Noguet Lycée Blaise Pascal Colmar Ch 4 Mouvement circulaire.doc 17/02/09 1/5 Chapitre 4 : Etude du mouvement circulaire 1.- Présentation du mouvement circulaire : 1.1.- Définition : On dit qu’un point M est animé d’un mouvement circulaire par rapport à un repère R si sa trajectoire est un cercle fixe dans R. 1.2.- Trajectoire du point mobile M dans le repère R : y M AM OM O θ AA x La position du point peut être définie dans le repère R : - - soit par les coordonnées paramétriques : Ce sont les composantes de OM . Ces composantes dépendent ici, uniquement de l’angle θ. θ = f (t) amènera à définir les caractéristiques angulaires du mouvement de M par rapport à R. soit par l’abscisse curviligne AM = s qui amènera à définir les caractéristiques linéaires du mouvement de M par rapport à R. 2.- Caractéristiques angulaires du mouvement circulaire de M/R : 2.1.- Vecteur vitesse angulaire ΩM/R : C’est un glisseur qui a pour caractéristiques : o o Support : Sens : o Module : axe de rotation direct (ire-bouchon) Ω M/R = ω M/R ΩM/R O M • mvt ∆ ω M / R est la vitesse angulaire algébrique en rad/s. Elle s’obtient en dérivant l’espace angulaire θ = f(t). θ’ = ω M / R où ω M / R = dθ dt θ = espace angulaire Noguet Lycée Blaise Pascal Colmar Ch 4 Mouvement circulaire.doc Remarque : On peut exprimer ω M / R en tr/min par la relation : 17/02/09 ωM / R = π.N 30 2/5 N en tr /mn 2.2.- Vecteur accélération angulaire ΩM/R' : C’est un glisseur qui a pour caractéristiques : o ∆ o Support : axe de rotation Sens : si son sens est identique à celui de ΩM/R alors le mouvement est accéléré Ω M/R O si son sens est opposé à celui de ΩM/R alors le mouvement est décéléré Module : d ωM/R ΩM/R ' = ω'M/R = = θ'' en rad/s2 dt M • mvt Ω' M/R Cas du mouvement décéléré 2.3.- Equations angulaires de mouvements circulaires particuliers 2.3.1.- Equations angulaires du mouvement circulaire uniforme (MCU) ω' = 0 ω = cte θ = ω t + θ0 2.3.2.- Equations angulaires du mouvement circulaire uniformément varié (MCUV) ω' = cte ω = ω' t + ω 0 θ = 1 ω' t 2 + ω t + θ0 0 2 2.3.3.- Equation angulaire indépendante du temps : En éliminant le paramètre t entre les deux dernières équations du MCUV, il vient : 2ω ' ( θ - θ 0 ) = ω 2 - ω 20 3.- Caractéristiques linéaires du mouvement circulaire de M/R : 3.1.- Vecteur vitesse linéaire VM/R : C’est un pointeur qui a pour caractéristiques : o o Point d’application : Support : o Sens : o Module : Ω M/R O M • VM/R le point M considéré tangent à la trajectoire du point M dans son mouvement par rapport à R au point M donné par le sens du mouvement VM/R = v M/R mvt ∆ VM/R est la vitesse linéaire algébrique en m/s. Elle s’obtient en dérivant l’abscisse curviligne s par rapport au temps. ds ds dθ dθ v M/R = or s = θ.R donc = R. On avait posé : =ω Ainsi, dt dt dt dt D’où : v M/R = ωM/R .R avec : v M/R = vitesse linéaire algébrique en m/s Noguet Lycée Blaise Pascal Colmar Ch 4 Mouvement circulaire.doc 17/02/09 3/5 ωM/R = vitesse angulaire algébrique en rad/s R = rayon de la trajectoire en m θM/R = espace angulaire en rad Noguet Lycée Blaise Pascal Colmar 3.2.- Vecteur accélération linéaire a M/R : C’est un pointeur qui a pour caractéristiques : Ch 4 Mouvement circulaire.doc M • TM/R a M/R 4/5 o Point d’application : le point M considéré o Support de l’accélération tangentielle a T : VM/R aT 17/02/09 tangent à la trajectoire du point M dans son mouvement par rapport à R au point M o Support de l’accélération normale aN * : Normale** à la trajectoire du point M dans son mouvement par rapport à R au point M aN o Sens de l’accélération tangentielle a T : - si son sens est identique à celui de VM/R alors le mouvement est accéléré si son sens est opposé à celui de VM/R alors le mouvement est décéléré o Sens de l’accélération normale aN : L’accélération normale est toujours dirigée vers le centre de la courbure o Module : a M/R = a M/R = a2T + aN2 * L’accélération normale est aussi appelée accélération centripète. ** Normale à une courbe en un point = perpendiculaire à la tangente à la courbe en ce point. Remarque importante : r d v M / R r (v M / R ) 2 r ⋅T + ⋅N Dans le cas général : a M / R = ρ dt Ici v M/R = ωM/R .R et ρ =R D’où l’expression de l’accélération dans le cas particulier du mouvement circulaire : r r • r a M/R = ωM/R .R .T + ω2M/R .R .N • où : a T = ωM/R .R ( a T représente la valeur algébrique de l’accélération tangentielle) et aN = ω2M/R .R ( a N représente la valeur algébrique de l’accélération normale) 3.3.- Equations linéaires de mouvements circulaires particuliers 2.3.1.- Equations linéaires du mouvement circulaire uniforme (MCU) a T = 0 v = cte s = v t + s0 Attention : aT = 0 mais aN = ω2R ≠ 0 car ω ≠ 0 ( VM/R est variable en direction) 2.3.2.- Equations linéaires du mouvement circulaire uniformément varié (MCUV) a = cte T v = ω'R t + v 0 s = 1 ω'R t 2 + v t + s 0 0 2 Attention : aT = cte mais aN ω2R ≠ cte car ω ≠ cte ( VM/R est variable en direction et en module) 4.- Relation entre vecteurs vitesse angulaire et linéaire : Les vecteurs Ω M/R et VM/R sont les éléments de réduction du torseur cinématique : Noguet Ω = M/R = M VM/R = {V } M/R Lycée Blaise Pascal Colmar ωx ωy ωz vx vy vz = Ch 4 Mouvement circulaire.doc ωx v x ωy v y ωz v z 17/02/09 5/5