Analyse approfondie - Plan du cours 2009 Table des matières 1 Les

Analyse approfondie - Plan du cours 2009
10 semaines, 2x1h30 heures par semaine
Table des matières
1 Les suites 1
1.1 Convergence, divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Construction des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Suite de Cauchy de nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Bornesupérieure ......................... 6
1.5 Suitesextraites .......................... 8
2 Topologie de Rd9
2.1 Normes .............................. 9
2.2 Ouverts,fermés.......................... 10
3 Continuité 11
3.1 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles . . . . . . . . . . 11
3.2 Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Différentiabilité 13
4.1 Rappel sur la dérivabilité des fonctions réelles . . . . . . . . . 13
4.2 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Applications différentiables, dérivées partielles . . . . . . . . . 14
4.4 Dérivées partielles secondes, formule de Taylor . . . . . . . . . 17
4.5 Extremums des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 Les suites
Définition. Une suite est une application u:N→R. On note en général
un=u(n). La suite use note aussi (un)n∈N,(un)ou (un)n≥0.
Il y a plusieurs façons de définir une suite :
(1) explicitement en fonction de n:un= sin(n√2) ;un=n!
(2) en fonction de nmais non explicite a priori : un= nombre d’entiers pairs
entre 1et n
1

(3) comme somme des termes d’une autre suite : un=Pn
p=0
1
p!;un=Pn
k=0 ak
(4) par une intégrale : un=Rπ
2
0cosntdt
(5) par récurrence : on donne une relation entre un+1 et unet aussi u0:
u0= 0,7et un+1 =2
1+u2
n(∀n∈N).
1.1 Convergence, divergence
Notion de voisinage : ]`−ε, ` +ε[
Définition*. La suite (un)converge si il existe `∈Rtel que pour tout
voisinage de `, il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite
sont dans ce voisinage : ∃`, ∀ε > 0,∃nε,∀n > nε,|un−`|< ε.
Proposition. Unicité de `. On l’appelle la limite de (un)noté `= lim un.
Exemples. (1) un=1
n.(un)converge vers 0.
(2) un= 2−n. Par récurrence, 2n≥n+ 1.
Définition. On dit que lim un= +∞si ∀A > 0,∃nA,∀n > nA, un> A.
On dit que lim un=−∞ si ∀A > 0,∃nA,∀n > nA, un<−A.
Exemple. un=n2.lim un= +∞.
Remarque. Pour calculer des limites on utilise très rarement ces définitions.
Pour démontrer des théorèmes, c’est souvent indispensable.
Opérations sur les limites
Les mêmes que sur les limites de fonctions.
Définition. On dit que (un)est bornée si ∃M > 0,∀n∈N,|un| ≤ M.
majorée, minorée.
Proposition. Une suite convergente est bornée.
Théorème. Si un→`,wn→`et un≤vn≤wn(∀n) alors vn→`.
Proposition. Si un→0et (vn)bornée alors unvn→0.
Exemple. 1
nsin(n).
Proposition. Supposons vn→+∞.
(i) 1
vn→0
(ii) si (un)minorée alors un+vn→+∞
(iii) si unminorée par m > 0alors unvn→+∞
(iv) si un→0et un>0(∀n)alors 1
un→+∞.
Proposition. Si lim unet lim vnexistent et un≤vn(∀n)alors lim un≤
lim vn.
! ! ! pas de passage à la limite dans les inégalités strictes.
Rappel limite d’une fonction. évoquer voisinage pointé.
2

Théorème. Soit f:R→Rune fonction. Si lim un=x0,un6=x0(∀n)et
limx→x0f(x)existe alors lim f(un) = limx→x0f(x).
Rappel continuité d’une fonction.
Corollaire. Si f:R→Rest une fonction continue en x0et lim un=x0
alors lim f(un) = f(x0).
Exemples. (i) vn= cos( 1
n)(ii) Soit a∈R.lim(1 + a n)n=ea.
Exemples importants* (à connaître par coeur :( )
a) Suite géométrique (an), a ∈R
(i) a > 1:lim an= +∞
(ii) |a|<1:lim an= 0
(iii) |a|= 1 :lim(−1)nn’existe pas ; lim 1n= 1
(iv) a≤ −1:lim ann’existe pas
(v) Série géométrique lim 1 + a+··· +an=1
1−apour tout |a|<1.
b) Suite (an
np),p > 0.
(i) |a| ≤ 1:lim an
np= 0
(ii) a > 1:lim an
np= +∞(prendre le log)
(iii) a < −1: pas de limite.
c) Suites telles que ∃L < 1, n0,∀n > n0,un+1
un< L :lim un= 0
|un
un0|=|un0+1 un0··· un un−1| ≤ Ln−n0
Conséquence ∀a∈R,lim an
n!= 0.
d) Suite n
√a,a > 0;lim n √a= 1.
e) Approximation décimale : a∈R,un=E(10na)
10n→a.
Définition.* On dit que deux suites (un)et (vn)sont équivalentes si la suite
un
vn→1. On note un∼vn.
Exemple. n2∼n2+n.
Propriétés. (i) Deux suites équivalentes ont même limite. (ii) Si un∼vnet
u0
n∼v0 nalors unvn∼u0 nv0 net 1
un∼1 vn.
! ! Equivalent à zéro n’a pas de sens. On ne peut pas additionner les équiva-
lents.
1.2 Construction des nombres réels
Nombres rigoureusement construits : entiers, entiers relatifs, rationnels. plu-
sieurs méthodes rigoureuses pour construire les réels : développement déci-
mal, coupure de Dedekind, suites de Cauchy de rationnels. C’est cette der-
nière que l’on présente ici.
3

Rappel. Convergence d’une suite. On constate qu’à partir d’un rang nεdeux
termes de la suite sont à une distance <2ε.
Représentation de la suite sur une accumulation de droites : on imagine les
réels comme limites de rationnels.
! ! Maintenant on ne parle plus que de nombres rationnels (les réels n’existent
pas encore...)
Définition*. Soit (xn)une suite de nombres. On dit que (xn)est une suite
de Cauchy si ∀ε > 0,∃nε,∀n, p > nε,|un−up|< ε.
Proposition. Toute suite convergente est de Cauchy.
Lemme. Toute suite de Cauchy est bornée.
Proposition. Si (xn)et (yn)sont de Cauchy alors (xn+yn)et (xnyn)sont
de Cauchy.
Soit Cl’ensemble des suites de Cauchy de rationnels. C ⊂ QN. Muni des
opérations x+y= (xn+yn)et xy = (xnyn)c’est un anneau. Le zéro est
la suite constante de terme zn= 0, l’unité est la suite constante de terme
un= 1.
Soit C0l’ensemble des suites de Cauchy convergeant vers 0. On voudrait
identifier deux suite x= (xn)et y= (yn)de Csi x−y∈ C0. C’est-à-
dire, prendre l’espace quotient C/C0. C’est encore un anneau (il hérite des
opérations). On l’appelle l’ensemble des nombres réels, noté R.
Injection de Qdans R: A chaque rationnel q∈Q, on peut associer la classe
d’équivalence C(q)de l’ensemble des suites de rationnels convergeant vers q.
On identifiera chaque élément q∈Qavec le nombre réel C(q)correspondant
(dont un représentant est par exemple la suite constante de terme un=q).
Soit C+⊂ C le sous-ensemble des suites x= (xn)telles que ∀ε > 0,∃nε,∀n >
nε, xn>−ε. On note aussi C−=−C+. Bien sûr C+∩ C−=C0.
Proposition. Soit x∈ C \ C0. Alors x∈ C+ou x∈C−.
PR. Soit x∈ C \ C0. Soit ε0de la non convergence vers 0, |xn| ≥ ε0i.s. Le
critère de Cauchy avec ε0/2montre qu’alors xn> ε0/2apdcr, ou xn<−ε0/2
apdcr.
Relation d’ordre sur R:x≤ysi y−xest représenté par un élément de C+.
x<ysi y−xest représenté par un élément de C+\ C0.
Rem. Mêmes propriétés que sur Qrelativement aux opérations +,×.
Définition. Valeur absolue |x|= max(x, −x).
Intervalles ]a, b[= {x∈R:a<x<b[}, etc.
Proposition. Entre deux réels différents il existe toujours au moins un ra-
tionnel.
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PR. Supposons x0−x > 0. La preuve de la proposition précédente montre
qu’il existe un rationnel q=ε0tel que 0< q ≤x0−x. Alors au moins un
des kq,k∈Zdoit être dans [x, x0]. En effet, xreprésentée par une suite de
Cauchy, donc bornée par un Mrationnel. Donc {k∈Z:qk ≥x}est non
vide, minoré par −M/q. Il possède donc un plus petit élément k0.
Proposition. Il existe au moins un nombre irrationnel (réel non rationnel).
PR. xn= 1 + ···+1
n!. Pour m>non a xm−xn≤1 nn!donc Cauchy. Ne peut
pas converger vers un rationnel. Soit e.
Proposition. Entre deux rationnels différents il existe toujours un réel.
PR. Il existe un irrationnel xdans ]0,1[. Soient q < q0deux rationnels.
L’irrationnel q+ (q0−q)x∈]q, q0[.
1.3 Suite de Cauchy de nombres réels
Définition. Soit (un)une suite de nombres réels.
(i) (un)est de Cauchy si ∀ε > 0,∃nε,∀n, p > nε,|un−up|< ε.
(ii) (un)converge si ∃`∈R,∀ε > 0,∃nε,∀ε>nε,|un−`|< ε.
Rem. ε∈Rou ε∈Qne change rien. On peut même prendre ε=1
kavec
k∈N∗.
Proposition. Toute suite de Cauchy de rationnels converge vers le réel
qu’elle représente.
PR. (cf. dessin) Soit xun nombre réel et (xn)une suite de rationnels représen-
tant x. Soit ε > 0et nεdu critère de Cauchy. ∀n, p > nε,xp−ε<x<xp+ε.
Fixe p. Par identification des suites constantes xp±εon a xp−ε=C(xp−ε)≤
x≤ C(xp+ε) = xp+ε.
Théorème*. Une suite de nombres réels est convergente ssi elle est de Cau-
chy.
PR. ⇒: ok.
←: Soit (un)de Cauchy de réels. On fabrique une suite de rationnels (vn)
proche de (un), de Cauchy. On prends vnentre un−1
net un+1 n. Alors
vn=un+ (vn−un)est la somme de deux suites de Cauchy (la seconde
converge vers 0 donc Cauchy). Elle représente un réel x. Donc vn→x. Donc
un→xaussi car même classe.
Rem. On dit que Rest complet.
Théorème des suites adjacentes. Soit (un)et (vn)deux suites adjacentes
de nombres réels : (un)croissante, (vn)décroissante et vn−un→0. Alors
elles convergent, vers la même limite.
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