TD21 – Statique des fluides

Travaux dirigés : D – Thermodynamique
V – Statique des fluides
Sciences Physiques : PCSI 2
TD21 – Statique des fluides
A – APPLICATIONS DU COURS
A-1) Evaluer le gradient de pression dans l’eau d’une piscine et dans l’air qui l’entoure. Commenter.
4
-1
-1
Rép : Pour l’eau 10 Pa.m et pour l’air 13Pa.m . Nous pouvons donc considérer la pression atmosphérique
comme uniforme à l’échelle du problème considéré.
A-2) Dans le cas du modèle de l’atmosphère isotherme, donner l’expression de la
densité particulaire en fonction de z. On fera apparaître le facteur de Boltzmann.
Rép : n(z)=n(0)e-Ep(z)/kBT
A-3) Soit le baromètre de Torricelli représenté à droite, exprimer la pression Pa en
fonction du dénivelé de Mercure. Donner les valeurs de h pour Pa=1atm et
-3
Pa=1bar sachant que la masse volumique du mercure est =13600kg.m .
Rép : Pa=gh, 1atm759mm de Hg et 1bar750mm de Hg.
A-4) Calculer la force de pression sur une paroi plane et rectangulaire de
largeur L et de hauteur H.
Rép :
B – EXERCICES DE RAISONNEMENT
B-1) Pression dans un liquide et pression atmosphérique
1°) On remplit complètement, avec de l’eau, un verre cylindrique de hauteur h=10cm et de rayon
r=3cm. On pose sur ce verre une feuille de papier, puis on retourne l’ensemble ; on constate que la
feuille ne tombe pas. Expliquer qualitativement.
2°) On remplace la feuille de papier par un disque de plomb de rayon r’=4cm et d’épaisseur e ; calculer l’épaisseur emin
-3
pour que la feuille tombe lorsque l’on retourne le verre. On donne la masse volumique du plomb =11,3g/cm .
Commenter.
Rép : 1°) La feuille de masse négligeable subit une force vers le haut du à la pression atmosphérique supérieure à la force vers le bas due à la pression de
l’eau tel que peau=gh=0,0098bar…
2°)

, résultat très élevé qui peut-être expliqué par le fait que l’on néglige la forme des
contacts verre-papier et eau-papier ainsi que l’élasticité des matériaux.
Laurent Pietri
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C – TRAVAUX DIRIGES
C-1) Chariot entraîné
Un chariot cubique, remplit d’un liquide, se déplace sur le sol avec une accélération
constante :
.
a) Notons
l’accélération relative du fluide par rapport au chariot. Quelle est
l’accélération du fluide par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen
b) Faire un bilan des forces sur chaque la particule de fluide.
c) Appliquez la loi fondamentale de la dynamique à un volume mésoscopique d dans
le référentiel terrestre. En déduire que : 
d) En déduire la loi vérifiée si le fluide est au repos dans le référentiel lié au chariot.
e) Quelle est l’accélération allure de la surface libre du liquide lorsqu’elle est stabilisée.
On prendra comme origine la base-gauche du chariot et la hauteur d’eau pour x=0
sera notée z=H.
Rép : a) On a :
c) On a : d
La particule de fluide est soumise au poids et aux forces de pression.
d) 
e)
C-2) Poussée et centre de poussée sur un mur de barrage
1°) Calculer les longueurs h1 et h2 en fonction de h,
assurant l’égalité des forces horizontales de poussée sur les trois
éléments du mur de barrage ci-contre. (L’axe Oz est vertical
descendant et l’origine est pris en haut)
2°) On se propose de calculer la position des centres de
poussée pour chaque portion de paroi.
a) Calculer directement le moment de la force par :
Où Ck est le centre de poussée.
b) Calculer le moment de la force de chaque paroi en
sommant les moments élémentaires.
c)
En déduire le centre de poussée de la paroi 1.
Rép : 1°)
et
2a)
2b)
2c) Donc pour la paroi 1 :
C-3) Iceberg
Assimilons un iceberg à un bloc de glace cubique d’arête a. Si on appelle h la hauteur au
dessus du niveau de la mer, calculer le rapport h/a en supposant que cet iceberg à 0°C flotte sur
l’eau à 0°C.
-3
-3
On donne eau=l=1000kg.m et glace=s=920kg.m .
Rép : h/a= 0,08 = 8%
Laurent Pietri
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D – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
D-1) Stabilité de l’atmosphère
1°) Donner l’expression de la vitesse de libération sur la terre et sur mercure. En
-1
-1
effectuant l’application numérique on obtient :11,2km.s & 4,26km.s
2°) On va essayer par une méthode assez simpliste d’expliquer la stabilité de
l’atmosphère sur la terre et sur Mercure.
a) Donner l’expression de la vitesse quadratique moyenne u* en fonction de k B, T, et m
où m est la masse des particules considérées.
b) Exprimer u* en fonction de la masse molaire des particules.
c) L’atmosphère terrestre étant constitué d’environ 1 molécule de O 2 pour 4 molécules
de N2, donner la masse molaire moyenne d’une « particule » d’air terrestre. Avec ses hypothèses
-1
on obtient pour T=300K, u*(air)=510m.s .
L’atmosphère de Mercure est constitué principalement d’hydrogène ; sa température
3
-1
étant de 700 K on obtient u*(H2)=4,16.10 m.s
d) Expliquer alors pourquoi les scientifiques ont longtemps pensé que Mercure était
totalement dépourvue d’atmosphère. Que pensez vous de la stabilité de l’atmosphère terrestre?
Peut-on expliquer la faible présence de dihydrogène dans l’atmosphère terrestre par ce modèle ?
e) Critiquer le modèle proposé.
Rép : 1°) vl=(2GM/R)
2°) a) u*=(3kBT/m)
b) u*=(3RT/M)
c) M(air)=28,8g.mol-1
d) u*vl par conséquent les
molécules d’H2 auront tendance à s’échapper de l’attraction de Mercure un jour ou l’autre. Sur terre u*<<vl pour l’air par conséquent les molécules sont
piégées par l’attraction terrestre. On a uµ(H2)<vl mais il ne faut pas oublier que u* est une valeur moyenne, par conséquent le modèle peu expliquer
l’absence de dihydrogène sur terre.
e) La vitesse de libération est calculée pour le problème à deux corps mais ici les particules sont en interaction entre elles, on
considère l’atmosphère isotherme…
D-2) Oscillations d’un demi-cylindre flottant
Un demi-cylindre de rayon R, et de longueur h, flotte à
la surface d’un liquide de masse volumique .
1°) A l’équilibre le cylindre est enfoncé de R/2 dans le
liquide. Démontrer alors que sa masse volumique  peut s’écrire
=a où a est une constante.
2°) Démontrer que la période des petites oscillations
verticales de l’objet peut s’écrire
Rép : 1°)
où est une constante.

2°) Soit :
Laurent Pietri
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D-3) Expérience de J.Perrin
Le physicien français Jean Perrin a réalisé au début du siècle une expérience permettant de
déterminer le nombre d'Avogadro. Cette détermination lui a valu, ainsi qu'à ses autres travaux, le
prix Nobel en 1926. Il prépara, dans un récipient plein d'eau, une suspension de petites sphères de
latex de rayon a=0,212m. Il observa ensuite au microscope optique la répartition statistique de ces
sphères en fonction de l'altitude z.
L’expérience est réalisée à la température T=293K constante. La masse volumique de l’eau
-3
-3
-1
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-2
est =1,003g.cm et celle du latex =1,194g.cm . On donne R=8,314J.K .mol ; g=9,81m.s .
1°) Par analogie avec une atmosphère gazeuse, montrer que le nombre de sphères par
-z/H
unité de volume peut se mettre sous la forme n(z)=n(0)e .
2°) Exprimer le nombre d’Avogadro en fonction de a, , , T, g, R, N(0), N(z) et kB.
Jean Perrin mesura N(0)=100 et N(90m)=17. En déduire une estimation de la valeur numérique de
Na.
Rép : 1°)
 

2°) L’utilisation des mesures donne :
 
D-4) Océan en équilibre isotherme
Considérons un océan en équilibre isotherme. La masse volumique de l’eau varie avec la
pression selon la loi :
-10 -1
 
où a=1.10 Pa .
3
-3
La profondeur est notée z. Pour z=0, p=p0=1bar, & =0=10 kg.m .
1°) Donnez la loi p(z).
2°) Que devient cette loi pour de faibles profondeurs.
3°) Quelle est l’erreur relative pour z=1000m entre les deux expressions de p(z).
1°)

2°) Pour de faibles profondeurs à l’aide d’un DL à l’ordre 1 on retrouve :

3°)
Laurent Pietri
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