Réponse à un échelon - physique appliquée au LLA

BTS SE RÉPONSES À UN ÉCHELON
Lycée Louis Armand - MULHOUSE BS SE
Physique Appliquée - HASSENBOEHLER page 1
1. Réponse à un échelon d’un système du premier ordre
Exemple : alimentation d’un condensateur de capacité C par une
source de tension e(t) à travers résistance R
La tension variable e(t) est un échelon de tension de valeur E.
on a
e(t) = 0 pour t<0
e(t) = E pour t≥0 ,
et si E = 1V on dira que u(t)
est la réponse indicielle du circuit RC.
Rappel de la solution générale u(t) :
on reconnaît ici la charge ou décharge exponentielle
d’un condensateur :
u(t) = Uf + (Ui - Uf) e
- t
RC
Ui est la valeur initiale de u
Uf est la valeur finale vers laquelle tend la charge
e est l’opérateur exponentiel (e = 2,718281828…)
Méthode de résolution mathématique pour trouver u(t) : avec e(t) = E pour t ≥ 0
La maille ci-dessus permet d’écrire e(t) = Ri + u, i = C du
dt d’où e(t) = RCdu
dt + u :
c’est une équation différentielle du 1er ordre
u est donc solution de l’équation différentielle du premier ordre e(t) = E = RCdu
dt + u.
La méthode de résolution de l’équation différentielle consiste
• à écrire la solution générale ug de l’équation sans second membre … ug = K.e-at,
• à remplacer ug dans l’équation sans second membre pour déterminer que a = 1
RC ,
• à trouver up, une solution particulière de l’équation avec second membre … la plus simple est u = E.
• à écrire la solution complète en sommant les solutions ug et up … u(t) = K.e-at + up = K.e-at + E
• à calculer la constante K avec les conditions initiales du système étudié,
à t = 0, u(t) = 0 donc u(0) = K.e-0 + E = K + E = 0 et K = - E
• pour en déduire la solution finale, en remplaçant K par - E et a par 1
RC :
u(t) = E - E e
- t
RC
On vérifie que cette relation correspond à l’équation générale
de charge et de décharge citée plus haut si on fait Ui = 0 et Uf = E.
t(s)
t
U
f
u(V)
u(t)
U
i
u
i R
e(t)
système
Sortie u(t)
réponse
Entrée e(t)
excitation
E
0
t(s)
e(V)
0
échelon
E
0
t(s)
u(V)
0
réponse
?
E
0
t(s)
e(V)
0
échelon
E
0
t(s)
u(V)
0
réponse

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Valeur particulière : la constante de temps τ
ττ
τ
En début de charge, pour les faibles valeurs de t, u est très faible et
négligeable devant E,
donc comme E = RCdu
dt + u, on a E = RCdu dt puis du dt = E RC .
On intègre pour obtenir u = E
RC t + u(0) = E RC t, ce qui signifie que
u(t) évolue linéairement avec une pente E
RC .
En début de charge, la tangente à la courbe exponentielle est donc
une droite qui passe par le point t = RC et u = E.
De la même façon, on peut démontrer que la tangente à la courbe
exponentielle suit la même règle quel que soit le niveau de
charge du condensateur, comme le montre la figure ci-contre.
La durée de charge ∆
∆∆
∆t = t2 - t1 de d’un niveau de tension U1 à
un niveau de tension U2
u(t) = Uf + (Ui - Uf) e
- t
τ d’après la formule générale de charge ou
de décharge exponentielle d’un système du premier ordre où τ
est la constante de temps du système, Ui la valeur initiale de
u, Uf est la valeur finale vers laquelle tend la sortie du
système.
À t = t1, u(t1) = Uf + (Ui - Uf) e
- t1
τ = U1.
on transforme cette relation pour trouver t1 : e
- t1
τ = U1-Uf
Ui-Uf (1), et même façon on a t2 : e
- t2
τ = U2-Uf
Ui-Uf (2).
Divisons (1) par (2), on obtient : e
- t1
τ . e
+ t2
τ = U1-Uf
Ui-Uf . Ui-Uf U2-Uf et en simplifiant : e
t2 - t1
τ = U1-Uf
U2-Uf .
Il vient, après mise en forme : ∆
∆∆
∆t = t2 - t1 = τ
τ τ
τ ln Uf - U1
Uf - U2
Application numérique : C = 1 µF se charge sous 12 V à travers R = 10 kΩ de 4 V à 8 V
en combien de temps ?
τ
ττ
τ peut être mesuré lorsque la courbe atteint 63,2 % de la valeur finale E
en effet à t = τ, on a u(τ) = E - E e
- τ
τ = E – E e-1 = E(1 – e-1) = 0,632 E
τ
τ
E
t(s)
τ
u(V)
E
t(s)
τ
u(V)
U
2
U
1
E
t(s)
t
1
∆
t
u(V)

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Le temps de réponse à 5 % : tr5% est le temps que met un système du premier ordre pour
passer de l’état initial (u = 0) à 95 % de l’état final : 95% E.
tr5% = τ ln  Uf - 0
Uf - 0,95Uf = τ ln 20.
retenons que tr5% = 3 τ
τ τ
τ .
Le temps de montée tr
(l’indice r venant de l’anglais “rise time”)) :
tr est le temps que met un système qui bascule
de 0 à E, pour passer de 10 % de E à 90 % de E. Le
réticule d’un oscillogramme comporte deux lignes en
pointillé permettant une mesure rapide.
Il est toujours possible à l’aide des boutons de
position de la trace et de décalibrage de placer les
deux niveaux sur les lignes en pointillés.
Mesure de tr pour l’exemple ci-contre
tr =
le temps de descente est appelé « fall time » tf
Établissement du courant dans un circuit inductif :
à t = 0 on applique une tension continue E, i(0+) = 0.
Écrivons la loi des mailles : E = Ri + L di
dt.
C’est une équation différentielle, résolvons la !.
• La solution générale ig de l’équation sans second membre di
dt + R L.i = 0
est ig = C.e-at, avec a = R
L ,
• La solution particulière ip de l’équation avec second membre,
… comme le second membre est une constante, ip est une constante K. di
dt = 0 donc E = R.K et K = E R
• D’où la solution complète : i (t) = C.e-at + E
R,
• On calcule la constante C avec les conditions initiales du système étudié.
Ici, à t = 0, on ferme l’interrupteur K,
i(0) = 0 donne 0 = Ce0 + E
R = C + E R ⇒ C = - E R
• D’où la solution finale i ( t ) = E
R - E R e- R
L t .
K
i
L
R
u
E
τ = L
R
t(s)
E
R
i (A)
E
0,95.E
t
r5%
τ
t(s)
u(V)
tensions VOIE A : VOIE B
sensibilités verticales
VOIE A : ...... 1 .......V/div VOIE B : ..............V/div
AC ou DC AC ou DC
sensibilité horizontale
temps ou tension : ........... 1 ms ......... /div
synchronisé sur la voie. ..........
tr
90 %
10 %
0 %
100 %

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i(t) = E
L t
Étude de la courbe i(t)
à t = 0+, c’est le régime transitoire
i = 0, l’équation différentielle E = Ri + L di
dt devient E = L di dt puis di dt = E L .
E
L est une constante positive, donc l’accroissement di du courant dans le temps
est constant, i(t) est une droite. La primitive montre en effet que (condition initiale nulle).
Cette droite passe par le point i = E
R pour t = L R ,
durée qui est appelée constante de temps τ
ττ
τ du circuit RL.
τ
ττ
τ = L
R
L est l’inductance en henrys (H)
R est la résistance en ohms (Ω)
τ est le temps en secondes (s)
Lorsque t →
→→
→ + ∞
∞∞
∞, c’est le régime permanent
le courant s’est stabilisé, di
dt et il reste i = E R
(voir page précédente, conséquence de l’équation fondamentale).
remarque sur les constantes de temps :
pour un condensateur en série avec une résistance τ = RC, en secondes
pour une bobine τ = L
R , en secondes
faisons le produit de ces deux constantes de temps on obtient R.C.L
R = LC ,
le produit de farads par des henrys donne des secondes au carré
τ = L
R
t(s)
E
R
i (A)
à t = 0+
à t
→
→→
→
+
∞
∞∞
∞

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Rupture du courant dans un circuit inductif
Pour éviter l’arc d’extra-rupture, on place une résistance R1 en
parallèle sur la bobine RL.
Écrivons la loi des mailles :
u = - R1.i = Ri + L di
dt car i = i1.
C’est une équation
différentielle, résolvons la !
• La solution générale ig de l’équation sans second membre di
dt + R + R1 L.i = 0
est ig = C.e-at, avec a = R + R1
L ,
• La solution particulière ip = 0 convient.
• La solution complète s’écrit : i(t) = C.e-at,
• La constante C se calcule avec les conditions initiales,
ici, à t = 0 on ouvre l’interrupteur K, i(0) = E
R donne E R = Ce0 = C ⇒ C = E R
• d’où la solution finale i ( t ) = E
R e- R + R1
L t
qui donne u(t) = - R1. i(t).
À l'ouverture de K, à t = 0+, on a la tension aux bornes de l'interrupteur qui vaut
uK = E + u(0) = E + R1.E
R .
La rupture du courant dans un circuit inductif produit une surtension aux bornes de
l’interrupteur.
Protections contre les effets de l’extinction du courant dans un circuit inductif
L’amortissement de cette surtension se fait plus fréquemment à l’aide d’un condensateur ou
d’une diode de roue libre .
la diode de roue libre DRL le condensateur C
À la fermeture de l’interrupteur K,
la DRL est bloquée.
À l’ouverture, la DRL permet
d’écouler le courant,
évitant l’arc d’extra-rupture et
protégeant ainsi l’interrupteur K.
À la fermeture
de l’interrupteur K,
C se décharge.
À l’ouverture, le courant induit
dans la bobine charge le
condensateur C.
E L
uK uK
DRL u
i
i
E L
C
K
i
i
1
L
R1
R
u
K
u
E
τ = L
R + R1
t(s)
E
R
i (A)
t(s)
E u(V)
- R1. E
R