8.1 La force magnétique exercée sur une particule en mouvement

8.1 La force magnétique exercée sur une particule en mouvement
dans un fil
Nous venons de voir qu’une force s’exerce sur un fil parcouru par un
courant ou qu’un moment de force s’exerce sur un cadre parcouru par
un courant.
 

F = Il × B

τ = µ×B


Cette force ou ce moment de force résultent du mouvement des
charges à l’intérieur du fil.
Notre dernière étape consiste donc à déterminer l’expression générale
de la force magnétique exercée sur une particule en mouvement dans
un fil. Par convention, nous considérons, comme d’habitude, que les
charges positives sont en mouvement dans les fils.
Nous obtiendrons

 
F = qv × B
Nous étudierons par la suite le mouvement d’une particule libre
de se déplacer dans l’espace sous l’influence simultanée des
champs magnétique et électrique.
1
8.1 La force magnétique exercée sur une particule en
mouvement dans un fil
F = qvB sin 90
Comment montrer que
Considérons un fil parcouru par un courant placé dans un champ
magnétique perpendiculaire à ce courant.
B entre
x
x
x
x
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
I
L
On sait selon la loi de Laplace, que la force
magnétique résultante est donnée par
F = IlB sin 90
2
8.1 La force magnétique exercée sur une particule en
mouvement dans un fil
B entre
x
F
x
+
I
+
x
F
x
x
x
+
+
x
x
x
x
F
F
x
F
x
+
x
+
x
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
vd
L
La force magnétique résultante
de Laplace est donnée par
F = IlB sin 90
Ce que nous cherchons, c’est la force sur chacune des charges en
mouvement dans le fil
3
8.1 La force magnétique exercée sur une particule en
mouvement dans un fil
B entre
x
x
x
x
x
x
x
F
x
+
I
+
x
+
x
+
x
x
+
x
+
x
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
vd
L
F = IlB sin 90
Nous savons que l’intensité du
courant est donnée par
I = nqvd A
4
8.1 La force magnétique exercée sur une particule en
mouvement dans un fil
B entre
x
x
x
x
x
x
x
F
A
+
I
+
x
x
x
x
x
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
L
F = IlB sin 90
+
+
+
+
+
vd
I = nqvd A
On obtient la relation suivante pour l’ensemble des charges en mouvement
F = nqvd AlB sin 90
5
8.1 La force magnétique exercée sur une particule en
mouvement dans un fil
B entre
x
x
x
x
x
x
x
F
A
+
I
+
x
x
x
x
x
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+
vd
L
F = nqvd AlB sin 90
Le nombre de charges N dans tout le fil est donné par
On obtient
N = nAl
F = Nqv d B sin 90
Pour une seule charge, nous aurons
Fq = qvd B sin 90
6
8.1 La force magnétique exercée sur une particule en
mouvement dans un fil
B entre
I
Fq
x
x
x
x
x
x
x
x vd
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
L
Pour une seule charge, nous aurons donc
Fq = qvd B sin 90
L’expression vectorielle de la force sera donnée par un produit
vectoriel

 
Fq = qvd × B
7
8.1 La force magnétique exercée sur une particule en
mouvement dans un fil
B
entre
I
F
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
+
x x vd x
x
x
x
x
x
x
L
qx
x
La grandeur est donnée par :
L’orientation par la règle de
la main droite :
F est toujours
perpendiculaire à v et à B
Exemple

 
Fq = qvd × B
x
Fq = qvd B sin θ
F
z
B
y
x
( Hyperphysics, magnetic field concept interaction)
Vd +
8
8.5 Force magnétique sur une particule libre
Que va-t-il arriver maintenant à une particule libre en mouvement dans un
champ magnétique uniforme d’une région de l’espace?
B
entre
+
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
x
x
x
x
x
x
x
x + x
xv x
x
x
x
x
x
x
L

 
Fq = qv × B
Fq = qv B sin θ
L’orientation par la règle de
la main droite.
Caractéristiques du
mouvement
Voir l’animation 3 Benson
9
8.5 Force magnétique sur une particule libre
Fq
Fq
B
entre
+
v
Caractéristiques du mouvement
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x +x
x
x
x
x
x+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L
x

 
Fq = qv × B
Fq = qv B sin θ
L’orientation par la règle de
la main droite.
a) F est toujours perpendiculaire à v et à B ;
b) ∆ K = 0, la force magnétique ne fait pas de travail ;
c) Le champ est l’agent responsable de la force
magnétique, sa grandeur est donnée par
d) B agit sur les particules en mouvement
seulement
B=
F
qv sin 90
E = F/q
10
8.5 Force magnétique sur une particule libre
Analyse du mouvement d’une particule
positive
B
entre
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
r
x x
x
x
x
F
x
vx
x
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
C’est la force magnétique
qui joue le rôle de force
centripète.
v
x
x
Observation : La
particule tourne
en rond à vitesse
constante.
Mouvement circulaire
uniforme
Par conséquent, il
faut donc
absolument une
force centripète.
Les équations du
mouvement.
11
8.5 Force magnétique sur une particule libre
Applications dans lesquelles les particules sont en mouvement dans un
champ magnétique
Confinement magnétique
Spectromètre
Hyperphysic Magnetic field
concept
Accélérateur : Cyclotron
12
8.5 Force magnétique sur une particule libre
Analyse du mouvement d’une particule
positive
B
entre
v
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
vx
x
r x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Le rayon de la trajectoire
est donc donné par
x
x
x
x
x
F
x x
x x
x
Détermination des grandeurs
suivantes : r , p, K et T
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x
Mouvement circulaire
uniforme
∑ F = mar
2
v
∑F = m
r
x
mv
r=
qB
v2
m = qvB sin 90
r
v2
m = qvB
r
13
8.5 Force magnétique sur une particule libre
Détermination des grandeurs
suivantes : r , p, K et T
B
entre
v
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
x x
x x
r
x x
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
x
vx
x
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
Important : La mesure du
rayon nous donne
beaucoup de
renseignements
A)
Sur m, q, v , B, p ou K
x
La quantité de mouvement
B)
C)
L’énergie cinétique
mv
r=
qB
p = mv = rqB
2
1 2 p
(rqB )
=
K = mv =
2
2m
2m
2
14
8.5 Force magnétique sur une particule libre
Déterminez : r , p, K et T
B
entre
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F
x x
x x
x
vx
x
r x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x
La période de révolution
nous donne également
beaucoup de
renseignements
D)
2πr 2πm
=
T=
v
qB
x
x
x
x
x
Sur m, q, ou B
x
x
v
x
x
La fréquence
x
x
x
Remarques T, le temps pour faire un tour est
indépendant de la vitesse
Toutes les particules ayant le même rapport
q/m possède la même période.
E)
1
qB
f = =
T 2πm
15
8.5 Force magnétique sur une particule libre
Déterminez : r , p, K et T
v
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
vx
x
x
x
x
x
x
x
rx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xv
x
x
x
xv
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Remarques T, le temps pour faire un tour est
indépendant de la vitesse
Toutes les particules ayant le même rapport
q/m possède la même période.
T=
x
2πr 2πm
=
v
qB
16
8.5 Force magnétique sur une particule libre
Analyse du mouvement d’une particule
v
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
vx
x
x
x
x
x
x
x
rx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xv
x
x
x
xv
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Remarques T, le temps pour faire un tour est
indépendant de la vitesse
Toutes les particules ayant le même rapport
q/m possède la même période.
T=
x
2πr 2πm
=
v
qB
17
8.5 Force magnétique sur une particule libre
Analyse du mouvement d’une particule
v
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
vx
x
x
x
x rx
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x x
x
x
x
xv
x
x
x
v
x
Remarques T, le temps pour faire un tour est
indépendant de la vitesse
Toutes les particules ayant le même rapport
q/m possède la même période.
Accélérateur : Cyclotron
Hyperphysics Magnetic
field concepts ,
T=
2πr 2πm
=
v
qB
18
8.5 Force magnétique sur une particule libre
Exemple : On accélère des atomes ionisés une fois en les
soumettant à une différence de potentiel de 50 kV. Les atomes
ionisés pénètrent perpendiculairement dans un région où règne un
champ B de 0,2 T
On remarque deux trajectoires des atomes l’une de rayon R1 de
16,2 cm et l’autre de rayon R2 = 1.42 R1
Situation
∆V
+
x
x
x
x
x
x+
x
x
x+
x
x
x +x
x
+x
x
x
x
x
x
x
x
x
x v x
d
x
x
x
19
8.5 Force magnétique sur une particule libre
∆V
+
x
x
x
x
x
x+
x
x
x+
x
x
x +x
x
+x
x
x
x
x
x
x
x
x
x v x
d
x
x
x
Comment peut-on déterminer la masse des atomes ionisés à partir
de cette expérience ?
Problème :Trouver m1 et m2 ?
Solution :
donc
On sait que
1 2 p 2 (rqB ) 2
K = mv =
=
2
2m
2m
(r1 qB ) 2
m1 =
2K
20
8.5 Force magnétique sur une particule libre
∆V
+
x
x
x
x
x
x+
x
x
x+
x
x
x +x
x
+x
x
x
x
x
x
x
x
x
x v x
d
x
x
x
Avec le principe de conservation de l’énergie
(r1 qB ) 2
m1 =
2K
q (r1 B)
m1 =
2∆V
∆K = − ∆U = q∆V
2
21
8.5 Force magnétique sur une particule libre
∆V
+
x
x
x
x
x
x+
x
x
x+
x
x
x +x
x
+x
x
x
x
x
x
x
x
x
x v x
d
x
x
x
q( r1 B) 2 1,6 x10 −19 (1,62 x10 −1 x0,2) 2
− 27
m1 =
=
=
x
1
,
68
10
kg
4
2∆V
2 x5 x10
q (r2 B ) 2 2q (r1 B ) 2
m2 =
=
= 3,36 x10 − 27 kg
2∆V
2∆V
22
8.5 Force magnétique sur une particule libre
∆V
+
x
x
x
x
x
x+
x
x
x+
x
x
x +x
x
+x
x
x
x
x
x
x
x
x
x v x
d
x
x
x
Résultat probable :
La masse m1 correspond probablement au proton et m2 au
deutéron, un isotope de l’hydrogène.
Mouvements particuliers d’une particule libre dans un champ B
Mouvement hélicoïdal, bouteille magnétique, aurore boréale
(Chaap.9) et sur la physique animée de Benson
Confinement magnétique
http://www-fusionmagnetique.cea.fr/fusion/physique/traject
oire.htm
23