CHAPITRE 1 LOGIQUE ET CALCUL ALGÉBRIQUE Alphabet grec

CHAPITRE 1
LOGIQUE ET CALCUL ALGÉBRIQUE
Alphabet grec
alpha α A
bêta β B
gamma γΓ
delta δ∆
epsilon ε E
zêta ζ Z
êta η H
thêta θΘ
iota ι I
kappa κ K
lambda λΛ
mu µ M
nu ν N
xi ξΞ
omicron o O
pi πΠ
rhô ρ P
sigma σΣ
tau τ T
upsilon υ Y
phi ϕΦ
chi χ X
psi ψΨ
omega ωΩ
Ensembles de nombres classiques
Définition 1.1
•On note Nl’ensemble des entiers naturels :N={0; 1; 2; 3 . . .}
•On note Zl’ensemble des entiers relatifs :Z={··· − 2; −1; 0; 1; 2; 3 . . .}
•On note Ql’ensemble des rationnels. Les rationnels sont les nombres pouvant s’écrire comme
quotient de deux entiers relatifs, autrement dit les nombres de la forme p
qavec pet qdans Z
(q,0).
Q=p
q, p ∈Zet q∈Z∗
•On note Rl’ensemble des réels. On appelle irrationnels les réels qui ne sont pas rationnels
(comme π,√2. . . ).
•On note Cl’ensemble des nombres complexes.
Définition 1.2
Rappel de quelques notations usuelles :
•R+= [0,+∞[R−= ] − ∞,0]
•R∗=R\ {0}N∗=N\ {0}Z∗=Z\ {0}C∗=C\ {0}
•R∗
+=]0; +∞[R∗ −=] − ∞; 0[
•~p, q={p, p + 1, p + 2, . . . , q}(avec pet qdans Z,p6q). On a les mêmes variantes que pour
les intervalles de R.
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Remarque
Une propriété des nombres rationnels qui nous sera utile de temps à autre est que chaque rationnel
peut-être mis de manière unique sous forme irréductible p
qavec p∈Z,q∈N∗et pet qpremiers entre
eux (c’est-à-dire sans diviseur commun à part 1). La forme irréductible de 4
6est 2 3, celle de 30 −18 est −5 3.
1 Logique
1.1 Propositions et quantificateurs
Une proposition mathématique est une «phrase» exprimée dans le langage mathématique. Une défi-
nition correcte nous entraînerait beaucoup trop loin, nous travaillerons donc à partir d’exemples.
1. «2 + 2 = 4»
2. «2 + 2 = 5»
3. «2 + (0,1) = 5»
4. «x2>x»
5. «pour tout réel x,x2>x»
6. «il existe un réel xtel que x2>x»
Les deux premières propositions ne posent pas de problème particulier : elles ont un sens clair et une
valeur de vérité : la première est vraie, la deuxième fausse.
La troisième proposition est différente : elle n’a pas de sens car elle mélange de manière incorrecte des
objets de différents types – on ne peut pas ajouter 2à(0,1). C’est évident ici, ça l’est peut-être moins
dans l’exemple suivant : «la dérivée de x2est 2x» (qui n’a pourtant pas plus de sens). . . Pour éviter
d’écrire ce genre d’absurdité, il est absolument crucial de toujours avoir en tête le type d’objet que l’on
manipule (s’agit-il d’un réel ? d’une fonction ? d’un ensemble ?. . .).
La quatrième proposition est plus délicate à analyser. En tant que telle elle n’a pas de sens car on
ne sait pas quel type d’objet est désigné par x(imaginez par exemple que xsoit un point du plan).
Supposons donc que xdésigne un nombre réel. Dans ce cas, la proposition est syntaxiquement correcte,
mais elle n’a pas vraiment de sens car elle n’est ni vraie ni fausse (comme on peut le voir en remplaçant
successivement xpar 1
2puis par 2). Les variables apparaissant dans une formule sans y être quantifiées
(on parle de variable libre) devront donc systématiquement avoir été préalablement définies.
Dans la cinquième proposition, ce problème est résolu. En utilisant l’expression «pour tout réel x»,
on a transformé xen variable liée ou muette : la valeur de vérité de la proposition ne peut plus dépendre
de la valeur de x. Plus précisément, cette proposition ne fait plus référence à un nombre réel xsupposé
précédemment défini : on peut la remplacer par «pour tout réel y,y2>y»sans rien changer à son sens.
Remarquez que cette proposition est bien évidemment fausse, mais c’est presque un détail. . .
La sixième proposition est similaire à la cinquième, la principale différence étant qu’elle est vraie. Il
faut remarquer que l’expression «il existe un réel x» signifie plus précisément «il existe au moins un réel
x» ; ici, on a en fait une infinité de réels xtels que x2>x, ce qui ne pose aucun problème.
Définition 1.3
Par souci de concision, on introduit des notations symboliques appelées quantificateurs.
•Le quantificateur universel ∀signifie (et se lit) «pour tout».
– «∀x∈R, x2>x» est fausse (c’est la proposition 5 vue plus haut).
– «∀x∈[1; +∞[, x2>x» est vraie.
•Le quantificateur existentiel ∃signifie (et se lit) «il existe».
– «∃x∈R, x2=−1» est fausse.
– «∃x∈C, x2=−1» est vraie (on peut prendre x=iou x=−i).
•On note de plus ∃!pour «il existe un unique».
– «∃!x∈R, x2=−1» est fausse (car aucun x∈Rne convient).
– «∃!x∈R, x2= 1» est fausse (car plusieurs x∈Rconviennent).
– «∃!x∈R+, x2= 1» est vraie (car exactement un x∈R+convient).
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Remarques
•On a très souvent plusieurs quantificateurs à la suite. Cela ne pose pas de problème quand ils sont
du même type : la proposition ∀a∈R,∀b∈R,(a−b)2=a2−2ab+b2a exactement le même sens que
∀b∈R,∀a∈R,(a−b)2=a2−2ab+b2et s’abrège d’ailleurs souvent ∀a, b ∈R,(a−b)2=a2−2ab+b2.
Quand on a une alternance de quantificateurs existentiels et universels, en revanche, l’ordre est
crucial (cf exercice 1.1).
•Il faut toujours préciser à quel ensemble chacune des variables appartient. Par exemple, ∀x, x2>0
n’a aucun sens.
•La virgule après un quantificateur existentiel se lit «tel que» (on peut à la limite omettre la virgule,
mais le «tel que» implicite est toujours là). Ainsi, ∀x∈R+,∃y∈R, y2=xse lit «pour tout x
appartenant à R+, il existe un yappartenant à Rtel que y2soit égal à x». Il est parfois plus clair
d’écrire le «tel que» explicitement ou d’utiliser l’abréviation «tq».
Exercice 1.1
1. a. Quelle est la différence entre «∀x∈R,∃y∈R, x26y» et «∃y∈R,∀x∈R, x26y» ?
b. De manière plus générale, considérons un ensemble Eet une propriété P(x, y)dépen-
dant de deux éléments xet yde E. Existe-t-il un lien logique entre les deux propriétés
«∀y∈E, ∃x∈E, P (x, y)» et «∃x∈E, ∀y∈E, P (x, y)» ?
2. La conclusion du 1.b n’est plus valable si l’on remplace le quantificateur ∃par ∃!. Trouver
un contre-exemple.
Exercice 1.2
On se donne deux réels aet b. Pour chacune des propriétés suivantes, trouver une propriété
équivalente n’utilisant aucun quantificateur.
1. ∀x∈R, ax 60
2. ∀x∈R, x2>a
3. ∃x∈R, x2+ax +b= 0
4. ∃x∈R, ax +b= 0
5. ∃!x∈R, ax +b= 0
1.2 Connecteurs logiques
Définition 1.4
Un connecteur logique permet de former une nouvelle proposition à partir d’une ou plusieurs pro-
positions. Ceux utilisés en pratique sont :
•la négation de Anotée «non A» ou «¬A» ;
•la conjonction de Aet Bnotée «Aet B» ou parfois «A∧B» ;
•la disjonction de Aet Bnotée «Aou B» ou parfois «A∨B» ;
•l’implication de AàBnotée «A⇒B» ;
•l’équivalence entre Aet Bnotée «A⇔B» ;
La signification de ces connecteurs est donnée par les tables de vérité suivantes :
A B ¬A A ∧B A ∨B A ⇒B A ⇔B
V V F V V V V
V F F F V F F
F V V F V V F
F F V F F V V
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Remarques
•Le «non» est prioritaire sur les autres connecteurs (ce qui permet d’éviter l’accumulation de pa-
renthèses). Ainsi, «non A ou B» signifie «(non A) ou B» et pas «non (A ou B)»
•On voit que «Aou B» est toujours vrai, sauf dans le cas où Aet Bsont tous les deux faux. La
proposition «0 = 1 ou 2 + 2 = 4», par exemple, est vraie. On dit que le «ou» mathématique est
inclusif, ce qui n’est pas systématiquement le cas dans le langage courant.
•Il faut faire très attention à bien distinguer A⇒Bde «A, donc B». La proposition «0>1⇒
17 = 24» est vraie, tout comme «0>1⇒17 ,24». En effet, A⇒Bsignifie «si Aest vrai, alors
Baussi» et ne dit donc rien du cas où Aest faux. En revanche, «Adonc B» signifie «je sais que A
est vrai, j’en déduis que Baussi». Pour éviter les confusions, une règle simple à retenir : le symbole
⇒ne sera presque jamais utilisé en dehors de définitions données dans le cours.
•On a le même type de problème pour l’équivalence : quand on écrit A⇔B, on dit seulement que
Aet Bsont soit tous les deux vrais, soit tous les deux faux. Le symbole ⇔ne sera utilisé que
pour résoudre certains types d’équations très simples (et pour énoncer de manière succincte des
définitions et théorèmes).
•Il ne faut pas confondre une implication A⇒Bet sa réciproque B⇒A. Ainsi, l’implication «ABC
équilatéral ⇒AB =AC» est vraie, mais sa réciproque «AB =AC ⇒ABC équilatéral» est fausse
(puisque rien n’oblige AB à être égal à BC). Dire que «A⇒B» et «B⇒A» sont tous les deux
vrais, c’est précisément dire que «A⇔B» est vrai.
Exercice 1.3
On peut en fait définir le «et» à partir du «ou» et du «non». En effet, dire que «Aet B» est
vrai, c’est dire que Aet Bsont tous les deux vrais, autrement dit que «non A» et «non B» sont
tous les deux faux, c’est-à-dire que «(non A) ou (non B)» est faux. Finalement, «Aet B» est
synonyme de «non((non A) ou (non B))». Définir de même (c’est plus simple) :
1. ⇒à partir de «non» et de «ou» ;
2. ⇔à partir de «et» et de ⇒;
3. ⇔à partir de «non», de «et» et de «ou» (sans utiliser les questions précédentes).
Proposition 1.5
Soit Eun ensemble et P(x)une propriété dépendant d’un élément xde E.
•La proposition «non (∀x∈E, P (x))» est équivalente à «∃x∈E, non P(x)».
•La proposition «non (∃x∈E, P (x))» est équivalente à «∀x∈E, non P(x)».
Remarques
•On dit souvent que la négation échange les quantificateurs existentiels et universels.
•Cette propriété est évidente, dès lors qu’on a bien compris que le «contraire» (c’est-à-dire la
négation) de «tous les chats sont domestiques» n’est pas «aucun chat n’est domestique» mais
bien «il y a au moins un chat qui n’est pas domestique».
•Quand il y a plusieurs quantificateurs, on applique plusieurs fois de suite la règle : en partant
par exemple de «non ∀x∈R,∃y∈R, y2=x», on obtient «∃x∈R, non∃y∈R, y2=x» puis
«∃x∈R,∀y∈R,non y2=x», c’est-à-dire «∃x∈R,∀y∈R, y2,x».
Exercice 1.4
On considère un entier naturel n.
1. ´ Traduire «formellement» (c’est-à-dire à l’aide de quantificateurs et éventuellement de connec-
teurs logiques) la proposition «nest pair».
2. En déduire une traduction formelle de «nest impair». Pouvez-vous trouver une formulation
plus simple (en tout cas plus «pratique») de «nest impair» ?
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Chapitre 1 – Logique et calcul algébrique
Exercice 1.5
On considère une suite réelle (un)n∈N.´ Traduire «formellement» les propositions suivantes.
1. La suite uest croissante.
2. La suite un’est pas croissante.
3. La suite un’est pas monotone (i.e. elle n’est ni croissante ni décroissante).
1.3 Règles logiques et raisonnement
Les formules logiques ci-dessous sont toujours vérifiées 1(que les propositions A,B,C. . . soient vraies
ou pas). Il faut les voir surtout comme des formalisations d’un certain nombre de types de raisonnement
valides.
Proposition 1.6
•Distributivité
(Aou (Bet C)) ⇔((Aou B)et (Aou C))
(Aet (Bou C)) ⇔((Aet B)ou (Aet C))
•Lois de De Morgan
(non (Aou B)) ⇔(non Aet non B)
(non (Aet B)) ⇔(non Aou non B)
•Contraposée
(A⇒B)⇔(non B⇒non A)
•Disjonction des cas
((Aou B)et (A⇒C)et (B⇒C)) ⇒C
((A⇒C)et (non A⇒C)) ⇒C
•Raisonnement par l’absurde
(non A⇒Faux)⇒A
1.3.a Méthodes de démonstration
On considère un ensemble Eet une proposition P(x)dépendant d’un élément xde E.
•Démonstration de «∀x∈E,P(x)», directement :
Soit x∈E(on se donne un élément quelconque de E).
On démontre que P(x)est vraie.
On en déduit ∀x∈E, P (x).
Exemple : ∀x∈R, x2−4x+ 3 >−1.
•Démonstration de «∃x∈E,P(x)», directement :
On exhibe un xparticulier vérifiant P(x).
On conclue.
Exemple : ∃x∈R, ex−4x2= 1
•Démonstration de «∃x∈E,P(x)», par l’absurde :
On suppose ∀x∈E, non P(x).
On en déduit une absurdité.
On conclue.
Exemple : exercice 1.9
•Démonstration de «∃!x∈E,P(x)» :
La propriété à démontrer est équivalente à : (∃x∈E, P (x)(existence)
∀x, y ∈E, P(x)et P(y)⇒x=y(unicité)
Il faut donc démontrer chacune de ces deux propriétés, ce qui peut se faire de plusieurs manières.
Exemples : exercice 1.6.
•Démonstration de «A⇒B», directement :
On suppose A.
On en déduit B.
1. on dit que ce sont des tautologies
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