MECANIQUE : TD n°3 - Les CPGE de Loritz

L.PIETRI – Statique des fluides - Lycée Henri Loritz – PCSI 2
THERMODYNAMIQUE : TD n°2
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Evaluer le gradient de pression dans l’eau d’une piscine et dans l’air qui l’entoure. Commenter.
Rép : Pour l’eau 104Pa.m-1 et pour l’air 13Pa.m-1. Nous pouvons donc considérer la pression atmosphérique comme uniforme à
l’échelle du problème considéré.
2°) Dans le cas du modèle de l’atmosphère isotherme, donner l’expression de
la densité particulaire en fonction de z. On fera apparaître le facteur de Boltzmann.
Rép : n(z)=n(0)e-Ep(z)/kBT
3°) Soit le baromètre de Torricelli représenté à droite, exprimer la pression Pa
en fonction du dénivelé de Mercure. Donner les valeurs de h pour Pa=1atm et Pa=1bar
sachant que la masse volumique du mercure est =13600kg.m-3.
Rép : Pa=gh, 1atm759mm de Hg et 1bar750mm de Hg.
4°) Un chariot cubique, remplit d’un liquide, se déplace sur le sol avec une
accélération constante a=aex. Quelle est l’allure de la surface libre du liquide lorsqu’elle
est stabilisée.
Rép : z=-a/g.x+cste…il s’agit d’un plan incliné.
B – TRAVAUX DIRIGES
I – POUSSEE ET CENTRE DE POUSSEE SUR UN MUR DE BARRAGE
1°) Calculer les longueurs h1 et h2 assurant l’identité des forces horizontales
de poussée sur les trois éléments du mur de barrage ci-contre.
2°) Calculer alors les positions des centres de poussé respectifs.
Rép : 1°) h1=h/3 et h2=(2/3).h 2°) zC1=2/33.h
II – STABILITE DE L’ATMOSPHERE
1°) Donner l’expression de la vitesse de libération sur la terre et sur mercure. En effectuant l’application
numérique on obtient :11,2km.s-1 & 4,26km.s-1
2°) On va essayer par une méthode assez simpliste d’expliquer la stabilité de l’atmosphère sur la terre
et sur Mercure.
a) Donner l’expression de la vitesse quadratique moyenne u* en fonction de kB, T, et m où m est la
masse des particules considérées.
b) Exprimer u* en fonction de la masse molaire des particules.
c) L’atmosphère terrestre étant constitué d’environ 1 molécule de O2 pour 4 molécules de N2, donner la
masse molaire moyenne d’une « particule » d’air terrestre. Avec ses hypothèses on obtient pour T=300K,
u*(air)=510m.s-1.
L’atmosphère de Mercure est constitué principalement d’hydrogène ; sa température étant de 700 K on
obtient u*(H2)=4,16.103m.s-1
d) Expliquer alors pourquoi les scientifiques ont longtemps pensé que Mercure était totalement
dépourvue d’atmosphère. Que pensez vous de la stabilité de l’atmosphère terrestre? Peut-on expliquer la faible
présence de dihydrogène dans l’atmosphère terrestre par ce modèle ?
e) Critiquer le modèle proposé.
Rép : 1°) vl=(2GM/R) 2°) a) u*=(3kBT/m) b) u*=(3RT/M) c) M(air)=28,8g.mol-1 d) u*vl par conséquent
les molécules d’H2 auront tendance à s’échapper de l’attraction de Mercure un jour ou l’autre. Sur terre u*<<vl pour l’air par conséquent les
molécules sont piégées par l’attraction terrestre. On a uµ(H2)<vl mais il ne faut pas oublier que u* est une valeur moyenne, par conséquent le
modèle peu expliquer l’absence de dihydrogène sur terre.
e) La vitesse de libération est calculée pour le problème à deux corps mais ici les particules sont en interaction entre elles, on considère
l’atmosphère isotherme…
III – ICEBERG
Assimilons un iceberg à un bloc de glace cubique d’arête a. Si on appelle h la hauteur au dessus du
niveau de la mer, calculer le rapport h/a en supposant que cet iceberg à 0°C flotte sur l’eau à 0°C.
On donne eau=l=1000kg.m-3 et glace=s=920kg.m-3.
Rép : h/a= 0,08 = 8%

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C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I – PRESSION DANS UN LIQUIDE ET PRESSION ATMOSPHERIQUE
1°) On remplit complètement, avec de l’eau, un verre cylindrique de hauteur h=10cm et de rayon r=3cm.
On pose sur ce verre une feuille de papier, puis on retourne l’ensemble ; on constate que la feuille ne tombe pas.
Expliquer qualitativement.
2°) On remplace la feuille de papier par un disque de plomb de rayon r’=4cm et d’épaisseur e ; calculer
l’épaisseur emin pour que la feuille tombe lorsque l’on retourne le verre. On donne la masse volumique du plomb
=11,3g/cm-3. Commenter.
Rép : 1°) La feuille de masse négligeable subit une force vers le haut du à la pression atmosphérique supérieure à la force vers le
bas due à la pression de l’eau tel que peau=gh=0,0098bar… 2°) emin=Pa/g.(r/r’)2=0,5m, résultat très élevé qui peut-être expliqué par
le fait que l’on néglige la forme des contacts verre-papier et eau-papier ainsi que l’élasticité des matériaux.
II – OSCILLATIONS D’UN DEMI-CYLINDRE FLOTTANT
Un demi-cylindre de rayon R, et de longueur h, flotte à la surface d’un
liquide de masse volumique .
1°) A l’équilibre le cylindre est enfoncé de R/2 dans le liquide. Démontrer
alors que sa masse volumique  peut s’écrire =a où a est une constante.
2°) Démontrer que la période des petites oscillations verticales de l’objet
peut s’écrire
0
2g
R
où  est une constante.
Rép : 1°) a=2/3-3/2 2°) =a/23
III – EXPERIENCE DE J.PERRIN
Le physicien français Jean Perrin a réalisé au début du siècle une expérience
permettant de déterminer le nombre d'Avogadro. Cette détermination lui a valu, ainsi
qu'à ses autres travaux, le prix Nobel en 1926. Il prépara, dans un récipient plein
d'eau, une suspension de petites sphères de latex de rayon a=0,212m. Il observa
ensuite au microscope optique la répartition statistique de ces sphères en fonction de
l'altitude z.
L’expérience est réalisée à la température T=293K constante. La masse
volumique de l’eau est =1,003g.cm-3 et celle du latex =1,194g.cm-3. On donne
R=8,314J.K-1.mol-1 ; g=9,81m.s-2.
1°) Par analogie avec une atmosphère gazeuse, montrer que le nombre de
sphères par unité de volume peut se mettre sous la forme n(z)=n(0)e-z/H.
2°) Exprimer le nombre d’Avogadro en fonction de a, , , T, g, R, N(0), N(z) et kB.
Jean Perrin mesura N(0)=100 et N(90m)=17. En déduire une estimation de la valeur numérique de Na.
Rép : 1°) 1/H=4/3a3(-)g/kBT 2°) Na=RT/(4/3.a3(-)gz).Ln[N(0)/N(90)]=6,0.1023mol-1.