}) est l’ensemble des antécédents de y par f (qui peut être vide).
Exercice 1.36
Soit f : R → R | x 7→ x2 . Déterminer f ([−2; 3[) et f −1 (] − 1; 4]).
Exercice 1.37
Soient f : E → F , A et A0 des parties de E, B et B 0 des parties de F .
1. Montrer que f −1 (B ∪ B 0 ) = f −1 (B) ∪ f −1 (B 0 ).
2.
a. Montrer que f (A ∩ A0 ) ⊂ f (A) ∩ f (A0 ).
b. Montrer que l’autre inclusion n’est pas forcément vérifiée (on pourra prendre f : R →
R | x 7→ x2 et chercher A et A0 tels que A ∩ A0 = ∅ et f (A) ∩ f (A0 ) , ∅).
4.3 Injections et surjections
Définition 1.36
Soit f : E → F . f est dite injective si ∀x, y ∈ E, f (x) = f (y) ⇒ x = y.
Remarques
• f est injective ssi ∀x, x0 ∈ E, x , x0 ⇒ f (x) , f (x0 ).
• f est injective ssi tout élément de F a au plus un antécédent par f .
• f est injective ssi, pour tout y ∈ F , l’équation y = f (x) d’inconnue x ∈ E a au plus une solution.
Exemple 1.38
• L’application f : N → N | n 7→ b n2 c n’est pas injective, car f (4) = f (5) = 2.
• L’application g : N → {−1, 1} × N | n 7→ (−1)n , b n2 c est injective.
Proposition 1.37
Si A ⊂ R, toute application strictement monotone de A dans R est injective.
Exercice 1.39
Soit f : R → R | x 7→ x3 + 2x2 + x + 1, g : R → R | x 7→ x2 et ϕ : R → R2 | x 7→ (f (x), g(x)).
1. f et g sont-elles injectives ?
2. Trouver un α ∈ R tel que f + αg soit strictement croissante.
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18
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
3. En déduire que ϕ est injective.
Définition 1.38
Soit f : E → F . f est dite surjective si ∀y ∈ F ∃x ∈ E, y = f (x).
Remarques
• f est surjective ssi f (E) = F .
• f est surjective ssi tout élément de F a au moins un antécédent par f .
• f est surjective ssi, pour tout y ∈ F , l’équation y = f (x) d’inconnue x ∈ E a au moins une solution.
Exemple 1.40
L’application | • | : R → R | x 7→ |x| n’est pas surjective car −2 n’a aucun antécédent par cette
application.
4.4 Bijections
Définition 1.39
Soit f : E → F . f est dite bijective si ∀y ∈ F ∃!x ∈ E, y = f (x).
Remarques
• f est bijective ssi elle est injective et surjective.
• f est bijective ssi tout élément de F a exactement un antécédent par f .
• f est bijective ssi, pour tout y ∈ F , l’équation y = f (x) d’inconnue x ∈ E a exactement une
solution.
Exercice 1.41
Soient f : R → R+ | x 7→ x2 , g : R+ → R | x 7→ x2 et h : R+ → R+ | x 7→ x2 . Pour chacune de
ces fonctions, déterminer si elle est injective, si elle est surjective et si elle est bijective.
Définition 1.40
Soit f : E → F bijective, on appelle application réciproque de f l’application
f −1 : F
y
→
7
→
E
l’unique antécédent de y par f
Remarque
Attention à ne pas confondre avec l’image réciproque. Si f : E → F et si y ∈ F , f −1 ({y}) existe
toujours (c’est l’ensemble, éventuellement vide, des antécédents de y par f ). En revanche, f −1 (y) n’a
aucun sens si f n’est pas bijective.
Proposition 1.41
Soit f : E → F bijective. On a f ◦ f −1 = IdF et f −1 ◦ f = IdE .
Proposition 1.42
Soient f : E → F et g : F → E. Si g ◦ f = IdE et f ◦ g = IdF , alors :
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19
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
• f et g sont bijectives.
• g = f −1 et f = g −1
Remarque
Attention, il faut absolument les deux égalités.
Exemple 1.42
Aucune des deux applications f : R → R2 | x 7→ (x, x) et g : R2 → R | (x, y) 7→ x n’est bijective,
et pourtant g ◦ f = IdR .
Exemple 1.43
√
• Les applications R+ → R+ | x 7→ x2 et R+ → R+ | x 7→ x sont réciproques l’une de
l’autre.
• De même pour les applications R → R∗+ | x 7→ ex et R∗+ → R | x 7→ ln x.
Exercice 1.44
Soit f : ] − ∞, 3] → [1; +∞[ | x 7→ x2 − 6x + 10. Montrer que f est bien définie, qu’elle est
bijective, et déterminer son application réciproque.
Proposition 1.43
Soient f : E → F et g : F → G.
• Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective.
• Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective.
• Si f et g sont bijectives, alors g ◦ f est bijective.
Remarque
Les implications réciproques sont fausses, comme le montre l’exemple 1.42. Se reporter à l’exercice
1.61 pour voir ce qu’il est possible d’affirmer.
Proposition 1.44
Soient E, F et G trois ensembles.
• IdE est bijective et Id−1
E = IdE .
−1
• Si f : E → F est bijective, alors f −1 aussi et f −1
= f.
• Si f : E → F et g : F → G sont bijectives, alors (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
4.5 Fonctions indicatrices
Définition 1.45
Soient E un ensemble et A une partie de E. La fonction indicatrice de A est l’application
1A : E
x
→ R
(
7→
1
0
si x ∈ A
si x < A
Remarque
−1
On a donc 1−1
A ({1}) = A et 1A ({0}) = E \ A.
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20
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Proposition 1.46
Soient E un ensemble, A et B deux parties de E.
On a 1A = 1B ⇔ A = B
Exemple 1.45
(
Soient f : R → R | x 7→ x , g : R → R | x 7→ 2x + 1 et ϕ : R → R | x 7→
2
On a ϕ = 1]−∞;3] × f + 1]3;+∞[ × g.
f (x)
g(x)
si x 6 3
.
si x > 3
Exercice 1.46
Soient E un ensemble, A et B deux parties de E.
Exprimer 1A , 1A∩B et 1A∪B en fonction de 1A et de 1B .
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21
Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Travaux dirigés
Logique
Exercice 1.47
On considère une fonction f définie sur R. Exprimer à l’aide de quantificateurs les propositions
suivantes.
1. f est croissante sur R.
2. f est strictement décroissante sur R.
3. f admet sur R un maximum égal à 2 qui est atteint en −4.
4. f n’est pas strictement décroissante sur R.
5. L’image d’un entier pair par f est un entier impair.
Exercice 1.48
On considère une fonction f définie sur R et les propositions suivantes :
∀x, y ∈ R, x 6 y ⇒ f (x) 6 f (y)
(1)
∀x, y ∈ R, x 6 y ⇒ f (x) < f (y)
(2)
∀x, y ∈ R, x < y ⇒ f (x) 6 f (y)
(3)
∀x, y ∈ R, x < y ⇒ f (x) < f (y)
(4)
∀x, y ∈ R, f (x) 6 f (y) ⇒ x 6 y
(5)
1. Lesquelles de ces propositions sont-elles nécessairement vraies si f est supposée croissante ?
On fournira suivant les cas une démonstration ou un contre-exemple.
2. Même question si f est supposée strictement croissante.
Exercice 1.49
Épiménide
1. Un Crétois dit : «Tous les crétois sont des menteurs». Cette affirmation est-elle paradoxale ?
2. Un apatride dit : «Cette phrase est fausse». Cette affirmation est-elle paradoxale ?
Suites et récurrence
Exercice 1.50
1. On considère la suite (un )n∈N
que la suite u est bien définie.
Surcharge de l’hypothèse de récurrence
√
définie par u0 = 2 et ∀n ∈ N, un+1 = u2n + un − 1. Montrer
2. On considère la suite (vn )n∈N définie par u0 = 12 et ∀n ∈ N, vn+1 = vn − vn2 . Montrer que
la suite v est à termes positifs ( i.e. que ∀n ∈ N, vn > 0).
Exercice 1.51
On va montrer par récurrence sur n que dans un pot contenant n crayons, si l’un des crayons est
vert, alors tous les crayons sont verts.
Initialisation : la propriété est vraie pour n = 1 .
Hérédité : supposons la propriété vraie au rang n et montrons la au rang n + 1.
On se donne un pot contenant n + 1 crayons et on suppose que l’un d’entre eux est vert.
Alignons les crayons en mettant le vert en première position. En appliquant l’hypothèse de
récurrence aux n premiers crayons, on en déduit qu’ils sont tous verts. En particulier, le
n-ème crayon est vert et l’on peut donc également appliquer l’hypothèse de récurrence aux
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
crayons numérotés 2 à n + 1, et en déduire qu’ils sont tous verts. Finalement, les n + 1
crayons sont verts, ce qui prouve l’hérédité.
Qu’en pensez-vous ?
Sommes et produits
Exercice 1.52
Calculer les sommes et produits suivants (lorsqu’ils ont un sens).
a.
n
P
2.
a.
k=−2
n
P
3.
a.
1.
b.
n
P
k
b.
k=0
n
P
i+j
b.
π
3k
n
k=0
P
(k × k!)
k=2
16i6n
16j6n
n
k
P
c.
n
P
c.
k=2
n
P
ln 1 −
k2
k=0
|i − j|
c.
n
k
Q
1
k2
pq
16p<q6n
16i6n
16j6n
Exercice 1.53
Soit n ∈ N∗ .
1. Trouver des réels a, b et c tels que pour tout x > 0, on ait :
2. En déduire la valeur de
n
P
k=1
1
x(x+1)(x+2)
=
a
x
+
b
x+1
+
c
x+2 .
1
k(k+1)(k+2) .
Exercice 1.54
1. Montrer que ∀n ∈ N, n! 6
2. Montrer que ∀n > 2, n! 6
n
P
k! 6 (n + 1)!.
k=0
n
P
k! 6 n! 1 +
k=0
2
n
.
Équations et inéquations
Exercice 1.55
Résoudre les équations suivantes, d’inconnue x ∈ R.
1. ln(x2 ) − 2 ln x = 0
√
√
2. x2 − 3x − 1 + x = 0
3. ex/2 (1 − ex ) = 3ex
√
√
4. x + 4 − x + 2 = 1
Exercice 1.56
Discuter suivant les valeurs de m ∈ R le nombre de solutions de l’équation e2x −2(m+1)ex +1 = 0,
d’inconnue x ∈ R.
Exercice 1.57
Résoudre les inéquations
suivantes, d’inconnue x ∈ R.
√
1. x + 1 − 2x + 5 < 0
2. x4 − 3x2 + 2 6 0
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Ensembles et applications
Exercice 1.58
Soit f : R2 → R | (x, y) 7→ xy.
1. f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
2. Déterminer f (R∗+ × R∗− ) et f −1 ({0}).
Exercice 1.59
Pour chacune des applications suivantes, déterminer si elle est injective, surjective, bijective, et,
le cas échéant, déterminer son application réciproque.
1. f : R2 → R2 | (x, y) 7→ (y, x)
2. g : R2 → R2 | (x, y) 7→ (2x + y, 5x + 2y)
3. h : R2 → R2 | (x, y) 7→ (x + y, xy)
Exercice 1.60
1. On considère l’application f : R → R | x 7→
1−x2
1+x2 .
f est-elle injective ? surjective ?
2. On considère l’application g : R+ → ] − 1, 1] | x 7→
déterminer sa bijection réciproque.
1−x2
1+x2 .
Montrer que g est bijective, et
Exercice 1.61
Soient f : E → F et g : F → G. Montrer que :
1. g ◦ f injective ⇒ f injective ;
2. g ◦ f surjective ⇒ g surjective ;
3. g ◦ f bijective ⇒ f injective et g surjective.
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Études
Exercice 1.62
On se donne un réel a > 0 et on définit la suite (un )n∈N par :
u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 =
un + 3
.
3un + 1
On définit également les suites (vn )n∈N et (wn )n∈N par :
(
vn+1 = vn + 3wn
v0 = a et w0 = 1 et ∀n ∈ N,
wn+1 = 3vn + wn
1. Montrer que pour tout n ∈ N, un est bien défini et un > 0.
2. Montrer que pour tout n ∈ N, on a vn > 0 et wn > 0.
3. Montrer que pour tout n ∈ N, un =
vn
wn .
4. On pose pour tout n ∈ N, tn = vn + wn et zn = vn − wn . Montrer que les suites (tn )n∈N et
(zn )n∈N sont géométriques, et en donner la raison.
5. Exprimer, pour tout n ∈ N, un en fonction de n.
Suite récurrente double
√
On considère la suite u définie par u0 = 1, u1 = 2 et ∀n ∈ N, un+2 = un un+1 .
1. Montrer par une récurrence double que la suite u est bien définie et à termes strictement
positifs.
Exercice 1.63
2. Pour tout n ∈ N, on pose vn = ln un .
a. Pour n ∈ N, donner une relation liant vn+2 , vn+1 et vn .
b. En déduire par une récurrence double que
2 ln 2
∀n ∈ N, vn =
3
n 1
1− −
2
c. Exprimer un en fonction de n.
Sommes de Newton
Exercice 1.64
Pour tous n, p ∈ N, on définit
Sn,p =
n
X
kp
k=1
Le but de l’exercice est de trouver une méthode permettant de calculer Sn,p et l’on n’utilisera donc
pas les résultats du cours sur les sommes de Newton (sauf pour vérifier les résultats obtenus).
1. En effectuant le changement d’indice k 0 = n + 1 − k, retrouver la valeur de Sn,1 pour n ∈ N.
2. On veut calculer Sn,2 grâce à la formule trouvée pour Sn,1 .
n
P
a. À l’aide d’un changement d’indice, exprimer
(k + 1)3 en fonction de Sn,3 .
k=1
b. En développant (k + 1)3 , exprimer
n
P
(k + 1)3 en fonction de Sn,3 , Sn,2 et Sn,1 .
k=1
c. Conclure.
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
3. En utilisant la même méthode, montrer que
∀n, p ∈ N, Sn,p
1
=
p+1
(n + 1)
p+1
−1−
p−1 X
p+1
i=0
i
!
Sn,i
4. En déduire Sn,3 .
Exercice 1.65
On considère l’application
f:
R2
→
(x, y) 7→
R2
(x2 + y 2 , x2 − y 2 )
1. f est-elle injective ?
2. On pose A = {(a, b) ∈ R2 , a > |b|}. Montrer que f (R2 ) ⊂ A.
3. On considère l’application
g : R− × R+
(x, y)
→ A
7→ (x2 + y 2 , x2 − y 2 )
Montrer que g est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Exercices supplémentaires
Exercice 1.66
On définit (un )n∈N par
u0 = 4 et ∀n ∈ N, un+1 = un + n2 + 2.
Pour n ∈ N, exprimer un en fonction de n (il n’est pas nécessaire de factoriser le résultat).
Exercice 1.67
Soient A, B, C trois ensembles. Montrer que
(
A∪B ⊂A∪C
A∩B ⊂A∩C
⇒
B⊂C
Exercice 1.68
Soit n ∈ N∗ . Montrer que
2n
X
(−1)k+1
k
k=1
=
n
X
k=1
1
n+k
Exercice 1.69
Soit n ∈ N∗ . Montrer que
n
Y
(n + k) = 2n
n
Y
(2k − 1)
k=1
k=1
Exercice 1.70
Soient E un ensemble et f : E → E telle que f ◦ f ◦ f = f .
Montrer que f est surjective si et seulement si elle est bijective.
Exercice 1.71
On considère la fonction
f: N
n
→ Z
(
7→
n
2
− n+1
2
si n est pair
si n impair
f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Exercice 1.72
On définit (un )n∈N par u0 = a ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = |un − 1|.
1. Montrer que ∀n ∈ N∗ , un > 0.
2. Montrer que ∃n ∈ N∗ , 0 6 un 6 1.
3. Soit n0 tel que 0 6 un0 6 1.
Montrer que ∀n > n0 , un+2 = un .
Exercice 1.73
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
1. On définit (un )n∈N par u0 = 10 et ∀n ∈ N, un+1 = un + n. Déterminer l’expression de un
pour n ∈ N.
n
P
2. On définit u par u1 = a ∈ R et ∀n ∈ N∗ , un+1 = n1
uk . Déterminer l’expression de un
k=1
pour n ∈ N∗ .
Exercice 1.74
Soit f : E → F .
1. Montrer que f injective ssi ∀A, A0 ∈ P(E), f (A) = f (A0 ) ⇒ A = A0 .
2. Montrer que f bijective ssi ∀B, B 0 ∈ P(F ), f −1 (B) = f −1 (B 0 ) ⇒ B = B 0 .
Exercice 1.75
Soient f : E → F , A ⊂ E et B ⊂ F .
1. Montrer que A ⊂ f −1 (f (A)) et que f (f −1 (B)) ⊂ B.
2. Montrer que les inclusions inverses ne sont pas nécessairement vérifiées.
3. Montrer que ∀A ∈ P(E), f −1 (f (A)) ⊂ A ⇔ f injective.
4. Montrer que ∀B ∈ P(F ), B ⊂ f (f −1 (B)) ⇔ f injective.
Exercice 1.76
Pour tout entier naturel n, on pose
Sn = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1) · n
Démontrer que l’on a
Sn =
1
n(n − 1)(n + 1)
3
Exercice 1.77
Résoudre dans N l’équation 2n > (n + 2)2 , d’inconnue n.
Exercice 1.78
Soit x > −1, x , 0. Démontrer par récurrence sur n que
∀n > 2, (1 + x)n > 1 + nx.
Exercice 1.79
Soient E un ensemble non vide, et A et B des parties de E.
Donner des conditions nécessaires et suffisantes pour que les applications suivantes soient
injectives, puis surjectives :
fA : P (E) → P (E) | X 7→ A ∩ X ;
gA : P (E) → P (E) | X 7→ A ∪ X ;
2
ϕA,B : P (E) → (P (E)) | X 7→ (A ∩ X, B ∩ X) ;
2
ψA,B : P (E) → (P (E)) | X 7→ (A ∪ X, B ∪ X).
Exercice 1.80
1. Soient f : E → F et g1 , g2 : F → G. On suppose g1 ◦ f = g2 ◦ f .
a. On suppose f surjective. Montrer que g1 = g2 .
b. Donner un contre-exemple dans le cas où f n’est pas surjective.
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
2. Soient f1 , f2 : E → F et g : F → G. On suppose g ◦ f1 = g ◦ f2 .
a. On suppose g injective. Montrer que f1 = f2 .
b. Donner un contre-exemple dans le cas où g n’est pas injective.
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