TD7_Introduction_a_la_mecanique_des_fluides

TD : B – Ph. de Transport
VII – Introduction Mécanique…
Sciences Physiques : PSI
TD7 – Introduction à la mécanique des fluides
A – Travaux Dirigés
71 - Chariot entraîné
Un chariot cubique, remplit d’un liquide, se déplace sur le sol avec une accélération
constante :
.
a) Notons
l’accélération relative du fluide par rapport au chariot. Quelle est l’accélération
du fluide par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen
b) Faire un bilan des forces sur chaque la particule de fluide.
c) Appliquez la loi fondamentale de la dynamique à un volume mésoscopique d dans le
référentiel terrestre. En déduire que :
d) En déduire la loi vérifiée si le fluide est au repos dans le référentiel lié au chariot.
e) Quelle est l’allure de la surface libre du liquide lorsqu’elle est stabilisée. On prendra comme
origine la base-gauche du chariot et la hauteur d’eau pour x=0 sera notée z=H.
Rép : a) On a :
c) On a : d
La particule de fluide est soumise au poids et aux forces de pression.
d)
e)
72 - Atmosphère en équilibre
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Le champ de pesanteur, d’intensité supposée
uniforme g, est dirigé suivant l’axe vertical ascendant Oz, et de sens opposé. Tous les mouvements
étudiés s’effectuent suivant cet axe vertical.
Les gaz ont les propriétés du gaz parfait. La constante des gaz parfaits est notée R. La masse molaire
moyenne de l’air est notée Me, sa pression P, sa température T et sa masse volumique . On désigne
par Po, To et o les valeurs de P, T et  au niveau du sol (où z = 0).
I) Atmosphère isotherme
On s’intéresse à l’équilibre de l’atmosphère, dont on adopte dans un premier temps un modèle
isotherme, de température uniforme To. On prendra To = 288 K.
a) Exprimer la masse volumique de l’air en fonction de P, R, To et Me.
b) Ecrire la condition d’équilibre statique de l’air. En déduire l’expression de la pression P(z) en
fonction de Po, de la hauteur barométrique H = RTo/(Meg) et de l’altitude z.
c) En prenant pour l’air une composition molaire de 20% en O2 et de 80% en N2, calculer la valeur
numérique de H. A quelle altitude
la pression est elle égale à Po/2 ?
II) Équilibre polytropique
Le modèle d'atmosphère isotherme précédent n'est pas réaliste ; aussi, s'intéresse-t-on à
l'équilibre polytropique : l'expérience montre que, jusqu'à une altitude d'environ 10 km, la
température de l'air vérifie une loi linéaire du type T = T0 (1 - αz) où α = 1/z0 est une constante
positive. Cette approximation linéaire est en fait le développement au premier ordre en z/z0 d'une
expression plus précise. La valeur expérimentale z0 ≈ 33 km justifie ce développement dans les dix
premiers kilomètres de l'atmosphère.
Laurent Pietri
~1~
Lycée Henri Loritz - Nancy
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a) Montrer que l'on peut écrire P (z) = P0 (1 –αz)β et µ(z) = µ0 (1 – αz)-1 où l'on donnera l'expression
de β en fonction de H et de z0.
b) À quelle altitude
la pression est-elle égale à P0/2 ? Comparer cette valeur à celle obtenue à la
question 3. Ce résultat était-il prévisible ?
c) Un bulletin météorologique fournit les données
représentées graphiquement sur les figures 1,2 et 3.
La pression est donnée en 105 Pa, la température en
K, la densité en kg.m-3 et l’altitude en km. Un
ajustement a moindres carrés de ces données permet
d’obtenir les relations :
T = 288,14 – 6,94 z
P = 1,01 (T/288,08)5,26
Ceci est-il compatible avec le modèle polytropique ?
Rép : 1a) 
1b)
1c)
2a)
et
2c) =4,9
2b)
73 - Modélisation d'une lubrification
Un fluide newtonien est réparti sur une hauteur e entre deux plaques horizontales très
longues. La plaque du dessous est immobile et celle du dessus possède la vitesse constante .
a) Quelles sont les conditions aux limites vérifiées par l'écoulement ?
b) Proposer la forme la plus simple possible de champ des vitesses vérifiant ces conditions.
c) Quelle est la composante horizontale de la force exercée par le fluide, par unité de surface,
sur la plaque supérieure ?
d) Un bloc métallique parallélépipédique, de surface carrée de côté a = 10 cm et de masse m =
1 kg, est posé sur un plan incliné d'un angle  = 45° par rapport à l'horizontale. Le plan
incliné est lubrifié, c'est-à-dire enduit d'une huile de viscosité (dynamique)  . La plaque se
met alors en mouvement. On suppose que l'écoulement de l'huile peut être modélisé de la
même manière qu'au début de cet exercice, avec une épaisseur e = 1 mm d'huile. Le champ
de pesanteur est noté g = 9,8 m.s-2. En déduire l'équation du mouvement du bloc.
f) Après un certain temps, la vitesse du bloc se stabilise à la valeur
. En déduire
la viscosité  de l'huile.
g) Quelle est la durée du régime transitoire ?
Rép : a)…
b)
Laurent Pietri
c)

d)

~2~
e) =1,4Pl f) =0,07s
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B – Exercices supplémentaires
74 - Poussée et centre de poussée sur un mur de barrage
1°) Calculer les longueurs h1 et h2 en fonction de h, assurant l’égalité
des forces horizontales de poussée sur les trois éléments du mur de barrage
ci-contre. (L’axe Oz est vertical descendant et l’origine est pris en haut)
2°) On se propose de calculer la position des centres de poussée pour
chaque portion de paroi.
a) Calculer directement le moment de la force par :
Où Ck est le centre de poussée.
b) Calculer le moment de la force de chaque paroi en sommant les moments
élémentaires.
c)
En déduire le centre de poussée de la paroi 1.
Rép : 1°)
et
2a)
2b)
2c) Donc pour la paroi 1 :
75 - Océan en équilibre isotherme
Considérons un océan en équilibre isotherme. La masse volumique de l’eau varie avec
la pression selon la loi :
où a=1.10-10Pa-1.
La profondeur est notée z. Pour z=0, p=p0=1bar, & = 0=103kg.m-3.
1°) Donnez la loi p(z).
2°) Que devient cette loi pour de faibles profondeurs.
3°) Quelle est l’erreur relative pour z=1000m entre les deux expressions de p(z).
1°)
2°) Pour de faibles profondeurs à l’aide d’un DL à l’ordre 1 on retrouve :
3°)
76 - Plan incliné
Le solide parallélépipédique S de masse M, et de centre d'inertie G glisse sur un plan incliné
à vitesse constante vo, sous l'effet de son poids. Son glissement est facilité par une couche d'huile
d'épaisseur constante e qui recouvre le plan incliné. L'huile est un fluide visqueux de viscosité = 1
Pl, incompressible. On néglige l'effet de la pesanteur sur l'huile.
1. On étudie dans un premier temps la couche d'huile située sous le pavé.
Laurent Pietri
~3~
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a)
Justifier qualitativement que la vitesse d'une particule d'huile située sous le pavé est
une fonction
b) Après avoir tracé les lignes de champ du champ des vitesses sous le pavé, montrer
que l'accélération de la particule de fluide est nulle.
c) Établir le champ des vitesses. On fera l'approximation supplémentaire d'absence de
gradient de la pression dans l'huile le long de la pente du plan incliné.
d) Exprimer alors la force
exercée par l'huile sur le pavé, on note S la surface du pavé
en contact avec l'huile.
2. On étudie désormais les actions qui agissent sur le pavé
a) Effectuer un bilan des actions mécaniques sur le pavé.
b) Déduire la vitesse vo en fonctions des divers paramètres du problème.
3. Critiquer le modèle proposé.
Rép : 1c)
1d)

2b)

3°) e=cste ?
77 - Stabilité de l’atmosphère
1°) Donner l’expression de la vitesse de libération sur la terre et sur mercure. En
effectuant l’application numérique on obtient :11,2km.s-1 & 4,26km.s-1
2°) On va essayer par une méthode assez simpliste d’expliquer la stabilité de
l’atmosphère sur la terre et sur Mercure.
a) Donner l’expression de la vitesse quadratique moyenne u* en fonction de k B, T, et m
où m est la masse des particules considérées.
b) Exprimer u* en fonction de la masse molaire des particules.
c) L’atmosphère terrestre étant constitué d’environ 1 molécule de O 2 pour 4 molécules
de N2, donner la masse molaire moyenne d’une « particule » d’air terrestre. Avec ses hypothèses
on obtient pour T=300K, u*(air)=510m.s-1.
L’atmosphère de Mercure est constitué principalement d’hydrogène ; sa température
étant de 700 K on obtient u*(H2)=4,16.103m.s-1
d) Expliquer alors pourquoi les scientifiques ont longtemps pensé que Mercure était
totalement dépourvue d’atmosphère. Que pensez vous de la stabilité de l’atmosphère terrestre?
Peut-on expliquer la faible présence de dihydrogène dans l’atmosphère terrestre par ce modèle ?
e) Critiquer le modèle proposé.
Rép : 1°) vl=(2GM/R)2°) a) u*=(3kBT/m) b) u*=(3RT/M)
c) M(air)=28,8g.mol-1
d) u*vl par conséquent les
molécules d’H2 auront tendance à s’échapper de l’attraction de Mercure un jour ou l’autre. Sur terre u*<<vl pour l’air par
conséquent les molécules sont piégées par l’attraction terrestre. On a u µ(H2)<vl mais il ne faut pas oublier que u * est une
valeur moyenne, par conséquent le modèle peu expliquer l’absence de dihydrogène sur terre.
e) La vitesse de libération est calculée pour le problème à deux corps mais ici les particules sont en interaction entre elles, on
considère l’atmosphère isotherme…
Laurent Pietri
~4~
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78 - Oscillations d’un demi-cylindre flottant
Un demi-cylindre de rayon R, et de longueur h, flotte à la surface
d’un liquide de masse volumique .
1°) A l’équilibre le cylindre est enfoncé de R/2 dans le liquide. Démontrer alors que sa
masse volumique  peut s’écrire =a où a est une constante.
2°) Démontrer que la période des petites oscillations verticales de l’objet peut s’écrire
où est une constante.

Rép : 1°)
2°) Soit :
79 - Expérience de J.Perrin
Le physicien français Jean Perrin a réalisé au début du siècle une expérience permettant de
déterminer le nombre d'Avogadro. Cette détermination lui a valu, ainsi qu'à ses autres travaux, le
prix Nobel en 1926. Il prépara, dans un récipient plein d'eau, une suspension de petites sphères de
latex de rayon a=0,212m. Il observa ensuite au microscope optique la répartition statistique de ces
sphères en fonction de l'altitude z.
L’expérience est réalisée à la température T=293K constante. La masse volumique de l’eau
est =1,003g.cm-3 et celle du latex =1,194g.cm-3. On donne R=8,314J.K-1.mol-1 ; g=9,81m.s-2.
1°) Par analogie avec une atmosphère gazeuse, montrer que le nombre de sphères par
unité de volume peut se mettre sous la forme n(z)=n(0)e-z/H.
2°) Exprimer le nombre d’Avogadro en fonction de a, , , T, g, R, N(0), N(z) et kB.
Jean Perrin mesura N(0)=100 et N(90m)=17. En déduire une estimation numérique de Na.
Rép : 1°)


2°) L’utilisation des mesures donne :

80 - Mouvement de gouttelettes chargées
On disperse un brouillard de fines gouttelettes sphériques d’huile, de masse volumique  h
= 1,3.103 kg.m−3, dans l’espace séparant les deux plaques horizontales d’un condensateur plan,
distantes de d = 2.10−2m. Les gouttelettes sont chargées négativement et sans vitesse initiale.
Toutes les gouttelettes ont même rayon R mais pas forcément la même charge −q. En
l’absence de champ électrique, une gouttelette est soumise à son poids (g = 9, 81 m.s −2), à la
poussée d’Archimède de l’air ambiant de masse volumique a = 1,3kg.m−3 et à une force de
frottement visqueux
, avec k = R et = 3, 4.10−4S.I.
L’accélération de la pesanteur sera prise égale à 9,81 m.s −2.
1-a) Déterminer la vitesse limite
1-b) Déterminer l’expression de la vitesse des gouttes. On fera apparaître un temps caractéristique
.
1-c) On mesure v0 = 2.10−4 m.s−1, déterminer la valeur de k.
2°) On applique une différence de potentiel U = V1 − V2 de manière à avoir un champ électrique
dirigé vers le bas. Le lien entre U,E et d est : U=Ed
Une gouttelette est immobilisée pour U = 3200 V. Calculer la charge q.
Rép : 1a)
Laurent Pietri
1b)


1c) R=1,13
~5~
2a) U=Ed
2b) q=3e
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