Electromagnétisme Electromagnétisme Charge électrique Charge

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Electromagnétisme
Charge électrique champ électrostatique
I. Charge électrique
1. Généralités
L'étude des phénomènes d'électrisation conduit à attribuer à un corps électrisé une charge
électrique q ( algébrique ). Deux corps chargés du même type d'électricité se repoussent, deux
corps chargés de types opposés d'électricité s'attirent.
L'électrisation peut avoir lieu par frottement, contact, influence, compression
(piézoélectricité) chauffage (pyroélectricité).
La charge électrique d'un système est une grandeur extensive conservative, de plus elle est
invariante par changement de référentiel. L'unité de charge électrique est le coulomb C.
Les charges électriques sont quantifiées q = ± N.e e charge élémentaire (quarks mis à
part)
e = 1,6 . 10-19 C
Une "charge ponctuelle" est un objet chargé dont les dimensions sont petites par rapport à la
distance à laquelle on étudie leurs effets.
2. Distribution continue de charges - densité de charges, distribution discrète
a. Distribution volumique
Soit dq la charge contenue dans le volume dτ, la densité volumique de charges a pour
dq
expression : ρ ( M ) =
( unité C.m-3 ) ( ne pas confondre avec la masse volumique )
dτ
La charge contenue dans le volume V a pour expression : q = ∫∫∫ ρ ( M ) .dτ
V
Si ρ(M) est indépendant de M, le volume ( V ) est uniformément chargé : q = ρ.V
b. Densité surfacique
Si la distribution est surfacique, on définit une densité surfacique de charges σ(M)
dq
σ(M) =
(en C.m −2 ) q = ∫∫ σ ( M ) .dS
S
dS
c. Densité linéique
Si la distribution est linéique, on définit une densité linéique de charges λ(M)
dq
λ (M) =
(en C.m −1 ) q = ∫ λ ( M ) .dl
L
dl
d. Distribution discrète de charges ponctuelles
q = ∑ qi
i
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3. Invariances et symétries des distributions de charges
• Une distribution de charges D est invariante par une transformation τ, si τ( D ) est identique
à D.
• Invariance par translation il y a invariance de la distribution par translation de a
suivant Oz si ρ(x,y,z) = ρ(x,y,z + a)
si cette invariance est vérifiée quelque soit a, on dit qu'il y a
invariance par translation le long de Oz. ρ ne dépend pas de z
Les invariances par translation ne concerne que les distributions infinies
• Invariance par rotation
il y a invariance de la distribution par rotation α autour de
l’axe Oz si ρ(r,θ,z) = ρ(r,θ + α,z)
si cette invariance est vérifiée quelque soit α, on dit qu'il y a
invariance par rotation autour de Oz. ρ ne dépend pas de θ.
il y a invariance par rotation autour d'un point si ρ ne dépend
que de r ( en coordonnées sphériques ).
• Symétrie plane
il y a symétrie plane pour une distribution de charges par
rapport au plan π (xOy) si : ρ(x,y,z ) = ρ(x,y,-z)
si M' = Symπ(M) alors ρ(M') = ρ(M)
• Antisymétrie plane
il y a antisymétrie plane pour une distribution de charges par
rapport au plan π (xOy) si : ρ(x,y,z ) = - ρ(x,y,-z)
si M' = Symπ(M) alors ρ(M') = - ρ(M)
• Symétrie cylindrique
il y a symétrie cylindrique si il y a invariance par translation
le long d'un axe ∆ et invariance par rotation autour de ∆.
Si l'axe ∆ est l'axe Oz alors ρ(r,θ,z) ne dépend que de r
il y a symétrie sphérique si il y a invariance autour de tout axe
• Symétrie sphérique
passant par O (centre de symétrie). ρ(r,θ,ϕ) ne dépend que de r
II. Loi de Coulomb
La loi de Coulomb exprime les interactions s'exerçant entre deux charges ponctuelles
fixes dans un référentiel.
B
qB
r
r
eA →B
r
q .q r
FA → B = C te A B eA → B
A
r²
qA
r
r
( principe des interactions FA → B = − FB→A et même droite d'action )
1
La constante dépend du choix des unités, dans le S.I. C te =
= 9.109 F−1.m
4.π.ε0
r
1 q A .q B r
avec εo permittivité diélectrique du vide.
FA → B =
eA → B
4.π.ε o r²
Si le milieu est un diélectrique ( isolant ) ε0 est remplacé par ε = ε0.εr ( εr > 1 )
Pour l'eau εr = 80
Si qA et qB sont de même signe il y a répulsion, dans le cas contraire il y a attraction.
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B
B
qA.qB < 0
qA.qB > 0
A
A
III. Champ électrostatique
1. Définition
On dit qu'en une région de l'espace existe un champ électrostatique si une charge électrique
placée en un point de cette région est soumise à une force électrostatique. Le champ
électrostatique est une perturbation des propriétés de l'espace due à des charges électriques.
La force qui s'exerce, en un point de l'espace où règne le champ électrostatique, sur une
charge électrique q' placée en M, est proportionnelle à q' :
r
r
r
F=q'.E ( M ) E ( M ) champ électrostatique ( V.m-1 )
remarque : la charge test q’ ne doit pas perturber la distribution qui créé le champ
2. Champ électrostatique crée en M par une charge ponctuelle fixe placée en O
r
F
M(q’)
r = OM
ici q.q’ > 0
r
e
O (q)
r
Fq →q ' =
1 q.q ' r
e
4.π.ε o r²
r
r
F
Le champ électrostatique crée en M par q placée en O a pour expression : E ( M ) =
q'
Le champ électrostatique est un vecteur polaire ( ou vecteur vrai ), c’est à dire un vecteur
défini indépendamment de l’orientation de l’espace.
r
r uuuur
1 qr
1 qr
E (M) =
e=
r
avec
r = OM
4.π.ε o r²
4.π.ε o r 3
r
E ( O ) n'est pas défini
r
E
M
O
q>0
r
E
O
M
q<0
Les lignes de champ sont radiales ( champ convergent ou divergent )
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q>0
q<0
3. Champ crée en M par un système de charges ponctuelles discrètes qi placées en Pi
Les champs électrostatiques sont additifs ( principe de superposition )
r
r
r
r
1
q i uuuur
E
E ( M ) = ∑ Ei ( M ) E ( M ) =
P
M
( Pi ) n’est pas défini
∑
i
4.π.ε o i Pi M 3
i
4. Champ crée par une distribution continue de charges
a. Distribution volumique
r
dE ( M ) =
1
dq r
ePM
4.π.ε o PM 2
avec dq = ρ.dτ
r
⇒ E (M) =
1
4.π.ε o
∫∫∫
avec dq = σ.dS
r
⇒ E (M) =
1
4.π.ε o
∫∫
avec dq = λ.dl
r
⇒ E (M) =
1
4.π.ε o
∫
ρ r
ePM dτ
V PM 2
b. Distribution surfacique
r
dE ( M ) =
1
dq r
ePM
4.π.ε o PM 2
σ r
ePM .dS
S PM 2
c. Distribution linéique
r
dE ( M ) =
1
dq r
ePM
4.π.ε o PM 2
λ r
e PM .dl
L PM 2
d. Remarque
r
Pour une distribution volumique E est défini en tout point du volume, mais il n'est pas défini
sur la ligne chargée dans le cas d'une distribution linéique. Dans le cas d’une distribution
surfacique, il y a discontinuité du champ à la traversée de la surface.
5. Lignes de champ
r
• Ce sont des courbes
tangentes
en
chacun
des
points
à
E
. Les lignes de champ sont orientées
r
dans le sens de E . Elle peuvent être visualisées par des petits grains de semoule
( dipôles électrostatiques ) placés sur la surface d’un fluide.
• Un tube de champ est une surface formée par l’ensemble des lignes de champ s’appuyant
sur un contour fermé.
r r
r
• L’équation d’une ligne de champ est donnée par la relation : E ∧ d l = 0
dx dy dz
dr r.dθ dz
=
=
en coord. cartésiennes
en coord. cylindriques
=
=
Ex Ey Ez
Er
Eθ
Ez
• Les lignes de champ ne se coupent pas ( sauf si le champ est nul ou non défini en ce point )
• Les lignes de champ ne sont pas des courbes fermées ( voir chapitre potentiel ).
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6. Les propriétés de symétrie du champ ( liées au vecteur polaire ou vecteur vrai )
• Principe de Curie : Les propriétés de symétrie et d'invariance des causes ( charges ) se
retrouvent dans les effets ( champ électrostatique ).
• Un vecteur polaire est un vecteur dont
l'écriture ne dépend pas de la convention d’orientar r r
tion du trièdre ( base ). Ex : r , v , F
r
Dans le cas contraire c’est un vecteur axial ou pseudo-vecteur ( ex : B )
• Le champ électrique étant un vecteur polaire :
r
r
¤ π plan de symétrie des charges si M’ = Symπ(M) alors E ( M ' ) = Sym π (E ( M ))
r
r
E ( M ')
E (M)
π est un plan de symétrie donc q = q'
M'
M
MP = M'P'
r
E ( M ) est le champ créé par q en M
r
E ( M ' ) est le champ créé par q' en M'
r
1
q uuur r
1
q ' uuuuur
E (M) =
PM
E
M
'
=
P 'M '
(
)
4.π.ε 0 PM 3
4.π.ε 0 P ' M '3
uuuuur
uuur r
uuur
1
q
P' (q')
(q) P P 'M ' = Sym π PM E ( M ' ) =
Sym π PM
3
4.π.ε 0 PM
r
r
E ( M ' ) = Sym π (E ( M ))
π
r
r
si M ∈ à un plan de symétrie alors M et M’ sont confondus alors E ( M ) = Sym π (E ( M ))
r
⇒ E ( M ) est contenu dans le plan de symétrie.
r
r
¤ π plan d’antisymétrie des charges
si M’ = Symπ(M) alors E ( M ' ) = −Sym π (E ( M ))
r
E (M)
π est un plan d'antisymétrie donc q = -q'
M'
M
MP = M'P'
r
E ( M ) est le champ créé par q en M
r
r
E ( M ')
E ( M ' ) est le champ créé par q' en M'
r
1
q uuur r
1
q ' uuuuur
E (M) =
PM
E
M
'
=
P 'M '
(
)
4.π.ε 0 PM 3
4.π.ε 0 P ' M '3
uuuuur
uuur r
uuur
1
−q
P' (q')
(q) P P 'M ' = Sym π PM E ( M ' ) =
Sym π PM
3
4.π.ε 0 PM
r
r
π
E ( M ' ) = −Sym π (E ( M ))
r
r
si M ∈ à un plan d’antisymétrie alors M et M’ sont confondus alors E ( M ) = −Sym π (E ( M ))
r
⇒ E ( M ) est perpendiculaire au plan d’antisymétrie.
• Si une distribution de charges est invariante par une translation parallèlement à un axe, le
vecteur champ électrostatique est aussi invariant par cette translation. Si la translation a
lieu le long de l'axe Oz, E(M) ne dépendra pas de z.
• Si une distribution de charges est invariante par une rotation autour d'un axe, le vecteur
champ électrostatique est aussi invariant par cette rotation. En coordonnées cylindriques
E(M) ne dépendra pas de θ.
• Si une distribution de charges est invariante par rotation autour d'un axe et par translation
parallèlement à cet axe ( symétrie cylindrique ) , le vecteur champ électrostatique est aussi
invariant par cette symétrie. En coordonnées cylindriques E(M) ne dépendra que de r.
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• Si une distribution de charges est invariante par une rotation autour d'un point ( symétrie
sphérique ), le vecteur champ électrostatique est aussi invariante par cette rotation. En
coordonnées sphériques E(M) ne dépendra que de r.
7. Champ créé par un segment uniformément chargé dans le plan médiateur
Soit un segment AB de longueur l uniformément chargé ( densité linéique λ ). On cherche le
champ électrostatique créé par cette distribution en un point M du plan médiateur.
Le plan médiateur et un plan contenant le fil sont des plans de symétrie.
Les coordonnées utilisées sont les coordonnées cartésiennes.
L'intersection de ces deux plans est l'axe Oz. Le segment est porté par l'axe Ox.
Le champ électrostatique créé par le segment en un point M de Oz sera donc porté par cet
r
r
axe. E ( M ) = E ( z ) .ez
z
r
E (M)
r
dE ( M ) M
α
r
ez α0
A
O
B
x
P
r
Soit d l un élément de segment chargé situé en P, le champ élémentaire créé en M par cet
r
1 λ.dx uuur
élément a pour expression : dE ( M ) =
PM
4.π.ε 0 PM 3
Seule la composante sur Oz va intervenir pour le calcul du champ en M.
z
z.dα
1 λ.cos(α).dx
x = z.tan ( α ) dx =
avec PM =
dE z =
2
cos ( α )
cos 2 ( α )
4.π.ε 0
PM
r
α 0 λ.cos ( α )
r
1
1 λ.sin ( α 0 ) r
E (M) =
.dα.ez =
ez
∫
4.π.ε 0 −α0
z
2.π.ε 0
z
r
r
λ
l
E (M) =
ez
2
2
2.π.ε 0 z. l + 4.z
Le champ n'est pas défini en un point du fil
Si le segment possède une longueur infinie α0 tend vers
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π
2
r
E (M) =
λ r
ez
2.π.ε 0 .z
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8. Champ créé par un disque uniformément chargé sur l'axe de symétrie
Soit un disque de rayon R uniformément chargé ( densité surfacique σ ). On cherche le
champ électrostatique créé par cette distribution en un point M de l'axe de symétrie.
Les coordonnées utilisées sont les coordonnées cylindriques. L'axe Oz est un axe de symétrie
du système. Le champ électrostatique créé par le disque en un point M de Oz sera donc porté
r
r
par cet axe. E ( M ) = E(z).ez
z
r
E (M)
P
M
r
dE ( M )
r
r
ez
O
Soit dS une surface élémentaire située en P, sa charge est σ.dS
r
Le champ élémentaire créé en M par cet élément a pour expression dE ( M ) =
1 σ.dS uuur
PM
4.π.ε 0 PM 3
Seule la composante sur Oz va intervenir pour le calcul du champ en M.
1 σ.dS.cos ( α )
z
dE z =
avec cos ( α ) =
et PM = r 2 + z 2
2
2
2
4.π.ε 0
PM
r +z
Tous les éléments de surface situés à une distance r de l'axe Oz donneront la même
contribution sur l'axe Oz. On peut choisir comme élément de surface une couronne de rayon r
et d'"épaisseur" dr. dS = 2.π.r.dr
1 σ.2.π.r.dr.z σ.z
r.dr
dE z =
=
3
4.π.ε0 2 2 2
2.ε0 2 2 32
r +z
r +z
(
r
R σ.z
E (M) = ∫
0 2.ε
0
)
r.dr
(r
2
+z
r
σ 
z
pour z > 0 E ( M ) =
1 −
2.ε0 
R 2 + z2
3
2 2
)
 r
 ⋅ ez

(
)
r
σ z
z
⋅ ez =
 −
2
2.ε0  z
R + z2
 r
 ⋅ ez

r
σ 
z
pour z < 0 E ( M ) =
 −1 −
2.ε0 
R 2 + z2
 r
 ⋅ ez

r
Il y a discontinuité pour E à la traversée de la surface. Cette discontinuité est égale à :
r σ r
∆E = ⋅ e z
ε0
Si le rayon du disque tend vers l'infini ( on obtient alors un plan uniformément chargé ), le
r
σ r
champ devient pour z > 0 : E ( M ) =
⋅ ez
2.ε0
r
σ r
pour z < 0 : E ( M ) = −
⋅ ez
2.ε 0
On obtient alors un champ uniforme de part et d'autre du plan ( avec discontinuité à la
traversée du plan ).
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