1 Distribution (de Maxwell) des vitesses

Maitrise Sciences-Physique 2003-04
TD de physique statistique
Feuille de TD no 4
Applications de la loi de BolTzmann
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Distribution (de Maxwell) des vitesses
Vérication expérimentale : voir Zitoun p169-170.
On considère la boite ci-dessus contenant les N particules. Le tout est un système isolé
à la température T . On cherche à savoir quelle peut être la vitesse v d'une particule prise
au hasard. (donc la distribution de probabilité P2 (v) ). Le système considéré est donc une
particule individuelle de masse m caractérisée par sa position et son impulsion (~r, p~) en
contact avec un thermostat de température T (car N est très grand).
1. Donner l'expression de l'énergie E de la particule en fonction de (~r, p~)? Puis donner
(en fonction de l'énergie E ) la probabilité P (~r, p~)d~rd~p de trouver la particule en
(~r, p~) dans le petit volume d~rd~p ?
2. En déduire alors la probabilité P1 (~v )d3~v pour que la particule ait la vitesse ~v à
d3~v = dvx dvy dvz près ?
3. En intégrant sur les direction θ, φ de la vitesse, en déduire la probabilité P2 (v)dv
pour que la particule ait une vitesse de norme v, à dv près ? la courbe P2 (v) est
appelée la distribution de Maxwell. Tracer le graphe de P2 (v) ?
4. Quelle est la vitesse vM la plus probable ? la vitesse moyenne < v > ? l'énergie
moyenne < E > ? Comparer au résultat donné par le théorème d'équipartition de
l'énergie ?
5. Application : à T = 300K, quelle est la vitesse la plus probable des molécules
d'oxygène O2 ?
6. Observation expérimentale de la distribution des vitesses : si chaque molécule émet
des photons de longueur d'onde λ précise, on observe cependant de l'extérieur de
la boite une certaine largeur de la raie spectrale. Quelle explication (qualitative)
proposez-vous pour cette largeur ?. Calculer la largeur ∆λ de la raie en fonction de
Référence : Diu phys.stat. p.350.
T.
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Aimantation des sels ioniques
Considérons un modèle simpliste pour comprendre le comportement d'un matériau (sel
ionique) dans un champ magnétique uniforme B , à une température T : on idéalise le
moment magnétique de chaque atome par deux états possible m = ± 12 . L'énergie de
l'atome dans le champ magnétique B est alors :
Em = −g m µB B
e~
avec g = 2 (facteur de Landé) µB = 2m
= 0, 927.10−23 J/T (magnéton de Bohr).
e
Le champ magnétique B a tendance à ordonner les moments magnétiques, et la température T à les désordonner. Le système étudié est un atome particulier.
1. Quelle est l'état (micro-état) d'énergie minimale ? et d'énergie maximale ?
2. Calculer les probabilités P+ ,P− de trouver un atome dans un des deux états m =
±1/2 ?
3. Pour un champ B = 10−3 T esla et température ambiante, entre les eets de B et
de T, qui l'emporte ?
4. Pour T quelconque, calculer l'aimantation moyenne < M > d'un atome, puis du
matériaux constitué de N atomes. Tracer < M > (x), où x est une variable sans
dimension appropriée. Dans quelle situation a t-on < M >' χB (état paramagnétique) où χ (susceptibilité magnétique) est une constante ?
5. Comment varie χ avec la température (loi de Curie) ?
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